타원 가우스 합

수학에서 타원형 가우스 합은 복잡한 곱셈을 갖는 타원형 곡선에 따라 가우스 합을 비유한 것이다.가우스 합에서 2차 잔류물 기호는 입방체 또는 4차 잔류물 기호 등 더 높은 잔류물 기호로 대체되며, 가우스 합에서 지수함수는 타원함수로 대체된다.그것들은 아이젠슈타인(1850년)에 의해 소개되었는데, 적어도 타원형 곡선이 $i$ 에 의해 복잡한 곱셈을 가지고 있는 나미니스케이트의 경우에서 소개되었지만, 종이(Pinch 1988년)까지 잊혀지거나 무시된 것 같다.

예

(Lemermeyer 2000, 9.3)는 $i$ 에 의한 복잡한 곱셈을 갖는 타원곡선의 경우에 대해 타원형 가우스 합계의 다음과 같은 예를 제시한다.

-\sum _{t}\chi(t)\varphi \left\frac {t}{\pi }\오른쪽)^{\frac {p-1}}

어디에

합계는 가우스 정수를 대표하는 잔류물 모드 $P$ 보다 많다.
$n$ 은 양의 정수다.
$m$ 은 $4n$ 을 나누는 양의 정수다.
$p$ = $4n$ + $1$ 은 1모드 4에 대한 합리적인 원시적 합치임
$φ (z)$ = $sl(1$ – i $) Ωz)$ 여기서 $sl$ 은 sine lemniscate 함수, 타원 함수.
$χ$ 은 $K$ 의 prime $P$ 에 관한 $K$ 의 m번째 전력 잔류물 기호다.
$K$ 는 필드 k $[field$ $k$ ]이다 $.$
$k$ 는 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ [ $i]$
$ζ$ 은 1의 원시 4n근이다.
$π$ 은 가우스 정수 $\mathbb {Z}$ ${\$ 의 1차 $소수점$ 이다.
$P$ 는 관성도 1과 함께 $π$ 위에 놓여 $있는$ K의 정수 링에서 prime이다.

참조

Asai, Tetsuya (2007), "Elliptic Gauss sums and Hecke L-values at s = 1", Proceedings of the Symposium on Algebraic Number Theory and Related Topics, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, pp. 79–121, arXiv:0707.3711, Bibcode:2007arXiv0707.3711A, MR 2402004
Cassou-Noguès, Ph.; Taylor, M. J. (1991), "Un élément de Stickelberger quadratique", Journal of Number Theory, 37 (3): 307–342, doi:10.1016/S0022-314X(05)80046-0, ISSN 0022-314X, MR 1096447
Eisenstein, Gotthold (1850), "Über einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung der ganzen Lemniskate abhängt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 39 (39): 224–287, doi:10.1515/crll.1850.39.224, ISSN 0075-4102, Reprinted in Math. Werke II, 556–619
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66957-9, MR 1761696
Pinch, R. (1988), "Galois module structure of elliptic functions", in Stephens, Nelson M.; Thorne., M. P. (eds.), Computers in mathematical research (Cardiff, 1986), Inst. Math. Appl. Conf. Ser. New Ser., vol. 14, Oxford University Press, pp. 69–91, ISBN 978-0-19-853620-8, MR 0960495

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