햄 샌드위치 정리

수학적 측정 이론에서, 각각의 양의 $정수$ n에 대해 햄 샌드위치 정리는 n-차원 유클리드 $공간$ 에서 측정할 수 없는 "객체"를 부여하고, 그것들 각각을 하나의 ( $n -$ 1)차원 하이퍼플레인으로 (예를 들어 그들의 측정에 관해서) 반으로 나눌 수 있다고 기술하고 있다. 이것은 심지어 물체가 겹치는 경우에도 가능하다.

휴고 스타인하우스(Hugo Steinhaus)에 의해 제안되었고 스테판 바나흐(분명히 차원 3에서 n차원 사례에서 정리를 자동으로 진술하는 것을 귀찮게 하지 않고)에 의해 증명되었으며, 수년 후에는 스톤--로 불리기도 했다.아서 H. 스톤과 존 터키 이후의 투키 정리.

이름 지정

햄 샌드위치

햄 샌드위치 정리는 $n$ = $3$ 과 이등분할 세 개 사물이 햄 샌드위치의 재료인 경우에서 그 이름을 따온 것이다. 이 세 가지 재료가 빵 두 조각과 햄 한 조각(Peters 1981), 빵과 치즈와 햄(Cairns 1963)인지, 빵과 버터 그리고 햄(Dubins & Spanier 1961)인지에 따라 소식통이 다르다. 2차원에서 이 정리는 선으로 이등분되는 두 물체의 평탄한 성질을 가리키는 팬케이크 정리(Cairns 1963)로 알려져 있다.

역사

바이엘&자르데키(2004)에 따르면 햄 샌드위치 정리, 특히 고형분 3개를 평면으로 이등분시킨 $사례$ 에 $대해$ 가장 일찍 알려진 논문은 폴란드 수학 저널(Editors 1938)에 실린 1938년 노트다. 바이엘과 자르데키의 논문에는 문제의 포즈를 휴고 스타인하우스의 탓으로 돌리는 이 노트의 번역이 포함되어 있으며, 스테판 바나흐를 보르수크-보르수크-보르수크-보르수크(Borsuk–)의 축소로 문제 해결의 첫 번째 사례로 간주하고 있다.울람 정리. 노트는 두 가지 방식으로 문제를 제기한다. 첫째, 형식적으로는 "적절한 평면의 도움으로 임의로 위치한 고형분 3개를 이등분할할 수 있는가?" 둘째, 비공식적으로는 "고기와 뼈, 지방이 반으로 잘리도록 고기 절단기 밑에 햄 조각을 둘 수 있는가?" 그러면 그 노트는 정리정돈의 증거를 제시한다.

좀 더 현대적인 언급은 스톤&투키(1942)로, 스톤-투키(Stone-tukey)라는 명칭의 기초가 된다.투키 정리". 이 논문은 대책을 수반하는 보다 일반적인 설정에서 정리의 n차원 버전을 증명한다. 이 논문은 심판의 정보에 $근거$ 해 $n$ = 3 사건을 스타니슬라브 울람의 탓으로 돌렸지만, 위에서 언급한 노트에 비추어 볼 때, "울람이 보르수크-을 제안하는 데 근본적인 기여를 했다"고 하지만, 비이어 & 자르데키(2004)는 이것이 틀렸다고 주장한다.울람 정리.

2차원 변종: 회전 나이프를 사용한 증거

정리의 2차원 변종(팬케이크 정리라고도 함)은 공정한 케이크 커팅 문헌(예: 참조)에 나타나는 주장에 의해 증명될 수 있다. Robertson-Webb 회전 나이프 절차).

For each angle $\alpha \in [0,180^{\circ }]$ , we can bisect pancake #1 using a straight line ("knife") of angle $\alpha$ . To see this, translate [move parallelly] a straight line of angle $\alpha$ from $-\infty$ to ${\dis$ $플레이스타일 \infit$ $\infty$ 라인으로 덮인 팬케이크 #1의 분율이 0에서 1로 계속 변화하므로 중간값 정리로는 도중에 어딘가에 1/2과 같아야 한다. 우리 라인의 전체 번역 범위는 1/2의 분수를 산출할 수 있다. 이 경우, 우리는 그러한 모든 번역 중에서 중간을 선택하여 표준적인 선택을 한다.

칼이 0각일 때는 팬케이크 #2도 자르지만, 조각은 아마도 불평등할 것이다( 운이 좋고 조각이 같다면, 우리는 끝이다). 칼의 '양' 면을 팬케이크 #2의 분율이 큰 면으로 정의한다. 우리는 이제 칼을 돌리고, 위에서 설명한 대로 번역한다. 각도가 $\alpha$ $\alpha$ 인 경우 $\alpha$ $p(\alpha )$ $p(\alpha )$ ) ${\displaystyle$ p $(\alpha )}$ 을(를) 칼의 양의 면에 있는 팬케이크 #2의 일부로 $p(\alpha )$ 정의한다. 초기 $p(0)>1/2$ ( 0 $p(0)>1/2$ ) $p(0)>1/2$ > $p(0)>1/2$ / 2 ${\displaystyle$ p $(0)>1/2$ 각도의 작은 변화가 칼의 위치의 작은 변화로 이어지기 때문에 기능 $p$ $p$ 은 연속적이다 $p$ .

칼이 각도가 180일 때는 칼이 거꾸로 되어 있기 때문에 p $p(180)<1/2$ ( $p(180)<1/2$ ) $p(180)<1/2$ < $p(180)<1/2$ / $p(180)<1/2$ $(\displaystyle$ p $(180)<1/2$ 중간값 정리에 $p(\alpha )=1/2$ p $p(\alpha )=1/2$ ( $p(\alpha )=1/2$ ) = $p(\alpha )=1/2$ 1 / $p(\alpha )=1/2$ (\ $displaystyle$ p (\ $alpha$ )= $1/2$ 그 각도에서 동시에 두 팬케이크를 자르는 각도가 있어야 한다.

n차원 변종: 보르수크-을 사용한 증거울람 정리

햄 샌드위치 정리는 보르수크-을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.울람 정리. 이 증거는 스타인하우스와 다른 사람들이 설명한 것(1938년)을 따르며, 스테판 바나흐의 것으로, $n$ = $3$ 의 경우로 간주된다. Equivariant 토폴로지의 분야에서, 이 증거는 구성 공간/테스트 맵 패러다임에 해당된다.

$A 1,$ $A 2, ...$ 는_n 우리가 동시에 이등분하기를 원하는 $n개$ 의 물체를 나타낸다. S를 원점을 중심으로 $\mathbb {R} ^{n}$ 한 n차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ { $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 에 내장된 $단위($ n - 1)-sphere가 되게 한다. 구체 $S$ 표면의 각 p 지점에 $대해$ , 우리는 원점에서 $p$ 까지의 (정상) 벡터에 직각인 방향 부착형 하이퍼플레인의 연속체를 정의할 수 있으며, 각 하이퍼플레인의 "양측"은 그 벡터에 의해 가리키는 측으로 정의된다(즉, 방향의 선택이다). 중간 값 theorem으로써, 그와 같은 hyperplanes의 모든 가족들:한 사람이 극도의 번역, 안창호의 없는 것은 긍정적인 측면을, 그리고 다른 극단적인 번역, 모든 안중근 의사의 볼륨의 긍정적인 측면을 사이에 있는 An'의 절반게 됨이 있어야 한다 번역은을 한정적 개체의 양분하는 적어도 하나의 초평면을 포함하고 있다.s 양의 부피 그런 하이퍼플레인(hyperplane)이 가족 내에 둘 이상 있다면 $A$ 가_n 이등분되는 번역 간격의 중간점을 선택해 표준적으로 하나를 선택할 수 있다. 따라서 우리는 $구체$ S의 각 $p$ 지점에 대해 원점에서 $p$ 까지 벡터에 수직이고 $A$ 를_n 이등분하는 하이퍼플레인 $π (p)$ 을 얻는다.

이제 다음과 같이 $\mathbb {R} ^{n-1}$ ( $n$ - $1)-$ sphere $S$ 에서( $n$ - 1)차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n-1}$ - $\mathbb {R} ^{n-1}$ ${\$ n-1 $}$ 까지의 함수 $f$ 를 정의한다.

f (p) =

π 1 (p

)의 양의 면에 A의 vol

,

π

(p

)의 양의 면에

A

의₂ vol

,

…의 양의 면에

A

의_n−1 vol

.

이 함수 $f$ 는 연속적이다(공식적인 증명에서는 약간의 정당성이 필요하다). By the Borsuk-울람 정리, 구 $S$ 에는 $f (p)$ = $f (q$ )와 같은 항정신병 포인트 $p$ 와 $q$ 가 있다 $.$ 대척점 $p$ 와 $q$ 는 반대 양면(+)이 있다는 점을 제외하고 동일한 하이퍼플레인 $anes (p)$ 과 $π (q)$ 에 해당한다. 따라서 $f (p)$ = $f (q)$ 는 $i$ = 1 $, 2, \dots, n-1$ 에 대해 $π (p)$ (또는 $π (q$ ))의 양과 음의 측면에서 $A$ 의_i 부피가 같다는 것을 의미한다. $따라서 1$ $π (p)$ (또는 $q (q))$ 는 $A 2,$ A, $\dots,$ $A$ 의_n 부피를 동시에 이등분하는 원하는 햄 샌드위치 컷이다.

이론적 버전 측정

치수 이론에서, 스톤 앤드 투키(1942)는 햄 샌드위치 정리의 두 가지 일반적인 형태를 더 증명했다. 두 버전 모두 $공통$ 집합 $X$ 의 n 하위 $집합 1$ X, $X 2, \dots,$ $X$ 의_n 이분법을 다루고 있다. 여기서 $X$ 는 카라테오도리 외측을 가지고 있고 각 $X$ 는_i 유한 외측을 가지고 있다.

그들의 첫 전체 편성은 지속적인 진짜 기능 f:Sn× 따르X→ R{\displaystyle f\colon S^{n}\times X\to({R}}은 지점의n-sphere Sn고 진짜 번호 s0는 표면 f(p,x))s0을 나누는 X로 f(p,x)<>s0과 f(p,x)>s0의 동등한 척도와 동시에를 이등분하고 있다.외부 $X 1 2,$ X, $\dots,$ $X$ 의_n 측도 그 증거는 다시 보르수크-울람 정리의 축소다. 이 정리는 $f (s, x)$ = $sx 11$ + $\dots$ + $sx$ 를_n_n 허용함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.

그들의 두번째 공식화하는 어떤 n+는 선형적으로 X의 긍정적인 조치의 부분 집합에 독립적이다 1측정 가능한 기능 f0, X에 대한 f1,…, 2로는 선형 조합 fcm는 a0f0+a1f1+…+anfn는 표면 f())=0f())를 X을 나누고, 0과 f())>;0, 동시에 X1,의 외부 측정을 양분하는 따른다. X2,…, Xn. 이 정리는 $f 0 (x)$ = $1$ 을 허용하고 $i i$ > $0$ 에 대해f $(x$ $)$ 를 $x$ 의 i번째 좌표가 되게 함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.

이산 및 계산 지오메트리 버전

비행기에 있는 8개의 빨간색 점과 7개의 파란색으로 된 햄샌드위치.

이산형 기하학 및 계산형 기하학에서 햄 샌드위치 정리는 보통 분할되는 각 집합이 유한한 점 집합인 특수한 경우를 가리킨다. 여기서 관련 측정치는 계수 측정값으로, 하이퍼플레인 양쪽에 있는 점의 개수를 세기만 하면 된다. 2차원에서 정리정리는 다음과 같이 진술할 수 있다.

평면 내의 유한한 점 집합에 대해, 각 색상이 "빨간색" 또는 "파란색"인 경우, 빨간 점을 동시에 이등분하고 파란 점을 이등분하는 선이 있다. 즉, 선의 양쪽에 있는 빨강 점의 수가 같고, 양쪽에 있는 파랑 점의 수가 같다.

포인트가 선 위에 놓여 있을 때 예외적인 경우가 있다. 이런 상황에서 우리는 이러한 점들을 각각 한쪽에 있거나, 다른 쪽에 있거나, 선의 어느 쪽에도 있는 것으로 간주한다(아마도 점들에 따라 달라진다), 즉, 사실 "보존"은 각 면이 전체 점수의 절반 이하를 포함하고 있다는 것을 의미한다. 이 예외적인 경우는 정리가 실제로 보유하는 데 필요한데, 물론 붉은 점의 수나 푸른 점의 수가 홀수인 경우지만, 예를 들어, 모든 점이 같은 선에 놓여 있고 두 색상이 서로 분리되어 있는 경우(즉, 색상이 선형을 따라 교대하지 않는 경우)와 같은 경우다.e). 이전 구성에서 선 밖으로 한 점을 더 추가함으로써 양쪽의 포인트 수가 서로 일치할 수 없는 상황을 제공한다.

계산 기하학에서 이 햄 샌드위치 정리는 계산 문제인 햄 샌드위치 문제로 이어진다. 2차원에서, 문제는 이것이다: 각 색상이 "빨간색" 또는 "파란색"인 평면에서 $한정$ 된 n개의 점들을 주어, 그들을 위해 햄 샌드위치를 잘라내라. 첫째, 메가도(1985)는 특수 분리 케이스에 대한 알고리즘을 기술했다. 여기서 모든 붉은 점은 어떤 선의 한쪽에 있고 모든 푸른 점은 다른 쪽에 있는데, 이것은 메기도가 선형적으로 발견할 수 있는 독특한 햄 샌드위치 컷이 있는 상황이다. 나중에, Edelsbrunner & Waupotitsch(1986)는 일반적인 2차원 사례에 대한 알고리즘을 제공했다. 알고리즘의 실행 시간은 $O (n$ $log$ $n$ )이며 $,$ 여기서 기호 $O$ 는 Big O 표기법의 사용을 나타낸다. 마침내, Lo & Steiger(1990)는 최적의 $O (n)$ 시간 알고리즘을 찾았다. 이 알고리즘은 더 높은 치수에 자, Matoušek 및에 의해;점의d-dimensional 공간에 일반 위치에서 상영 시간이 OOO(nd− 1){\displaystyle o(n^{d-1})}스타 이거(1994년)에 d세트 확대되었다, 알고리즘 각 면에서 세트의 포인트와 동일한 수를 갖춘(d−1)-dimensional 초평면을 계산합니다. 의 주어진 포인트에 대한 햄-트레이드 컷과 같은 반감각이다. $d$ 가 입력의 일부인 경우, 점들이 모멘트 곡선에 있는 것처럼 어떤 다항 시간 알고리즘도 존재하지 않을 것으로 예상되며, 문제는 PPA-완전인 목걸이 분할과 동등하게 된다.

영역-bisc가 두 개의 불연속 볼록 폴리곤을 갖는 선형 시간 알고리즘은 Stojmenovic(1991)에 의해 설명된다.

일반화

원래의 정리는 대부분 $n개$ 의 집합에 대해 작동하는데, 여기서 $n$ 은 차수의 수입니다. 더 높은 차원으로 가지 않고 더 많은 수의 컬렉션을 이등분하려면 하이퍼플레인 대신 도 $k$ 의 대수적 표면, 즉 도 $k$ 의 다항 함수로 정의된 ( $n-1$ ) 차원 표면을 사용할 수 있다.

$n-차원$ ${\binom {k+n}{n}}-1$ 에서 ${\binom {k+n}{n}}-1$ ( ${\binom {k+n}{n}}-1$ + n ${\binom {k+n}{n}}-1$ $-$ 1 {\ $displaystyle {\binom$ {k $+n}{n}{$ n1}-1}의 ${\binom {k+n}{n}}-1$ 측도를 고려할 때, 그 모두를 이등분하는 도 $k$ 의 대수적 표면이 존재한다. (Smith & Wormald(1998)

$이러한$ 일반화는 n-차원 평면을 ${\binom {k+n}{n}}-1$ ( ${\binom {k+n}{n}}-1$ ${\binom {k+n}{n}}-1$ ) - ${\binom {k+n}{n}}-1$ {\ $displaystyle$ {\ $binom {k+n}{n}{n1$ } 치수 ${\binom {k+n}{n}}-1$ 평면에 매핑한 후 원래의 정리를 적용함으로써 증명된다. 예를 들어, $n$ = $2$ 및 $k$ = $2$ 의 경우, 2차원 평면은 다음을 통해 5차원 평면에 매핑된다.

(x,

y) \to

(

x,

y,

x 2,

y 2,

xy)

참고 항목

정확한 분할

참조

Beyer, W. A.; Zardecki, Andrew (2004), "The early history of the ham sandwich theorem", American Mathematical Monthly, 111 (1): 58–61, doi:10.2307/4145019, JSTOR 4145019, ProQuest 203746537.
Cairns, Stewart S. (Spring 1963), "Networks, ham sandwiches, and putty", Pi Mu Epsilon Journal, 3 (8): 389–403, JSTOR 24338222.
Dubins, L. E.; Spanier, E. H. (January 1961), "How to cut a cake fairly", American Mathematical Monthly, 68 (1P1): 1–17, doi:10.1080/00029890.1961.11989615
Edelsbrunner, Herbert; Waupotitsch, R. (1986), "Computing a ham sandwich cut in two dimensions", Journal of Symbolic Computation, 2 (2): 171–178, doi:10.1016/S0747-7171(86)80020-7.
Lo, Chi-Yuan; Steiger, W. L. (1990), "An optimal time algorithm for ham-sandwich cuts in the plane", Proceedings of the Second Canadian Conference on Computational Geometry, pp. 5–9.
Lo, Chi-Yuan; Matoušek, Jiří; Steiger, William L. (1994), "Algorithms for Ham-Sandwich Cuts", Discrete and Computational Geometry, 11 (4): 433–452, doi:10.1007/BF02574017.
Megiddo, Nimrod (1985), "Partitioning with two lines in the plane", Journal of Algorithms, 6 (3): 430–433, doi:10.1016/0196-6774(85)90011-2.
Peters, James V. (Summer 1981), "The ham sandwich theorem and some related results", The Rocky Mountain Journal of Mathematics, 11 (3): 473–482, doi:10.1216/RMJ-1981-11-3-473, JSTOR 44236614.
Smith, W. D.; Wormald, N. C. (1998), "Geometric separator theorems and applications", Proceedings 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Cat. No.98CB36280), p. 232, doi:10.1109/sfcs.1998.743449, ISBN 0-8186-9172-7, S2CID 17962961
Editors (1938), "Notatki: Z topologii", Mathesis Polska (in Polish), 11 (1–2): 26–28.
Stone, Arthur H.; Tukey, John W. (1942), "Generalized "sandwich" theorems", Duke Mathematical Journal, 9 (2): 356–359, doi:10.1215/S0012-7094-42-00925-6.
Stojmenovíc, Ivan (1991), "Bisections and ham-sandwich cuts of convex polygons and polyhedra.", Info. Processing Letts., 38 (1): 15–21, doi:10.1016/0020-0190(91)90209-Z.

외부 링크

Weisstein, Eric W., "Ham Sandwich Theorem", MathWorld
햄 샌드위치 정리 수학의 일부 단어의 초기 알려진 사용법
대니얼 맥네빈의 햄 샌드위치 커트
대화형 2D 시연

Search