초연결공간

위상의 수학적 분야에서 초연결 공간이나^[1] 불가해한^[2] 공간은 위상학적 공간 X로서 적절한 두 개의 닫힌 집합(해체든 비분리든)의 결합으로 쓸 수 없다.대수 기하학에서는 불가해한 공간이라는 이름이 선호된다.

위상학적 공간 X의 경우 다음 조건은 동일하다.

• 비어 있지 않은 두 개의 오픈 세트는 분리되지 않는다.
• X는 두 개의 적절한 닫힌 세트의 조합으로 쓸 수 없다.
• 비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 X로 밀도가 높다.
• 제대로 된 닫힌 세트마다 내부가 텅 비어 있다.
• 모든 부분집합은 X로 밀도가 높거나 어디에도 밀도가 없다.
• 어떤 두 지점도 공동 이웃에 의해 분리될 수 없다.

이러한 조건들 중 어느 하나를 만족시키는 공간을 초연결 또는 불가해결이라고 한다.어떤 의미에서 하우스도르프 속성과 반대되는 뚜렷한 지점의 이웃에 대한 조건 때문에, 어떤 저자들은 그러한 공간을 반하우스도르프라고 부른다.^[3]

수정할 수 없는 집합은 하위 공간 위상이 변경할 수 없는 위상 공간의 하위 집합이다.일부 저자들은 빈 집합이 상기 조건을 빈칸으로 만족시키더라도 되돌릴 수 없는 것으로 간주하지 않는다.

예

점 집합 위상에서 초연결된 공간의 두 가지 예로는 무한 집합의 코피나이트 $위상$과 R ${\$의 올바른 순서 위상이 있다$.$

대수 기하학에서, 감소된 링이 적분 영역인 링의 스펙트럼을 취하는 것은 불가해한 위상학적 공간이며, 모든 프라임 내에 있는 니라디칼에 격자 정리를 적용하여, 인용된 지도의 스펙트럼이 동형성이라는 것을 보여주면, 이는 적분 영역의 스펙트럼의 무적분성으로 감소한다.예를 들어, 시스템

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$ , ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))$$}}}$

두 경우 모두 이상을 정의하는 다항식이 수정 불가능한 다항식이기 때문에 수정할 수 없다.비예제는 일반 교차 분할자에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\text{Spec}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y,z]}{(xyz)}}}\오른쪽)}$

since the underlying space is the union of the affine planes ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$, and ${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$. Another non-example is given by the scheme

${\displaystyle {\text{Proj}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y,z,w]}{(xy,f_{4}}}}}\오른쪽)}$

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 수정할 수 없는 정도 4 동종 다항식이다.이것은 두 개의 속 3 곡선의 조합이다(속-도 공식에 의한).

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w)}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w)}}\right)}$

초연결성 vs 연결성

모든 초연결 공간은 연결 및 로컬로 연결된다(경로 연결 또는 로컬 경로 연결 필요 없음).

초연결성의 정의에서 닫힌 집합은 분리될 필요가 없다는 점에 유의하십시오.이는 오픈 세트가 분리되는 연결성의 정의와는 대조적이다.

예를 들어, 표준 위상이 있는 실수의 공간은 연결되어 있지만 초연결되어 있지 않다.두 개의 분리 오픈 세트의 조합으로 쓸 수 없지만, 2개의 (비분리) 폐쇄 세트의 조합으로 쓸 수 있기 때문이다.

특성.

• 초연결 공간의 (비어 있지 않은) 열린 서브셋은 각각의 서브셋이 X로 밀도가 높고 어떤 한 쌍이라도 교차한다는 점에서 "크다"고 한다.따라서 초연결 공간은 한 점만 담지 않으면 하우스도르프가 될 수 없다.

• 모든 초연결 공간은 연결 및 로컬로 연결된다(경로 연결 또는 로컬 경로 연결 필요 없음).

• 초연결된 공간에 비어 있지 않은 모든 오픈세트의 폐쇄는 오픈세트인 전체 공간이기 때문에 초연결된 모든 공간은 극단적으로 단절된다.

• 초연결된 공간의 연속 영상이 초연결된다.^[4]특히 초연결된 공간에서 하우스도르프 공간까지의 모든 연속적인 기능은 일정해야 한다.모든 초연결 공간은 유사점이라는 것을 따른다.

• 초연결된 공간의 모든 열린 하위 공간은 초연결된다.^[5]

증명: $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$을(를) 열린 하위 집합으로 두십시오. $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 두 개의 분리 개방형 서브셋은 $그{\displaystyle }$ 자체로 X ${\displaystyle X}$의 분리 개방형 서브셋이 될 수 있으므로$$, 그 중 적어도 하나는 비어 있어야 한다$.$

• 보다 일반적으로 초연결된 공간의 모든 밀도 하위 집합은 초연결된다.

Proof: Suppose ${\displaystyle S}$ is a dense subset of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$ with ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ closed in ${\displaystyle S}$. Then ${\displaystyl$$e X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$. Since ${\displaystyle X}$ is hyperconnected, one of the two closures is the whole space ${\displaystyle X}$, say ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$. 이는 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}이 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 밀도가 있음을$$ 의미하며$,$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 닫히기 때문에$$$S{\displaystyle }$ ${\displaysty$ S$}$과 같아야 한다$.$

• 초연결공간의 폐쇄된 하위공간은 초연결할 필요가 없다.

Counterexample: ${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$ with ${\displaystyle \Bbbk }$ an algebraically closed field (thus infinite) is hyperconnected^[6] in the Zariski topology, while ${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$ is closed and not hyperconnected.

• 모든 불가해한 세트의 폐쇄는 되돌릴 수 없다.^[7]

Proof: Suppose ${\displaystyle S\subseteq X}$ where ${\displaystyle S}$ is irreducible and write ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$ for two closed subsets ${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$ (and thus in ${\displaystyle X$$}}$ ) $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cap }$ S ${\displaystyle$ F$':$$=F\cap S,\,G':=G\cap S}$ are closed in ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle S=F'\cup G'}$ which implies ${\displaystyle S\subseteq F}$ or ${\displaystyle S\subseteq G}$, but then ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$ or ${\displ$폐쇄의 $정의$에 의한$aystyle \operatorname {Cl}$_{X}(S$)=G}$

• A space ${\displaystyle X}$ which can be written as ${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$ with ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$ open and irreducible such that ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ is irreducible.^[8]

Proof: Firstly, we notice that if ${\displaystyle V}$ is a non-empty open set in ${\displaystyle X}$ then it intersects both ${\displaystyle U_{1}}$ and ${\displaystyle U_{2}}$; indeed, suppose ${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$, then ${\displ$$aystyle V_{1}}$ is dense in ${\displaystyle U_{1}}$, thus ${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ and ${\displaystyle x\in U_{2}}$ is a point of closure of ${\dis$$playstyle V_{1}}$ which implies ${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ and a fortiori ${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$. Now ${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$ and taking the closure ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=$$U_{1}\cup U_{2}=X,}$ $따라서$ V ${\displaystyle V}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ X$}$의 비어 있지 않은 열려 있는 밀집된 부분 집합입니다$.$ 이는 비어 있지 않은 모든 부분 집합에 해당하므로 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}$은(으)를 다시 정의할 수 없습니다$$.

불분명한 구성 요소

위상학적 공간의 회복 불가능한 구성^[9] 요소는 최대 회복 불가능한 부분 집합(즉, 더 큰 회복 불가능한 집합에 포함되지 않는 회복 불가능한 집합)이다.돌이킬 수 없는 부품은 항상 닫혀 있다.

공간 X의 모든 되돌릴 수 없는 부분 집합은 X의 (필수적으로 고유한 것은 아님) 되돌릴 수 없는 구성요소에 포함되어 있다.^[10]특히 X의 모든 지점은 X의 어떤 돌이킬 수 없는 구성요소에 포함되어 있다.공간의 연결된 구성 요소와는 달리, 복구할 수 없는 구성 요소는 분리될 필요가 없다(즉, 칸막이를 형성할 필요가 없다).일반적으로, 돌이킬 수 없는 구성 요소들이 겹칠 것이다.

하우스도르프 공간의 돌이킬 수 없는 요소들은 단지 싱글톤 세트일 뿐이다.

모든 되돌릴 수 없는 공간은 연결되어 있기 때문에, 되돌릴 수 없는 구성 요소는 항상 연결된 구성 요소에 있을 것이다.

모든 노메테리아 위상학 공간에는 미세하게 많은 돌이킬 수 없는 요소들이 있다.^[11]

참고 항목

• 울트라콘넥트 공간
• 술취한 공간
• 기하학적으로 되돌릴 수 없는

메모들

참조

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• "Hyperconnected space". PlanetMath.