이중 격자

격자 이론에서 이중 격자는 이중 벡터 공간의 격자와 유사한 구조다.어떤 면에서 격자 ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ 의 이중 격자 기하학은 ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ 기하학의 역수적인 것으로, 많은 ${\textstyle L}$ 용도의 기초가 되는 관점이다 ${\textstyle L}$

이중 격자는 격자 이론, 이론 컴퓨터 과학, 암호학 및 수학의 내부에 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.예를 들어, 그것은 포아송 종합 공식의 문장에서 사용되고, 전이 이론은 격자의 기하학과 그것의 이중의 기하학 사이에 연결을 제공하며, 많은 격자 알고리즘은 이중 격자를 이용한다.

물리학/화학 응용 분야에 중점을 둔 기사는 상호 격자를 참조하십시오.이 기사는 이중 격자의 수학적 개념에 초점을 맞추고 있다.

정의

${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\$ 을(를) 격자로 한다 ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ .즉, ${\textstyle L=B\mathbb {Z} ^{n}}$ 행렬 ${\textstyle B}$ ${\textstyle B$ 에 ${\textstyle L=B\mathbb {Z} ^{n}}$ $대한$ L ${\textstyle L=B\mathbb {Z} ^{n}}$ = B Z n {\ $textstyle$ L $=B\mathb {Z} ^{n}}.$

이중 격자는 ${\textstyle L}$ ${\$ $textstyle L}$ 의 선형 함수 집합으로 ${\textstyle L}$ , L {\ $textstyle L}$ 의 각 점에 정수 값을 취한다 ${\textstyle L}$

L^{*}=\{f\in({\text{span})(L)^{*:\all x\in L,f(x)\in \mathb {Z} \}

If ${\textstyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ is identified with ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ using the dot-product, we can write ${\textstyle L^{*}=\{v\in {\text{span}}(L):\forall x\in L,x\cdot v\in \mathbb {Z} \}.}$ It is important to restrict to ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ 범위의 벡터 ${\textstyle L}$ 그렇지 않으면 결과 객체가 격자가 아니다.

주변 유클리드 공간의 이러한 식별에도 불구하고 격자와 그 이중은 근본적으로 다른 종류의 물체라는 것을 강조해야 한다. 하나는 유클리드 공간의 벡터로 구성되며, 다른 하나는 그 공간에 일련의 선형 함수로 구성된다.이러한 선을 따라 다음과 같이 보다 추상적인 정의를 내릴 수도 있다.

L^{*}=\{f:L\to \mathb {Z} :{\text{f는 선형 함수}\}={\text{홈}_{\text{Ab}(L,\mathb {Z}).

However, we note that the dual is not considered just as an abstract Abelian group of functionals, but comes with a natural inner product: ${\textstyle f\cdot g=\sum _{i}f(e_{i})g(e_{i})}$ , where ${\textstyle e_{i}}$ is an orthonormal basis of ${\textstyle {\text{span$ $}}(L)}$ . (Equivalently, one can declare that, for an orthonormal basis ${\textstyle e_{i}}$ of ${\textstyle {\text{span}}(L)}$ , the dual vectors ${\textstyle e_{i}^{*}}$ , defined by ${\textstyle e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}}$ are an orthonormal basis.)격자 이론에서 이중성의 주요 용도 중 하나는 원시 격자의 기하학과 그 이중의 기하학의 관계인데, 이 내적 생산물이 우리에게 필요하다.위에 제시된 구체적인 설명에서, 이중의 내부 제품은 일반적으로 함축되어 있다.

특성.

이중 격자의 몇 가지 기본 특성을 나열한다.

If ${\textstyle B=[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$ is a matrix giving a basis for the lattice ${\textstyle L}$ , then ${\textstyle z\in {\text{span}}(L)}$ satisfies ${\textstyle z\in L^{*}\iff b_{i}^{T}z\in \m$ $atsb {Z},i=1,\ldots,n\iff B^{T}z\in \mathb {Z}^{n$
${\textstyle B}$ ${\textstyle B}$ 이 ${\textstyle B}$ (가 ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ L ${\textstyle L}$ 에 대한 기초를 제공하는 행렬인 경우, B ${\textstyle B(B^{T}B)^{-1}}$ ) - ${\textstyle B(B^{T}B)^{-1}}$ 1 {\ $textstyle B(B^{T$ }B $)^{-1}$ 는 이중 격자의 기초를 제공한다 ${\textstyle B(B^{T}B)^{-1}}$ .If ${\textstyle L}$ is full rank ${\textstyle B^{-T}}$ gives a basis for the dual lattice: ${\textstyle z\in L^{*}\iff B^{T}z\in \mathbb {Z} ^{n}\iff z\in B^{-T}\mathbb {Z} ^{n}}$ .
앞의 사실을 보면 ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ ( ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ ) ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ = ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ 입니다 ${\textstyle (L^{*})^{*}=L}$ 이 동등성은 이중으로 된 벡터 공간의 통상적인 식별에 따라 유지되거나, 내부 제품이 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ 으로 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ {\ $textstyle \mathb {R}{n}}$ 을(를) 식별한 설정에서 유지된다.
L ${\textstyle L,M}$ ${\textstyle L,M}$ ${\textstyle L,M}$ 을 ${\textstyle L,M}$ 를) 수정한 다음 ${\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}$ ${\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}$ ${\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}$ ${\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}$ $textstyle$ L $}{\textstyle$ $L^{*}\supseteq$ M $^{*}$ 인 경우에만 ${\textstyle L\subseteq M}$ ${\textstyle L\subseteq M}$ ${\textstyle L\subseteq M}$ ${\textstyle L\subseteq M}$ ${\$ $textstyle$ L^}을(를) 수정하십시오 ${\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}$
격자의 결정요인은 ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ det(L ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ ) ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ = ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ ) = 1 det(L ${\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}$ ) ${\$ 의 결정요인의 역수다.
${\textstyle q}$ ${\textstyle q}$ 이 ${\textstyle q}$ (가) 0이 아닌 스칼라인 경우 ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ ( ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ L ) ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ = ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ ${\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}$ ${\$ 1}{ $q}L$
${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ 이 ${\textstyle R}$ ( ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ ) 회전 행렬이면 ( ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ R L ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ ) ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ ∗ ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ = ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ ${\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}$ ∗ ${\$
${\textstyle x,y\in L}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ 은(는) x ${\textstyle x,y\in L}$ y ${\textstyle x\cdot y\in \mathbb {Z} }$ ${\textstyle x\cdot y\in \mathbb {Z} }$ ${\$ x $\cdot y\in \mathb {Z}$ 에서 모든 x, ${\textstyle x,y\in L}$ ${\textstyle x,y\in L}$ L ${\textstyle x,y\in L}$ 에 대해 ${\textstyle x\cdot y\in \mathbb {Z} }$ 일체형이라고 한다 ${\textstyle L}$ ${\textstyle x,y\in L}$ 격자 L ${\textstyle L}$ 이 ${\textstyle L}$ 전체 순위라고 가정한다.유클리드 공간의 이중적으로 식별에서 우리는 적분 lattices 나는{L\textstyle}요 L′⊆ 나는{L'\subseteq L\textstyle}및 L/L′<>∞{\textstyle L/L의<>\infty}면,(L′)det합시다)(L)그 L⊆ L({\textstyle L\subseteq L^{*}}det다 L. / $textstyle {\$ textstyle}{\ $text{det}(L')={\$ ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ $L)$ L $/L$ 이로부터 일체형 격자에 ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ 데트( ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ ) ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ 2 = ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ / ${\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}$ {\ $textstyle{\text}(L)^{2}= L^{*}/L$
일체형 격자는 L ${\textstyle L=L^{*}}$ = ${\textstyle L=L^{*}}$ ${\textstyle L=L^{*}}$ ${\$ 위에 ${\textstyle L=L^{*}}$ 따르면 ${\textstyle {\text{det}}(L)=1.}$ ( L ${\textstyle {\text{det}}(L)=1.}$ ) ${\textstyle {\text{det}}(L)=1.}$ = 1 ${\textstyle {\text{det}(L)=1$ 과 같다 $.$ $}$

예

위에 열거한 속성을 사용하여 격자의 이중은 손으로 또는 컴퓨터로 효율적으로 계산할 수 있다.수학과 컴퓨터 과학에서 중요한 몇몇 선술집들은 서로 이중적이다. 그리고 우리는 여기에 몇몇을 열거한다.

기본 예

Z ${\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\$ 의 이중은 Z ${\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\$ { $Z} ^{n}}$ 입니다 ${\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$
${\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\$ 의 이중은 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ⊕ Z ${\$ }{1}2}}\ $mathb$ {Z} \ $oplus \mathb$ {Z ${\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ $}}}$ 입니다 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$
${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ = ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ { ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ : ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ i ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ = 0 ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ ${\textstyle$ L $=\{x\in \mathb {Z}^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}}}}$ 은 좌표가 짝수 합을 갖는 정수 벡터의 격자가 된다 ${\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}$ .Then ${\textstyle L^{*}=\mathbb {Z} ^{n}+({\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{2}})}$ , that is, the dual is the lattice generated by the integer vectors along with the all ${\textstyle 1/2}$ s vector.

q-ary 격자

특히 격자암호법에서 중요한 종류의 예는 q-ary 격자에 의해 제시된다.For a matrix ${\textstyle A\in \mathbb {F} _{q}^{m\times n},}$ we define ${\textstyle \Delta _{q}(A)=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\mod q\in A^{T}\mathbb {F} _{q}^{m}\},\Delta _{q}^{\perp$ $}}(A)=\{x\in \mathb {Z} ^{n:$ ${\textstyle A}$ $=0\mod q\}}$ 이 ${\textstyle \Delta _{q}(A)=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\mod q\in A^{T}\mathbb {F} _{q}^{m}\},\Delta _{q}^{\perp }(A)=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:Ax=0\mod q\}}$ 가) A ${\textstyle A}$ 과(와) 연관된 이미지 및 커널 Q-ary 래티스를 각각 호출한다 ${\textstyle A}$ 그런 다음, 이중으로 유클리드 공간을 식별한 후, ${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ 의 이미지와 커널 Q-ary 래티스가 스칼라까지 이중임을 ${\textstyle A}$ 확인하게 된다.In particular, ${\textstyle \Delta _{q}(A)^{*}={\frac {1}{q}}\Delta _{q}^{\perp }(A)}$ and ${\textstyle \Delta _{q}^{\perp }(A)^{*}={\frac {1}{q}}\Delta _{q}(A)}$ .^{[citation needed]} (The proof can be done as an exercise.)

전이가론

각 ${\textstyle f\in L^{*}\setminus \{0\}}$ ${\textstyle f\in L^{*}\setminus \{0\}}$ $0$ {0 $}$ {\ $textstyle f\in$ L $^{*}\setminus$ \{0 $\}}}$ 파티션 ${\textstyle f\in L^{*}\setminus \{0\}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle$ L $}$ 은(는) 각 정수 값에 해당하는 수준 집합에 따라 ${\textstyle L}$ 분할한다. ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ 을(를) 더 작게 선택하면 그 사이의 거리가 더 많은 레벨 세트가 생성된다 ${\textstyle f}$ . 특히 레이어 사이의 거리는 ${\textstyle 1/||f||}$ / $textstyle 1/$ f $}$ 이다 ${\textstyle 1/||f||}$ 이렇게 추론하면 ${\textstyle L^{*}}$ ${\textstyle L^{*}}$ ${\$ 에서 작은 벡터를 찾으면 비-크기의 가장 큰 크기에 대한 하한이 제공됨을 ${\textstyle L^{*}}$ 알 수 있다. ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ 의 점 주위에 배치할 수 있는 겹치는 구체들 ${\textstyle L}$ 일반적으로 격자의 특성과 이중의 특성과 관련된 이론들을 전이 이론이라고 한다.이 절에서는 복잡성 이론에 대한 결과와 함께 이들 중 일부를 설명한다.

몇 가지 용어는 다음과 같다.For a lattice ${\textstyle L}$ , let ${\textstyle \lambda _{i}(L)}$ denote the smallest radius ball that contains a set of ${\textstyle i}$ linearly independent vectors of ${\textstyle L}$ . For instance, ${\textstyle \lambda _{1}(L)}$ is the length of the shortest vector of ${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L$ ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ = max x ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ ( ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ , ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ ) ${\textstyle \mu(L)={\text{max}_{x\in \mathb{R} ^{n}d(x,L)}$ 는 L ${\textstyle L}$ 의 커버 반경을 나타낸다 ${\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}$ ${\textstyle L}$

본 섹션의 서론에서 언급된 하한에는 ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ ) ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ 1 ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ 2 ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ 1 ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ ∗ ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$ ) ${\$ ( $L)\geq$ {1 $}{1\lambda _{1}(L^{*}}}}}}}}}$ 라고 명시되어 있다 ${\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}$

정리(Banaszcyk)^[1] — ${\textstyle L}$ L ${\textstyle L}$ 의 경우 ${\textstyle L}$

$1\leq 2\lambda _{1}(L)\mu(L^{*})\leq n$

$1\leq \lambda _{i}(L)\lambda _{n-i+1}(L^{*})$

격자에는 짧은 0이 아닌 벡터, 즉 벡터 자체를 가지고 있다는 주장에 대해서는 항상 효율적으로 확인할 수 있는 인증서가 있다.An important corollary of Banaszcyk's transference theorem is that ${\textstyle \lambda _{1}(L)\geq {\frac {1}{\lambda _{n}(L^{*})}}}$ , which implies that to prove that a lattice has no short vectors, one can show a basis for the dual lattice consisting of short vectors.이러한 아이디어를 사용하면 격자의 최단 벡터를 n의 인수( ${\textstyle {\text{GAPSVP}}_{n}}$ ${\textstyle {\text{GAPSVP}}_{n}}$ ${\$ text}) 내에 근사하게 한다는 것을 알 수 있다. $KAPSVP}_{n}$ 문제 ${\textstyle {\text{GAPSVP}}_{n}}$ )는 ${\textstyle {\text{NP}}\cap {\text{coNP}}}$ ${\textstyle {\text{NP}}\cap {\text{coNP}}}$ ${\textstyle {\text{NP}}\cap {\text{coNP}}}$ ${\$ 에 있음 $NP}\cap {\text{coNP}}$ ^{[citation needed]}.

기타 전이의 이론:

The relationship ${\textstyle \lambda _{1}(L)\lambda _{1}(L^{*})\leq n}$ follows from Minkowski's bound on the shortest vector; that is, ${\textstyle \lambda _{1}(L)\leq {\sqrt {n}}({\text{det}}(L)^{1/n})}$ , and ${\textstyle \lambda _{1}(L^{*})\leq {\sqrt {n}}({\text{det}}(L^{*})^{1/n})}$ ${\textstyle \lambda _{1}(L^{*})\leq {\sqrt {n}}({\text{det}}(L^{*})^{1/n})}$ , from which the claim follows since ${\textstyle {\text{det}}(L)={\frac {1}{{\text{det}}(L^{*})}}}$ .

포아송합산식

이중 격자는 일반 포아송 합계 공식의 문장에 사용된다.

정리 — 정리(Poisson Summation)^[2] 렛 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ : ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ → ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\$ f $:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R}}}$ 은(는) 슈워츠 함수와 같은 얌전한 함수가 되며 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\hat {f}}}$ ${\$ 은 푸리에 변환을 나타낸다 ${\textstyle {\hat {f}}}$ . ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\$ 을(를) 전체 순위 격자로 한다 ${\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ .다음:

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

( x

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

= 1

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

(

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

) =

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

L

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

(

\sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)

)

{\displaystyle \sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y^{*{\hat{f

추가 읽기

Ebeling, Wolfgang (2013). "Lattices and Codes". Advanced Lectures in Mathematics. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. doi:10.1007/978-3-658-00360-9. ISBN 978-3-658-00359-3. ISSN 0932-7134.

참조

^ Banaszczyk, W. (1993). "New bounds in some transference theorems in the geometry of numbers". Mathematische Annalen. Springer Science and Business Media LLC. 296 (1): 625–635. doi:10.1007/bf01445125. ISSN 0025-5831. S2CID 13921988.
^ Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Reiher, Christian; Schürmann, Achill (2014). Formal duality and generalizations of the Poisson summation formula. Ams Contemporary Mathematics. Contemporary Mathematics. Vol. 625. pp. 123–140. arXiv:1306.6796v2. doi:10.1090/conm/625/12495. ISBN 9781470409050. S2CID 117741906.

[Banaszczyk_1993_pp._625–635-1] Banaszczyk, W. (1993). "New bounds in some transference theorems in the geometry of numbers". Mathematische Annalen. Springer Science and Business Media LLC. 296 (1): 625–635. doi:10.1007/bf01445125. ISSN 0025-5831. S2CID 13921988.

[Cohn_Kumar_Reiher_Schürmann_2013-2] Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Reiher, Christian; Schürmann, Achill (2014). Formal duality and generalizations of the Poisson summation formula. Ams Contemporary Mathematics. Contemporary Mathematics. Vol. 625. pp. 123–140. arXiv:1306.6796v2. doi:10.1090/conm/625/12495. ISBN 9781470409050. S2CID 117741906.

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