연산자 대수

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수학의 한 분야인 기능분석에서 연산자 대수학은 위상학적 벡터 공간에 있는 연속 선형 연산자의 대수로서, 매핑의 구성에 의해 주어지는 곱셈을 가지고 있다.

연산자 알헤브라의 연구에서 얻은 결과는 대수학 용어로 표현되는 반면, 사용된 기법은 매우 분석적이다.^[1] 연산자 알헤브라의 연구는 보통 기능 분석의 한 분야로 분류되지만, 표현 이론, 미분 기하학, 양자 통계 역학, 양자 정보, 양자장 이론에 직접적인 응용이 있다.

개요

연산자 알헤브라는 대수적 관계가 거의 없는 임의의 연산자 집합을 동시에 연구하기 위해 사용될 수 있다. 이러한 관점에서 연산자 알헤브라는 단일 연산자의 스펙트럼 이론의 일반화로 간주할 수 있다. 일반적으로 알헤브라는 명령어 링이 아니다.

연산자 대수학은 일반적으로 연속 선형 연산자의 전체 대수 내 특정 연산자 위상에서 닫아야 한다. 특히 대수학과 위상학적 폐쇄 특성을 모두 가진 연산자 집합체다. 어떤 분야에서는 그러한 특성이 공리화되고 특정한 위상학적 구조를 가진 알헤브라가 연구의 대상이 된다.

연산자의 알헤브라는 다양한 맥락에서 연구되지만(예: 분포 공간에 작용하는 사이비 차등 연산자의 알헤브라), 연산자 대수라는 용어는 바나흐 공간의 경계 연산자의 알헤브라를 참조하거나, 특히 분리 가능한 힐버트 공간의 연산자의 알헤브라를 참조할 때 사용된다. 연산자 표준 위상이 부여된.

힐버트 공간의 연산자의 경우, 연산자에 대한 은둔자 보조 지도는 자연적으로 비자발성을 제공하며, 이것은 대수학에 부과될 수 있는 추가적인 대수 구조를 제공한다. 이러한 맥락에서, 가장 잘 연구된 예는 자가 성인의 연산자 알헤브라스인데, 이는 그들이 부선자의 직위에 의해 폐쇄된다는 것을 의미한다. 여기에는 C*알제브라, 폰 노이만알제브라, AW*알제브라 등이 포함된다. C*-알게브라는 표준, 비자발 및 곱셈과 관련된 조건에 의해 쉽게 추상적으로 특성화할 수 있다. 이와 같이 추상적으로 정의된 C*-알제브라는 적절한 힐버트 공간의 연속 선형 연산자의 대수의 어떤 폐쇄된 하위골격에 식별될 수 있다. 비슷한 결과가 폰 노이만 알헤브라스에도 적용된다.

정류 자가 적응 연산자 알헤브라는 국소적으로 작은 공간에 있는 복합 값 연속함수의 대수 또는 표준 측정 가능한 공간에 있는 측정 가능한 함수의 대수라고 간주할 수 있다. 따라서, 일반 연산자 알헤브라는 종종 이러한 알헤브라의 비확정적 일반화 또는 기능이 정의되는 베이스 공간의 구조로 간주된다. 이러한 관점은 비고정 연산자 알헤브라에 의해 다양한 비고전적 및/또는 병리학적 사물을 연구하려고 하는 비고정 기하학의 철학으로 정교하게 설명되어 있다.

자가 적응하지 않는 오퍼레이터 알헤브라의 예는 다음과 같다.

• 네스트 알헤브라스,
• 많은 대화형 아공간 격자 알제브라,
• 많은 한정된 알헤브라가 있다.

참고 항목

• 바나흐 대수
• Hilbert 공간의 연산자 집합에 대한 토폴로지
• 매트릭스 역학
• 정점 연산자 대수

참조

추가 읽기

• Blackadar, Bruce (2005). Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 3-540-28486-9.
• M. 타케사키, 2001년 스프링거, 알헤브라스 1세 연산자 이론.