크레이머스-워니어 이중성

Kramers-Wannier 이중성은 통계 물리학의 대칭이다.낮은 온도에서 2차원 사각형-레이티스 이싱 모델의 자유 에너지를 높은 온도에서 다른 이싱 모델의 자유 에너지와 연관시킨다.1941년 헨드릭 크레이머스와 그레고리 워니에 의해 발견되었다.이 이중성 크레이머스와 워니어의 도움으로 사각 격자 위에 있는 이싱 모델의 임계점의 정확한 위치를 찾아냈다.

유사한 이중성은 다른 통계적 모델의 자유 에너지 사이의 관계를 설정한다.예를 들어, 3차원에서는 Ising 모델이 Ising 게이지 모델에 이중적이다.

직관적 아이디어

2차원 Ising 모델은 체스판 패턴의 사각형 집합체인 격자 위에 존재한다.유한 격자로 가장자리를 연결하여 토러스 형성을 할 수 있다.이런 종류의 이론에서, 사람은 무의식적인 변형을 만든다.예를 들어, Lars Onsager는 삼각 격자에 별-삼각 변환을 사용할 수 있다고 제안했다.^[1]이제 이산토루스의 이중은 그 자체다.더구나 고순도계(고온)의 이중은 잘 정돈된 계(저온)이다.푸리에 변환은 높은 대역폭 신호(더 많은 표준 편차)를 낮은 신호(더 낮은 표준 편차)로 취하기 때문이다.그래서 한 사람은 본질적으로 같은 이론과 반대온도를 가지고 있다.

한 이론에서 온도를 올리면 다른 이론에서는 온도를 내린다.위상 전환이 하나만 있다면, 그것은 그들이 교차하는 지점, 즉 온도가 같은 지점에 있을 것이다.2D Ising 모델은 질서 없는 상태에서 질서 있는 상태로 가기 때문에 질서 없는 단계와 순서 있는 단계 사이에 거의 일대일 매핑이 있다.

그 이론은 일반화되었고, 지금은 많은 다른 사상들과 혼합되어 있다.예를 들어 사각 격자는 원,^[2] 무작위 격자,^[3] 비균형 토러스,^[4] 삼각 격자,^[5] 미로,^[6] 경계가 뒤틀린 격자,^[7] 치랄 포츠 모델 등 ^[8]많은 것으로 대체된다.

파생

이러한 변수를 정의하십시오.(K^*,L^*)에 대한 저온 팽창은

${\displaystyle Z_{{{N}(K^{*}},L^{*}})=2e^{N(K^{*}+L^{*}}}}}\sum _{P\subset \{Lambda _{D}(e^{-2L^{*}})^{-{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{r}:{r}:{$

변환을 사용함으로써

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L^{*},\tanh L=e^{-2K^{*}}}$

주다

${\displaystyle Z_{{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}$

여기서 v = tanh K 및 w = tanh L.이것은 고온 팽창과 관련이 있다.그 관계는 다음과 같이 더 대칭적으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1}$

${\displaystyle \,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1}$

열역학적 한계에서 현장당 자유 에너지 사용

${\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\f_{{N}(K,L)=-kT\lim _{N\lightarrow \inflit }{\frac {1}{N}\log Z_{N}(K,L)}$

크레이머-워니어의 이중성이 주는 것

${\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac{1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}$

K = L인 등방성 사례에서 K = K에_c 임계점이 있으면 K = K에^*_c 다른 임계점이 있다.따라서 고유한 임계점이 있는 경우 K = K^* = K에^*_c 위치하여 sinh 2K_c = 1, kT_c = 2.2692J를 산출한다.

참고 항목

• 이싱 모형
• S-이중성
• Z N 모형

참조

외부 링크

• H. A. Kramers and G. H. Wannier (1941). "Statistics of the two-dimensional ferromagnet". Physical Review. 60: 252–262. Bibcode:1941PhRv...60..252K. doi:10.1103/PhysRev.60.252.
• J. B. Kogut (1979). "An introduction to lattice gauge theory and spin systems". Reviews of Modern Physics. 51 (4): 659–713. Bibcode:1979RvMP...51..659K. doi:10.1103/RevModPhys.51.659.