입사 기하학

수학에서 발생 기하학은 발생 구조의 연구다. 유클리드 평면과 같은 기하학적 구조는 길이, 각도, 연속성, 간격, 발생률과 같은 개념을 포함하는 복잡한 물체다. 발생 구조는 다른 모든 개념이 제거되고 남은 것은 어떤 점이 어떤 선에 놓여 있는가에 대한 데이터일 때 얻어지는 것이다. 이러한 심각한 한계에도 불구하고, 이론은 증명될 수 있고 이 구조에 관한 흥미로운 사실들이 나타난다. 그러한 근본적인 결과는 더 풍부한 기하학적 구조를 형성하기 위해 추가적인 개념을 추가할 때 유효하다. 때때로 저자들이 연구와 그 연구의 대상의 구분을 흐리게 하는 일이 발생하므로, 일부 저자들이 발생 구조를 발생 기하학이라고 언급하는 것을 발견하는 것은 놀라운 일이 아니다.^[1]

발병 구조는 자연적으로 발생하며 수학의 다양한 영역에서 연구되어 왔다. 따라서 이러한 개체를 설명하는 용어는 서로 다르다. 그래프 이론에서는 하이퍼그래프라고 불리고 조합 설계 이론에서는 블록 설계라고 불린다. 용어 차이 외에도, 각 영역은 주제에 다르게 접근하며, 해당 분야와 관련된 이러한 대상에 대한 질문에 관심이 있다. 발생 기하학에서와 같이 기하학적 언어를 사용하여, 일반적으로 제시되는 주제와 예를 형상화한다. 그러나 한 분야의 결과를 다른 분야의 용어로 번역하는 것은 가능하지만, 이것은 종종 주제에서 자연적으로 나온 것으로 보이지 않는 어색하고 난잡한 진술로 이어진다. 이 기사에 선택된 예에서는 자연적인 기하학적 풍미를 가진 것만 사용한다.

많은 관심을 불러일으킨 특별한 경우는 유클리드 평면의 유한한 점 집합과 그들이 결정하는 (직선) 선의 수와 유형에 대해 말할 수 있는 것을 다룬다. 이 상황의 일부 결과는 발생 속성만 고려되기 때문에 더 일반적인 설정으로 확장될 수 있다.

발생 구조

발생 구조(P, L, I)는 요소를 점이라고 하는 집합 P, 요소를 선이라고 하는 분리 집합 L 및 그 사이의 발생 관계 I, 즉 요소를 플래그라고 하는 P × L의 하위 집합으로 구성된다.^[2] (A, l)이 깃발인 경우, 우리는 (용어는 대칭이다.) 또는 A와 인시던트(A, l)라고 말하고, 직관적으로 A I l. 점과 선은 선상에 있는 경우에만 이 관계에 있다. 국기를 형성하지 않는 점 B와 선 m, 즉 점이 선에 있지 않은 경우, 쌍(B, m)을 반플래그라고 한다.

발생 구조에서의 거리

발생 구조에는 거리에 대한 자연적인 개념(측정지표)이 없다. 그러나 결합 메트릭은 해당 발생 그래프(Levi 그래프)에 존재하며, 즉 이 양분 그래프에서 두 꼭지점 사이의 최단 경로의 길이입니다. 두 점, 두 선 또는 한 점, 한 선 등 발생 구조의 두 물체 사이의 거리는 발생 구조의 발생 그래프에서 해당 정점 사이의 거리로 정의할 수 있다.

거리를 다시 정의하는 또 다른 방법은 관련 구조에서 그래프-이론적 개념을 사용하는데, 이번에는 발생 구조의 공선성 그래프를 사용한다. 공진도 그래프의 정점은 발생 구조의 점이며 두 점 모두 선 인시던트가 있을 경우 두 점이 결합된다. 그런 다음 입사 구조의 두 점 사이의 거리는 공선도 그래프에서 이들의 거리로 정의할 수 있다.

발생 구조에서 거리를 고려할 때, 어떻게 정의되고 있는지 언급할 필요가 있다.

부분 선형 공간

가장 많이 연구되는 발생 구조는 투영 평면, 아핀 평면, 일반화된 다각형, 부분 기하학 및 인근 다각형 등 일부 추가 특성(축)을 만족하는 구조다. 매우 일반적인 발병 구조는 다음과 같은 "mild" 조건을 부과하여 얻을 수 있다.

부분 선형 공간은 다음 공리가 참인 발생 구조다.^[3]

• 각각의 구별되는 점 쌍은 최대 하나의 선을 결정한다.
• 모든 선에는 적어도 두 개의 구별되는 점이 있다.

부분적인 선형 공간에서는 구별되는 선들의 모든 쌍이 최대 한 점에서 만난다는 것도 사실이다. 이 진술은 위의 하나의 공리에서 쉽게 증명되기 때문에 가정할 필요가 없다.

추가적인 제약조건은 규칙성 조건에 의해 제공된다.

RLk: 각 선은 동일한 수의 점으로 인시던트된다. 유한하다면 이 숫자는 종종 k로 표시된다.

RPr: 각 점은 같은 수의 선을 가진 사건이다. 유한하다면 이 숫자는 종종 r로 표시된다.

부분 선형 공간의 두 번째 공리는 k > 1. 어느 규칙성 조건도 다른 것을 의미하지 않기 때문에 r > 1이라고 가정해야 한다.

k, r > 1로 두 규칙성 조건을 모두 만족하는 유한 부분 선형 공간을 전술적 구성이라고 한다.^[4] 일부 저자들은 이것을 단순히 구성 또는 ^[5]투영적 구성이라고 부른다.^[6] 전술적 구성이 n개의 점과 m 선을 갖는 경우, 깃발을 이중으로 세어 nr = mk 관계를 설정한다. 공통 표기법은 (n_rk, m)-구성을 가리킨다. n = m(따라서 r = k)인 특별한 경우, 표기법(n_k, n_k)은 단순히 (n_k)으로 표기되는 경우가 많다.

선형 공간은 다음과 같은 부분 선형 공간이다.^[7]

• 각각의 구별되는 점 쌍은 정확히 하나의 선을 결정한다.

일부 저자는 다음과 같은 (부분적) 선형 공간의 정의에 "비발전성"(또는 "비경쟁성") 공리를 추가한다.

• 적어도 두 개의 뚜렷한 선이 존재한다.^[8]

이것은 일반적으로 발생 구조에 대해 만들어진 일반적인 진술의 예외일 수 있는 매우 작은 예(주로 P 또는 L 집합이 3개 이하의 원소를 갖는 경우)를 배제하기 위해 사용된다. 공리를 추가하는 방법의 하나는 공리를 만족시키지 못하는 발생 구조와 비교해서 하는 발생 구조를 가리키는 것이다.

각 비삼각형 선형 공간에는 최소 3개의 점과 3개의 선이 포함되어 있으므로 존재할 수 있는 가장 단순한 비삼각형 선형 공간은 삼각형이다.

모든 선에 최소 3개의 점이 있는 선형 공간은 실베스터-갈라이 설계다.

기본 기하학적 예

일부 기본 개념과 용어는 기하학적 예, 특히 투영 평면과 부속 평면에서 발생한다.

투영 평면

투영 평면은 다음과 같은 선형 공간을 말한다.

• 각각의 뚜렷한 선들은 정확히 한 점에서 만난다.

비응급성 조건을 만족하는 경우:

• 4개의 점이 존재하며, 그 중 3개는 공선이다.

투영 평면에서 P와 L 사이에 편차가 있다. P가 유한 집합인 경우, 투사 평면을 유한 투사 평면이라고 한다. 유한 투영 평면의 순서는 n = k – 1이며, 즉 선상의 점 개수보다 1이 작다. 알려진 모든 투사 비행기들은 주요 세력인 명령을 가지고 있다. 순서 n의 투영면은 (n² + n + 1) 구성이다._{n + 1}

가장 작은 투영 평면은 순서 2를 가지고 있으며 파노 평면으로 알려져 있다.

파노 평면

이 유명한 발병 기하학은 이탈리아의 수학자 지노 파노에 의해 개발되었다. 그는 자신이 개발한 투사적인 n-공간에 대한 공리 집합의 독립성을 입증하는^[9] 작업에서 각 선에 3점밖에 없는 15점, 35선, 15면 등으로 유한한 3차원 공간을 제작했다.^[10][11] 이 공간에 있는 비행기들은 7개의 점, 7개의 선으로 구성되어 있으며 현재 파노 비행기라고 알려져 있다.

Fano 평면은 점 및 직선 세그먼트만 사용하여 유클리드 평면에 표시할 수 없다(즉, 실현 가능하지 않다). 이는 실베스터-갈라이 정리의 결과로서, 실현 가능한 모든 발생 기하학에는 두 점만을 포함하는 선인 보통 선이 포함되어야 한다. 파노 평면은 그러한 선(즉 실베스터-갈라이 구성)이 없으므로 실현 가능하지 않다.^[12]

완전한 사각형은 4개의 점으로 구성되며, 그 중 3개는 콜린어(colinare)가 아니다. Fano 평면에서, 완전한 사분면에 있지 않은 세 점은 그 사분면의 대각선 점이며, 일직선이다. 이는 완전한 사분면의 세 가지 대각선이 결코 시준되지 않는다는 유클리드 평면의 공리로 자주 사용되는 파노 공리와 배치된다.

아핀 비행기

아핀 평면은 다음을 만족하는 선형 공간이다.

• A와 라인 I이 그것과 충돌하지 않는 어떤 점에 대해 (반 플래그) A와 정확히 하나의 라인 m 사건(즉, A I m)이 있으며, 이 사건은 l를 충족하지 않는다(Playfair의 공리로 알려져 있다),

그리고 비숙련성 조건을 만족시키는 경우:

• 삼각형(triangle)이 존재하는데, 즉 세 개의 비협착점(non-collinar points가 있다.

플레이페어의 공리문장에 있는 l와 m의 선은 평행하다고 한다. 모든 부속 평면은 투영 평면으로 독특하게 확장될 수 있다. 유한 아핀 평면의 순서는 선상의 점 수인 k이다. 순서 n의 부속 평면은 ((n²),_{n + 1} (n² + n)_n 구성이다.

헤세 구성

순서 3의 부속 평면은 a (9₄, 12₃) 구성이다. 일부 주변 공간에 내장되어 있을 때 이를 헤세 구성이라고 한다. 그것은 유클리드 평면에서 실현 가능하지 않지만, 타원곡선의 9개 변곡점과 12개의 선이 3배와 충돌하여 복잡한 투영 평면에서 실현 가능하다.

12줄은 각각 3줄의 4개 등급으로 분할할 수 있으며, 각 클래스에서 라인은 상호 분리된다. 이러한 클래스를 선의 병렬 클래스라고 한다. 4개의 새로운 점을 추가하면 각각 하나의 평행 클래스의 모든 라인에 추가되며(따라서 이 모든 라인이 지금 교차), 이 4개의 새로운 포인트만을 포함하는 하나의 새로운 라인이 순서 3의 투영 평면, a (13₄) 구성을 생성한다. 반대로 순서 3의 투사 평면으로 시작하여(그것은 고유함) 하나의 선과 그 선의 모든 점을 제거하면 순서 3의 이 부속 평면이 생성된다(또한 독특함).

한 점과 그 점을 통과하는 네 개의 선(그 선 위의 다른 점은 제외)을 제거하면 (8₃) 뫼비우스-칸토르 구성이 생성된다.

부분 기하학

정수 α ≥ 1이 주어진 경우, 다음을 만족하는 전술적 구성:

• 모든 안티 플래그(B, m)에 대해, B I l과 A I m과 같은 α 깃발(A, l)이 있다.

부분 기하학이라고 불린다. 선에 s + 1 점이 있고 점을 통과하는 t + 1 선이 있는 경우 부분 기하학의 표기법은 pg(s, t, α)이다.

α = 1인 경우 이러한 부분 기하학적 도형은 일반화된 사각형이다.

만일 α = s + 1이면 이를 Steiner 시스템이라고 한다.

일반화 다각형

n > 2의 경우 일반화된 n-곤은 발생 그래프 γ에 다음 특성이 있는 부분 선형 공간이다.^[13]

• γ(최단 주기의 길이)의 둘레는 diameter(이 경우 두 꼭지점 사이의 가장 큰 거리, n)의 두 배다.

일반화된 2곤은 발생 구조로, 부분적인 선형 공간이 아니며, 모든 점이 모든 선과 충돌하는 최소 2개의 점과 2개의 선으로 구성되어 있다. 일반화된 2-곤의 발생률 그래프는 완전한 초당적 그래프다.

일반화된 n-곤은 2㎛ < n에 대해 일반적인 m-곤을 포함하지 않으며, 모든 물체 쌍(2점, 2선 또는 1점과 선)에 대해 두 가지 모두를 포함하는 일반적인 n-곤이 있다.

일반화된 3-곤은 투영 평면이다. 일반화된 4-gon을 일반화된 4각형이라고 한다. Feit-Higman 정리에 의해 최소 선당 3개 포인트와 점당 3개 라인이 n = 2, 3, 4, 6 또는 8인 유한 일반화된 n-gon이 있다.

폴리곤 근처

음수가 아닌 정수 d의 경우 2d-곤에 가까운 것은 다음과 같은 발생 구조물이다.

• 두 점 사이의 최대 거리(공칭도 그래프에서 측정됨)는 d이고,
• 모든 점 X와 l에 대해 l에는 X에 가장 가까운 고유한 점이 있다.

0곤 가까운 것이 점이고, 2곤 가까운 것이 선이다. 근 2곤의 공선도 그래프는 완전한 그래프다. 거의 4곤은 일반화된 사각형이다. 투영면을 제외한 모든 유한 일반화된 폴리곤은 거의 폴리곤이다. 연결된 모든 초당적 그래프는 가까운 폴리곤이고, 선당 정확히 2포인트를 가진 모든 근접한 폴리곤은 연결된 초당적 그래프다. 또한, 모든 이중 극공간은 다각형에 가깝다.

가까운 폴리곤은 마티외 그룹이나 얀코 그룹 J2와 같은 유한한 단순 그룹과 관련이 있다. 더욱이, 거짓말의 그룹과 관련된 일반화된 2d-gon은 거의 2d-gon에 가까운 특별한 경우다.

뫼비우스 비행기

추상적인 Mobius 평면(또는 반전 평면)은 고전적인 사례의 용어와 혼동을 피하기 위해 선을 사이클 또는 블록이라고 하는 발생 구조다.

구체적으로 뫼비우스 평면은 다음과 같은 점 및 주기의 발생 구조다.

• 구별되는 지점의 세 배마다 정확히 한 사이클씩의 문제가 발생한다.
• 모든 플래그(P, z) 및 z와 충돌하지 않는 지점 Q에 대해 P I z^∗, Q I z^∗ 및 z ∩ z^∗ = {P}이(가) 있는 고유한 사이클 z가^∗ 있다(사이클은 P에서 터치한다고 함).
• 모든 사이클에는 최소 3개의 포인트가 있으며, 최소 1개의 사이클이 존재한다.

뫼비우스 평면의 임의의 지점 P에서 P를 제외한 모든 지점을 점으로 취하고 (P를 제거한 상태에서) P를 포함하는 사이클만 선으로 취함으로써 얻은 발생 구조는 아핀 평면이다. 이 구조를 설계이론에서는 P에서의 잔차라고 부른다.

순서 m의 유한 뫼비우스 평면은 3-(m² + 1, m + 1, 1, 1) 블록 설계인 사이클당 k = m + 1 포인트를 갖는 전술적 구성이다.

유클리드 평면의 발생 이론

실베스터갈라이 정리

J.J. 실베스터가 1893년에 제기하고 마침내 티보르 갈라이가 해결한 질문은 유클리드 비행기의 유한한 점 집합의 발생에 관한 것이었다.

정리(실베스터 갈라이): 유클리드 평면의 유한한 점 집합은 시준선이거나 정확히 두 개의 점으로 이루어진 선 사건이 존재한다.

이 문맥에서 정확히 두 점을 포함하는 선을 보통선이라고 한다. 실베스터는 아마 헤세 구성의 내포 가능성에 대해 곰곰이 생각하다가 그 문제로 이끌렸을 것이다.

데 브뤼옌-에르드 정리

관련 결과는 드 브뤼옌-에르데스의 정리다. 니콜라스 고베르 드 브뤼옌과 폴 에르드스는 보다 일반적인 투영 평면의 설정에서 그 결과를 증명했지만, 유클리드 평면에 여전히 남아 있다. 정리는 다음과 같다.^[14]

투영 평면에서, n개의 점들의 모든 비협착 집합은 적어도 n개의 구별되는 선을 결정한다.

저자들이 지적했듯이, 그들의 증거가 결합적이기 때문에, 그 결과는 더 큰 설정으로, 사실 모든 구별되는 점들의 쌍을 통하여 고유한 선이 있는 모든 입사 기하학에서 유지된다. 그들은 유클리드 평면 버전이 유도를 이용한 실베스터-갈래 정리로부터 증명될 수 있다고 언급하기도 한다.

스제메레디-트로터 정리

유한한 점 집합에 의해 결정된 플래그 수와 그들이 결정하는 선에 대한 바운드는 다음과 같다.

정리(Szemerédi–Trotter): 평면에 n개의 점과 m개의 선이 주어진 경우 플래그 수(사건 점선 쌍)는 다음과 같다.

${\displaystyle O\left(n^{\frac {2}{3}{3}+n+m\right),}$

그리고 이 경계는 암묵적 상수의 관점을 제외하고는 개선될 수 없다.

이 결과는 벡의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

발생 횟수에 대한 유사한 경계는 점원 발생에 대해 추측되지만, 더 약한 상한만 알려져 있다.^[15]

벡의 정리

벡의 정리는 평면에 있는 점들의 유한 집합이 두 가지 극단의 하나, 즉 하나의 선에 큰 부분이 놓여 있는 것과 모든 점을 연결하기 위해 많은 선이 필요한 것 중 하나에 해당한다고 말한다.

정리는 평면에 n개의 점을 부여하면 적어도 다음 문장 중 하나가 참일 수 있도록 양수 C, K의 존재를 주장한다.

1. 적어도 한 줄의 선이 있다. 포인트의 C/C.
2. 최소² n/K 라인이 존재하며, 각 라인은 최소 두 개의 점을 포함한다.

벡의 원래 주장에서 C는 100이고 K는 불특정 상수로서 C와 K의 최적값이 무엇인지 알 수 없다.

더 많은 예

• 투영 기하학
• 무방 폴리곤
• 슐레플리 더블6
• Reye 구성
• 크레모나-리치먼드 구성
• 쿠머 구성
• 클라인 구성
• 비데사게스 비행기

참고 항목

• 조합 설계
• 유한 기하학
• 교차로 정리
• 레비 그래프

메모들

참조

• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2010), "Lines in the plane and decompositions of graphs", Proofs from The Book, Springer, pp. 63–67, doi:10.1007/978-3-642-00856-6_10, ISBN 978-3-642-00855-9
• Batten, Lynn Margaret (1986), Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-31857-0
• Batten, Lynn Margaret; Beutelspacher, Albrecht (1993), The Theory of Finite Linear Spaces, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33317-7
• Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier, ISBN 978-0-444-88355-1
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "On the life and scientific work of Gino Fano". arXiv:1311.7177 [math.HO].
• De Bruyn, Bart (2016), An Introduction to Incidence Geometry, Frontiers in Mathematics, Springer International Publishing, doi:10.1007/978-3-319-43811-5, ISBN 978-3-319-43810-8
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0, MR 0233275
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• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

외부 링크

• Wikimedia Commons에서 발생 기하학과 관련된 미디어
• 수학 백과사전에서의 발병률 체계