쌍곡선 삼각형

안장형 표면에 내장된 쌍곡 삼각형

쌍곡 기하학에서 쌍곡 삼각형은 쌍곡면의 삼각형이다. 그것은 측면이나 가장자리라고 불리는 세 개의 선 부분과 각도나 정점이라고 불리는 세 개의 점으로 구성되어 있다.

유클리드 사례에서와 마찬가지로 임의 차원의 쌍곡선 공간의 세 지점이 항상 같은 평면에 놓여 있다. 따라서 평면 쌍곡선 삼각형은 또한 어떤 더 높은 차원의 쌍곡선 공간에서 가능한 삼각형을 설명한다.

order-7 삼각형 타일링에는 2㎛/7라디안 내부 각도가 있는 등변 삼각형이 있다.

정의

쌍곡선 삼각형은 세 개의 비협착 지점과 그 사이의 세 개의 세그먼트로 구성된다.^[1]

특성.

쌍곡선 삼각형에는 유클리드 기하학에서 삼각형 삼각형과 유사한 몇 가지 특성이 있다.

각 쌍곡선 삼각형에는 원형이 새겨져 있지만 모든 쌍곡선 삼각형이 원형으로 되어 있는 것은 아니다(아래 참조). 그것의 꼭지점은 호로시클이나 하이퍼사이클 위에 놓여질 수 있다.

쌍곡선 삼각형에는 구형 또는 타원형 기하학에서 삼각형 삼각형과 유사한 몇 가지 특성이 있다.

각도 합이 같은 두 삼각형은 면적이 같다.
삼각형 영역에는 상한이 있다.
새겨진 원의 반지름에는 상한이 있다.
2개의 삼각형은 선 반사의 유한한 산물에 해당하는 경우에만 합치된다.
해당 각도가 같은 두 삼각형은 합치(즉, 모든 유사한 삼각형은 합치)이다.

쌍곡선 삼각형에는 구형 또는 타원형 기하학에서 삼각형 속성과 반대되는 몇 가지 특성이 있다.

삼각형의 각도 합계가 180° 미만이다.
삼각형의 면적은 180°에서 각도의 결함에 비례한다.

쌍곡선 삼각형에는 다른 기하학에서 찾을 수 없는 몇 가지 특성도 있다.

일부 쌍곡선 삼각형에는 원형이 없으며, 이는 정점 중 적어도 하나가 이상적인 지점이거나 모든 정점이 호로시클 또는 단측 하이퍼사이클 위에 놓여 있는 경우에 해당한다.
쌍곡선 삼각형은 얇고, 가장자리의 한 점에서 다른 두 가장자리 중 하나에 이르는 최대 거리 Δ가 있다. 이 원리는 Δ-hyperbolic 공간을 낳았다.

이상적인 정점이 있는 삼각형

푸앵카레 디스크 모델의 세 가지 이상적인 삼각형

삼각형의 정의는 일반화할 수 있으며, 평면 내에서 면을 유지하면서 평면의 이상적인 경계선에 정점을 허용한다. 만약 한 쌍의 변이 평행하게 제한되고 있다면(즉, 이상적인 지점에 도달하는 경향이 있지만 교차하지 않는 한 쌍의 변이) 오메가 점으로 대표되는 이상적인 정점에서 끝난다.

그런 한 쌍의 옆구리가 0의 각도를 이루고 있다고도 할 수 있다.

유클리드 기하학에서는 뚜렷한 선에 놓여 있는 직선의 경우 영각 삼각형이 불가능하다. 그러나 이러한 영각은 접선 원과 함께 가능하다.

하나의 이상적인 꼭지점이 있는 삼각형을 오메가 삼각형이라고 한다.

이상적인 정점을 가진 특수 삼각형:

평행도의 삼각형

하나의 꼭지점이 이상적인 지점인 삼각형, 하나의 각도가 옳은 경우: 세 번째 각도는 오른쪽과 세 번째 각 사이의 옆면 길이에 대한 평행각이다.

슈바이카트 삼각형

두 꼭지점이 이상적인 지점이고 나머지 각도가 맞는 삼각형은 페르디난드 칼 슈바이카트가 설명한 최초의 쌍곡 삼각형(1818) 중 하나이다.

이상 삼각형

모든 정점이 이상적인 점인 삼각형, 이상적인 삼각형은 각도의 영합 때문에 쌍곡 기하학에서 가능한 가장 큰 삼각형이다.

표준화된 가우스 곡률

각도와 옆면 사이의 관계는 구면 삼각법과 유사하다; 구면 기하학과 쌍곡 기하학의 길이 척도는 예를 들어 고정된 각도를 가진 정삼각형의 옆면 길이로 정의될 수 있다.

길이 척도는 길이를 절대 길이(구형 기하학에서 거리 간 관계와 유사한 길이의 특수 단위)로 측정할 경우 가장 편리하다. 이 길이 척도를 선택하면 공식이 더 간단해진다.^[2]

In terms of the Poincaré half-plane model absolute length corresponds to the infinitesimal metric $ds={\frac { dz }{\operatorname {Im} (z)}}$ and in the Poincaré disk model to $ds={\frac {2 dz }{1- z ^{2}}}$ .

쌍곡면의 가우스 곡률 $K$ (정수 및 음수)로 볼 때 절대 길이의 단위는 다음과 같은 길이에 해당한다.

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}

=

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}

-

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}

{\

쌍곡선 삼각형에서 각 A, B, C의 합은 직각보다 확실히 작다. 직각의 측정과 삼각형의 각도의 측정 합계의 차이를 삼각형의 결점이라고 한다. 쌍곡선 삼각형의 면적은 그 결함에 $R$ :의 제곱을 곱한 것과 같다.

displaystyle (\pi -A-B-C)

R^{2}{}{}\!}

.

요한 하인리히 램버트가 처음 입증한 이 정리는 구면 기하학에서 지라드의 정리와 관련이 있다.^[3]

삼각법

면 $아래$ 에 명시된 모든 공식에서 a, $b$ 및 $c$ 는 절대 길이로 측정해야 하며, 단위는 평면의 가우스 곡률 $K$ 가 -1이 되도록 한다. 즉, 상기 단락의 수량 $R$ 은 1과 같게 되어 있다.

쌍곡선 삼각형의 삼각형 공식은 쌍곡선 함수 sinh, cosh 및 tanh에 따라 달라진다.

직삼각형의 삼각법

C가 직각인 경우:

A 각도의 사인(sine)은 각도의 반대편에 있는 쪽의 쌍곡선 사인(hypotenuse의 쌍곡선 사인)으로 나눈 값이다.

\sin A={\frac {\textrm {sinh(반대자)}}{\textrm {sinh((otenuse)}}}}={\frac {\sinh a}{\\,\sinh c\,}}},

A 각도의 코사인(cosine)은 인접 다리의 쌍곡 탄젠트를 저선용 쌍곡 탄젠트로 나눈 쌍곡선 탄젠트다.

\cos A={\frac {\textrm {tanh(인접)}}{\textrm {tanh((otenuse)}}}}={\frac {\tanh b}{\\,\tanh c\,}}},

A 각도의 접선은 반대쪽 다리의 쌍곡 접선을 인접 다리의 쌍곡 사인(쌍곡 사인)으로 나눈 것이다.

{\

}}{\textrm {sinh(()

}}}}={\frac {\tanh

a

}{\\,\sinh

b

\tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}

A 각도에 인접한 다리의 쌍곡 코사인은 B 각도의 코사인을 A 각도의 사인(sine)으로 나눈 값이다.

{\

}}}}={\frac

{\

cos

B

}{\sin

A

{\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}

저혈압의 쌍곡 코사인은 다리의 쌍곡 코사인의 산물이다.

(

}}}={\textrm {cosh(adjacent)

}}{\textrm {cosh

저선용 쌍곡 코사인은 또한 각도의 코사인 코사인의 산물이기도 하다.^[4]

{\textrm {cosh(일반 사용)}}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}=\cot A\cot B

각도 간 관계

우리는 또한 다음과 같은 방정식을 가지고 있다.^[5]

A=\cosh a\sin B}

\sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}

\tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}

B=\cosh b\sin A}

\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}

면적

직각 삼각형의 영역은 다음과 같다.

{\textrm {Area}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B

또한

{\textrm}=2\arctan(\tanh({\frac {a}{2}})\tanh({\frac {b}{2}})}

^{[필요하다]}^[6]

평행각

직각 오메가 삼각형의 경우는 삼각형의 평행도의 각도를 조사하기 위한 구성을 제공한다.

이 경우 B = 0, a = c = c = $\infty$ ${\displaystyle \inforty$ }, ${\textrm {tanh}}(\infty )=1$ = ${\textrm {tanh}}(\infty )=1$ {\ $displaystyle {\tanh}(\infty )=1$ $\cos A={\textrm {tanh(adjacent)}}$ 결과적으로 $\infty$ $\cos A={\textrm {tanh(adjacent)}}$ A = $tanh(인접)$ {\ $displaystystystysty}.$

정삼각형

직삼각형의 삼각법 공식은 또한 측방 s와 정삼각형(모든 면이 길이가 같고 모든 각도가 동일한 삼각형)의 각도 A 사이의 관계를 제공한다.

관계는 다음과 같다.

\cos A={\frac {{\textrm {tanh}({1}{1}2}}초)}{{\textrm {tanh}s}}}

\cosh({\frac {1}{2}}초)={\frac {1}{1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{1}2}}A)}}}}}}}}}}}}

일반 삼각법

C가 직각이든 아니든 다음 관계는 유지된다. 코사인 쌍곡법칙은 다음과 같다.

\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh a\sinh b\cos C,}

그것의 이중 정리는

\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}

또한 sine의 법칙도 있다.

{\frac {\sinh A}{\sinh a}={\frac {\sinh b}}={\frac {\sinh C}{\sinh c},

그리고 4개의 공식:

\displaystyle \cosh a=\sinh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}

구면 삼각법에서 아날로그 공식과 같은 방법으로 도출된다.

참고 항목

쌍곡선 삼각법의 경우:

참조

^ Stothers, Wilson (2000), Hyperbolic geometry, University of Glasgow, 대화형 지침 웹 사이트
^ Needham, Tristan (1998). Visual Complex Analysis. Oxford University Press. p. 270. ISBN 9780198534464.
^ Ratcliffe, John (2006). Foundations of Hyperbolic Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 149. Springer. p. 99. ISBN 9780387331973. That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
^ Martin, George E. (1998). The foundations of geometry and the non-Euclidean plane (Corrected 4. print. ed.). New York, NY: Springer. p. 433. ISBN 0-387-90694-0.
^ Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometry. Moscow 1982: Mir Publishers. p. 63.{{cite book}}: CS1 maint : 위치(링크)
^ "Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths". Stack Exchange Mathematics. Retrieved 11 October 2015.

추가 읽기

스베틀라나 카톡(1992) 푸첸 그룹, 시카고 대학교 프레스 ISBN 0-226-42583-5

[1] Stothers, Wilson (2000), Hyperbolic geometry, University of Glasgow, 대화형 지침 웹 사이트

[2] Needham, Tristan (1998). Visual Complex Analysis. Oxford University Press. p. 270. ISBN 9780198534464.

[3] Ratcliffe, John (2006). Foundations of Hyperbolic Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 149. Springer. p. 99. ISBN 9780387331973. That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.

[4] Martin, George E. (1998). The foundations of geometry and the non-Euclidean plane (Corrected 4. print. ed.). New York, NY: Springer. p. 433. ISBN 0-387-90694-0.

[5] Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometry. Moscow 1982: Mir Publishers. p. 63.{{cite book}}: CS1 maint : 위치(링크)

[6] "Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths". Stack Exchange Mathematics. Retrieved 11 October 2015.

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