기능성 미적분학

수학에서 기능적 미적분은 수학 연산자에 수학적 함수를 적용할 수 있도록 하는 이론이다. 이제 스펙트럼 이론과 연결된 기능 분석 분야의 한 분야(더 정확히 말하면, 몇 개의 관련 영역)가 되었다.(역사적으로 이 용어는 또한 변동의 미적분과 동의어로 사용되었다. 기능적 파생물을 제외하고는 이 용어는 구식이다. 때때로 기능 방정식의 유형과 관련하여 또는 술어 미적분학의 시스템에 대한 논리에 사용된다.)

$f$ $f$ 이 $f$ (가) 함수라면, 실수의 숫자함수를 말하고, $M$ $M$ 이 연산자라면 $M$ , $f(M)$ $f(M)$ $f(M)$ 라는 표현이 일리가 있어야 $f(M)$ 할 특별한 이유는 없다. 만약 그렇다면, 우리는 더 이상 원래의 기능 도메인에서 $f$ $f$ $f$ 을 사용하지 않을 것이다. 연산 미적분학의 전통에서는 연산자의 대수적 표현은 그 의미와 무관하게 처리된다. 그러나 우리가 '매트릭스 스퀴링'에 대해 이야기한다면 이는 거의 눈에 띄지 않는 것으로, 이는 $f(x)=x^{2}$ ( $f(x)=x^{2}$ ) $f(x)=x^{2}$ = $f(x)=x^{2}$ 2 ${\$ }} $f(x)=x^{2}$ 및 $M$ $M$ 의 $M$ $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystystyle$ n $\times$ n $}$ 행렬의 $n\times n$ 경우다. 기능적 미적분학의 개념은 이런 종류의 표기법 과부하에 대한 원칙적 접근법을 만드는 것이다.

가장 시급한 경우는 다항식 함수를 정사각형 행렬에 적용하여 방금 논의한 내용을 확장하는 것이다. 유한차원 사례에서 다항식 기능 미적분학은 운영자에 대한 상당한 정보를 산출한다. 예를 들어 연산자 $T$ $T$ 을(를) 섬멸하는 다항식 계열을 생각해 보자 $T$ 이 계열은 다항식 링에서 이상적이다. 더욱이 그것은 비종교적 이상이다: n $n$ 을(를) 행렬 대수의 유한 치수가 되게 $n$ 하고 $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ 그 다음 { $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ T $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ , $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ … $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ ${\displaysty \{I,T,T^{2}},\dots,T^{n}\}}}}}$ 은 선형 종속적이다 $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ . $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ i $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ = 0 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ T $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ = $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ $\sum _{i=0}^{n}\알파 _{i$ $일부$ 스칼라 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ ${\$ 에 대한 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ T $^{i}=0$ $\alpha _{i}$ 모두 0과 같지는 않다. 이는 다항식 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ = 0 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ x $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ ${\$ 이(가) 이상에 있음을 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ 의미한다. 다항식 링은 주요 이상 영역이기 때문에 이 이상은 일부 다항식 $m$ $m$ 에 의해 생성된다 $m$ 필요한 경우 단위를 곱하면 $m$ $m$ 을(를) 단일으로 $m$ 선택할 수 있다. 이 작업을 수행할 때 $다항식$ $m$ {\ $displaystyle$ m $}$ 은(는) T{\ $displaystyle$ T}의 최소 다항식이 $m$ 된다 $T$ 이 다항식은 $T$ ${\$ $displaystyle T}$ 에 대한 깊은 정보를 제공한다 $T$ 예를 들어 스칼라 $\alpha$ ${\$ $displaystyle \$ $a \$ $a$ }의 $T$ 고유값이 된다 $\alpha$ $.$ $lpha }$ 은 $\alpha$ $m$ $m$ 의 루트 $.$ 또한 때때로 $m$ m ${\displaystyle$ m}을 사용하여 $T$ ${\displaystyle$ T $}$ 의 지수를 효율적으로 $T$ 계산할 $m$ 수 $있다$ .

다항식 미적분은 무한 차원 사례에서만큼 유익하지 않다. 다항식 미적분학과의 일방적인 변화를 생각해 보라. 위에서 정의한 이상은 이제 사소한 것이다. 따라서 다항식보다 기능적 칼쿨리에 더 관심이 있다. 대각 행렬이나 곱셈 연산자의 경우 정의가 무엇이어야 하는지가 다소 명확하기 때문에 주제는 스펙트럼 이론과 밀접하게 연결되어 있다.

참고 항목

참조

"Functional calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

외부 링크

위키미디어 커먼스의 기능적 미적분학 관련 매체

이 수학적 분석 관련 기사는 단조롭다. 위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

Search

기능성 미적분학

네임스페이스

더

참고 항목

참조

외부 링크