전염병의 수학적 모델링

수학적 모델은 전염병이 어떻게 진행되는지 예측하여 전염병(식물 내 포함)의 가능한 결과를 보여주고 공중 보건 및 식물 건강 개입에 정보를 제공하는 데 도움이 될 수 있다.모델은 다양한 전염병에 대한 매개변수를 찾기 위해 수학과 함께 기본 가정이나 수집된 통계를 사용하고 이러한 매개변수를 대량 예방 접종 프로그램과 같은 다양한 개입의 효과를 계산하기 위해 사용합니다.모델링은 어떤 개입을 피하고 어떤 개입을 시도할지 결정하는 데 도움이 될 수 있으며, 미래 성장 패턴 등을 예측할 수 있다.

역사

전염병의 모델링은 질병이 확산되는 메커니즘을 연구하고, 발병의 미래를 예측하고,^[1] 전염병을 통제하기 위한 전략을 평가하기 위해 사용되어 온 도구이다.

체계적으로 사망 원인을 수치화하려고 시도한 최초의 과학자는 1662년 사망률 고지서에 대해 만들어진 그의 책 자연적이고 정치적인 관찰에서 존 그런트였다.그가 연구한 법안들은 매주 발행되는 숫자와 사망원인의 목록이었다.데일리와 가니에 따르면 그룬트의 사망원인에 대한 분석은 "경쟁위험 이론"의 시작으로 여겨지고 있으며, 이는 "현재 현대 역학자들 사이에서 잘 확립된 이론"이다.

질병 확산의 수학적 모델링에 대한 최초의 설명은 1760년 다니엘 베르누이에 의해 수행되었다.의사로서 훈련을 받은 베르누이는 ^[2]천연두 예방 접종을 방어하기 위한 수학적 모델을 만들었다.이 모델에서 계산한 바에 따르면 천연두에 대한 보편적 접종은 수명을 26세 7개월에서 29세 9개월로 ^[3]증가시킨다.다니엘 베르누이의 연구는 세균이론에 ^[4]대한 현대적 이해 이전에 이루어졌다.

20세기 초, 윌리엄^[5] 해머와 로널드^[6] 로스는 전염병 행동을 설명하기 위해 집단 행동의 법칙을 적용했다.

1920년대에는 구획 모델이 출현했다.커맥-맥켄드릭 전염병 모델(1927년)과 리드-프로스트 전염병 모델(1928년)은 모두 모집단에서 감수성, 감염 및 면역 개인 간의 관계를 설명한다.커맥-맥켄드릭 전염병 모델은 많은 기록된 ^[7]전염병에서 관찰된 것과 매우 유사한 발병의 행동을 예측하는 데 성공했다.

최근에는 에이전트 기반 모델(ABM)이 보다 단순한 구획 ^[8]모델과 교환되어 사용되고 있습니다.예를 들어, 역학 ABM은 SARS-CoV-2의 확산에 대한 공중 보건(비약품) 개입을 알리기 위해 사용되어 왔다.^[9]역학 ABM은 복잡성과 높은 계산 능력을 요구함에도 불구하고,^[10][11] 비현실적인 가정을 단순화한다는 비판을 받아왔다.그러나 ABM이 정확하게 ^[12]보정된 경우 완화 및 억제 조치에 관한 의사결정에 도움이 될 수 있다.

전제 조건

모델은 그 기초가 되는 가정에 따라서만 유효합니다.모형이 관측 결과와 일치하지 않는 예측을 하고 수학이 정확하면 초기 가정을 변경하여 모형을 ^[13]유용하게 만들어야 합니다.

• 직사각형 및 고정 연령 분포, 즉 모집단의 모든 사람이 L세까지 살다가 사망하며, 각 연령(L세까지)에 대해 모집단 내 인구 수는 같다.이는 유아 사망률이 낮고 인구의 대부분이 기대수명에 도달하는 선진국에 대해 정당화될 수 있다.
• 모집단의 균질한 혼합, 즉 정밀 조사 대상 모집단의 개인은 무작위로 접촉하며 대부분 더 작은 하위 그룹에서 혼합되지 않는다.사회구조가 광범위하기 때문에 이러한 가정은 거의 정당화되지 않는다.예를 들어, 대부분의 런던 사람들은 다른 런던 사람들과만 접촉한다.게다가 런던 내에는 터키인 커뮤니티나 10대(단순히 두 가지 예만 들어도)와 같은 작은 하위 그룹이 있으며, 이들은 그룹 밖의 사람들보다 더 많이 서로 섞인다.그러나 균질 혼합은 수학을 다루기 쉽게 만들기 위한 표준 가정이다.

전염병 모델의 종류

확률적

"폭발적"은 랜덤 변수가 있거나 랜덤 변수를 갖는 것을 의미합니다.확률 모델은 시간에 따른 하나 이상의 입력에 랜덤 변동을 허용함으로써 잠재적 결과의 확률 분포를 추정하는 도구입니다.확률적 모델은 노출, 질병 및 기타 질병 역학의 위험의 확률 변화에 따라 달라진다.소규모 또는 대규모 모집단의 통계적 에이전트 수준 질병 전파는 확률적 ^[14][15]방법에 의해 결정될 수 있다.

결정론

결핵의 경우처럼 많은 인구를 다룰 때 결정론적 또는 구분적 수학적 모델을 사용하는 경우가 많다.결정론적 모델에서 모집단의 개인은 각각 ^[16]전염병의 특정 단계를 나타내는 서로 다른 하위 그룹 또는 구획에 할당된다.

한 클래스에서 다른 클래스로의 전이율은 수학적으로 도함수로 표현되므로 모델은 미분 방정식을 사용하여 공식화됩니다.그러한 모델을 구축하는 동안, 구획의 인구 크기는 시간에 따라 구별할 수 있고 전염병 과정은 결정론적이라고 가정해야 한다.즉,^[7] 모델 개발에 사용된 이력만 사용하여 구획의 인구 변화를 계산할 수 있습니다.

지수 이하의 성장

유행병의 성장에 대한 일반적인 설명은 1명이 2, 2명이 4명이 감염되어 세대별로 감염자 수가 2배로 증가한다는 것이다.1명이 2개를 태그하고, 그 2개가 태그되지 않은 4개를 태그하는 태그 게임과 비슷합니다.이 게임이 진행됨에 따라, 태그 부착이 이전에 태그 부착을 한 적이 없는 사람들을 추적하기 위해 태그 부착이 이전 태그 부착을 통과함에 따라, 그것은 점점 더 광분하게 된다.따라서 이 전염병 모델은 모든 인구가 감염됨에 따라 0으로 추락할 때까지 기하급수적으로 증가하는 곡선으로 이어진다. 즉,^[17] 집단 면역이 없고 현실에서 볼 수 있는 최고점과 점진적인 감소가 없다.

재생산번호

기본 번식 번호(R로 표시₀)는 질병이 얼마나 전염 가능한지를 나타내는 척도입니다.감염자 한 명이 감염되는 동안 감염되는 사람들의 평균 수입니다.이 수량 만약 R0입니다. 이 감염 sub-exponentially, 멸종된다면, 또는 상수로 남:증가할 것;평균 infects에 1, 각 사람 그 질병이 퍼질 하나 이상의 다른 사람이다;만약 R0 < 것이다;그래서 그 병 죽을 것이라는 것 1경우 각 사람 평균 이하 한 사람을 감염시키고, R0=1, 각 사람을 할 것인가를 결정한다.나는 infect평균적으로 한 명의 다른 사람이 있기 때문에, 그 질병은 풍토병이 될 것이다: 그것은 인구 전체를 이동하지만 증가하거나 ^[18]감소하지는 않을 것이다.

풍토 안정 상태

전염병은 외부 투입 없이 집단에서 지속될 수 있을 때 풍토병이라고 한다.이것은 평균적으로 각 감염자가 정확히 한 명의 다른 사람을 감염시키고 있다는 것을 의미한다. (더 이상 감염자의 수는 기하급수적으로 증가하고 전염병이 발생하거나 더 적게 발생하며 질병은 사라질 것이다.수학적 용어로 말하자면 다음과 같다.

${\displaystyle\R_{0}S\=1.}$

모든 사람이 감수성이 있다고 가정할 때 질병의 기본 재생산 번호(R₀)에 실제로 감수성이 있는 모집단의 비율을 곱한 값(S)은 1이어야 한다(감염되지 않은 사람은 질병에 걸릴 수 없기 때문에 우리의 계산에 나타나지 않기 때문이다).이 관계가 의미하는 것은 질병이 풍토병 안정 상태에 있기 위해서는 기본 번식 수가 높을수록 취약 인구의 비율이 낮아야 하며, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것이다.이 표현은 감수성 비율에 관한 제한이 있다. 예를 들어, R = 0.5는₀ S가 2여야 한다는 것을 의미하지만, 이 비율은 모집단 ^{[citation needed]}크기를 초과한다.

직사각형 고정 연령 분포를 가정하고 감염 연령이 각 출생 연도에 동일한 분포를 갖도록 합니다.예를 들어 A보다 어린 사람이 민감하고 A보다 나이가 많은 사람이 면역(또는 감염)된 경우 평균 감염 연령을 A로 가정합니다.그런 다음, 영향을 받기 쉬운 모집단의 비율이 다음과 같이 제시된다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다.

${\displaystyle S=sublicfrac {A}{L}}.}$

우리는 L이 이 모델에서 모든 개인이 사망한 것으로 가정되는 나이임을 반복한다.그러나 풍토 안정 상태에 대한 수학적 정의는 다음과 같이 재정렬할 수 있다.

${\displaystyle S=squalfrac {1}{R_{0}}}.}$

따라서 과도적 속성으로 인해:

$({displaystyle {1}{R_{0}}=rightarrow R_{0}=rightarrow R_{L}{A}}$

쉽게 구할 수 있는 데이터를 사용하여 모수₀ R을 추정할 수 있는 간단한 방법을 제공합니다.

기하급수적인 연령 분포를 가진 인구의 경우,

${\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}.}$

이것은 어느 유형의 모집단 분포에서나 A와 L이 주어진 질병의 기본 재생산 번호를 허용한다.

역학 부문 모델

구획 모델은 마르코프 ^[19]체인으로 공식화된다.역학에서 고전적인 구분 모델은 SIR 모델이며, 이는 전염병을 모델링하기 위한 단순한 모델로 사용될 수 있다.다른 여러 유형의 구획 모델도 채용되고 있습니다.

SIR 모델

1927년 W.O. Kermack과 A.G. McKendrick은 3개의 구획만을 가진 고정집단을 검토하는 모델을 만들었습니다.$S{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$$$S ($t$) ; infected , $I{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$\$displaystyle I$ ($$$t$$$) ;$$recovered ,${\displaystyle }R{\displaystyle }$ ($$) $style$ .이 모델에 사용되는 컴파트먼트는 다음 세 가지 ^[20]클래스로 구성됩니다.

• ${\displaystyle S(}$ $)$ {$displaystyle$ S$(t)}$는 시간 t에 아직 질병에 감염되지 않은 개인 또는 인구의 질병에 취약한 사람을 나타내는 데 사용됩니다.
• ${\displaystyle I}$( ${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$I ($t$ )는$$ 이 질병에 감염되어 감염되기 쉬운 카테고리에 속하는 사람들에게 질병을 전파할 수 있는 인구의 개인을 나타냅니다.
• ${\displaystyle R}$(${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$R ($t$ )는$$ 면역 또는 사망에 의해 감염되어 질병에서 제거된 개인에게 사용되는 구획입니다.이 범주에 속하는 사람은 다시 감염되거나 다른 사람에게 감염될 수 없습니다.

기타 부문별 모델

SIR 모델에는 출생과 사망을 포함한 많은 수정 사항이 있다. 여기에는 회복 시 면역이 없는 경우(SIS 모델), 면역이 단기간 동안만 지속되는 경우(SIRS), 사람이 감염되지 않는 경우(SEIS 및 SEIR), 신생아가 면역으로 태어날 수 있는 경우 등이 포함된다.y(MSIR)

전염병 역학

수학적 모델은 호스트-병원체 상호 작용에서 생성되는 증가하는 데이터 양을 통합해야 합니다.사람을 포함한 동식물의 개체군 역학, 구조, 그리고 전염병의 진화에 대한 많은 이론적 ^[21]연구들이 이 문제와 관련되어 있다.

조사 주제는 다음과 같습니다.

• 항원 이동
• 역학 네트워크
• 저항의 진화 및 확산
• 면역심리학
• 숙주 내 역학
• 대유행
• 병원체 집단 유전학
• 숙주 내 병원체 지속성
• 계통 역학
• 감염 저장소의 역할과 식별
• 숙주 유전 인자의 역할
• 공간 역학
• 통계 및 수학적 도구와 혁신
• 변형률(생물학) 구조와 상호작용
• 감염의 전염, 확산 및 통제
• 독성

집단접종 수학

면역된 인구의 비율이 그 질병에 대한 집단 면역 수준을 초과하면, 그 질병은 더 이상 집단 내에서 지속할 수 ^[22]없게 되고 전염은 사라진다.따라서 예방접종이나 질병에 대한 사전 노출로부터의 회복으로 충분한 수의 개인이 면역이 된다면 질병은 집단에서 제거될 수 있다.예를 들어 1977년의 마지막 야생 감염 사례와 함께 천연두 박멸과 야생 폴리오바이러스 3종 중 2종의 토착 전염병 박멸 인증(2015년 유형 2는 1999년 마지막으로 보고된 사례 이후,^[23] 2019년 유형 3은 2012년 마지막으로 보고된 사례 이후)이다.

집단 면역 수준은 q. 안정적인 상태에서는 다음을 기억하십시오.

${\displaystyle R_{0}\cdot S=1.}$

결국.

$({displaystyle R_{0}=mu frac {N}(T_{L})}{\mu N\operatorname {E}[\min(T_{L}, T_{S}}})}=fracoper {N}(T_{E})})$

대략 다음과 같습니다.

$(\displaystyle {\frac {operatorname {E}(T_{L})}}=1+{\frac {\frac}{\mu}}=frac {\frac N}{v}.}$

q는 면역된 모집단의 비율이고 q + S는 1과 동일해야 하기 때문에 S는 (1 - q)가 될 것이다(이 단순화된 모델에서는 모든 사람이 민감하거나 면역이 되기 때문이다).그 후, 다음과 같이 입력합니다.

$디스플레이 스타일R_{0}\cdot (1-q)=1,\[6pt]&1-q=paramfrac {1}{R_{0}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end { aligned}}$

이 값은 임계값 수준이라는 점에 유의하십시오.집단 예방 접종 프로그램으로 인해 면역 개체 비율이 이 수준을 초과할 경우에만 전염성 폐사가 발생합니다.

방금 임계 면역 임계값(q_c 표시)을 계산했습니다.그것은 인구에서 감염이 사라지기 위해 출생 시(또는 출생에 가까운)에 예방접종을 해야 하는 인구의 최소 비율이다.

${\displaystyle q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.}$

감염되지 않은 모집단 p의 최종 크기 분율은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\displayda (t),dt}=1-p.}$

이런 이유로,

${\displaystyle p=1-e^{-\int _{0}^{\infty}\sec I(t),dt}=1-e^{-R_{0}p}.}$

${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ 해결 방법:

${\displaystyle R_{0}=bln frac {-\ln(1-p)}{p}}.}$

집단 예방접종이 집단 면역력을 초과할 수 없는 경우

사용된 백신이 충분히 효과가 없거나 필요한 범위에 도달할 수 없는 경우 프로그램은 q를 초과하지_c 못할 수 있습니다.이러한 프로그램은 백신 접종을 받은 개인을 질병으로부터 보호할 것이지만, 전염의 역학을 바꿀 수도 있다.

모집단 q의 비율(여기서 q < q_c)이 출생₀ 시 R > 1의 감염에 대해 면역된다고 가정한다.예방접종 프로그램은 R을 R로_q 변경한다₀.

${\displaystyle R_{q}=R_{0}(1-q)}$

이러한 변화는 단지 감염될 수 있는 감염자가 인구에서 적기 때문에 일어난다.R은_q 단순히₀ R에서 보통 감염될 수 있는 것을 뺀 값이지만 면역성이 있기 때문에 지금은 감염될 수 없다.

이 낮은 기본 재생산 횟수에 따라 백신 접종을 하지 않은 사람의 평균 감염 연령도 새로운 값_q A로 변화한다.

R, A, L을 링크한₀ 관계를 상기합니다.기대 수명이 변경되지 않았다고 가정하면 다음과 같습니다.

$({displaystyle R_{q}=black {L}{A_{q}}})$

$({displaystyle A_{q}=black {L}{R_{q}}=black {L}{R_{0}(1-q)}}).}$

그러나₀ R = L/A이므로:

$({displaystyle A_{q}=black {L}{(L/A)(1-q)}}=black {AL}{L(1-q)}}=black {A}{1-q}}).}$

따라서 예방접종 프로그램은 평균 감염 연령을 높일 수 있으며, 예방접종을 받지 않은 개인은 예방접종 그룹의 존재로 인해 감염력의 감소를 경험할 수 있다.노년층에서 더 큰 임상적 심각도로 이어지는 질환의 경우, 예방접종을 받지 않은 인구의 비율은 백신이 없는 경우보다 상대적으로 늦게 발병할 수 있다.

집단 예방접종이 집단 면역력을 초과한 경우

백신 접종 프로그램이 모집단 내 면역자 비율을 상당 기간 임계 임계값을 초과하면 해당 모집단 내 감염성 질환의 전염이 중단된다.모든 곳에서 동시에 제거가 이루어지면, 이것은 제거로 이어질 수 있습니다.

소거

각 감염자가 서로 감염되지 않을 경우 발생하는 전염병의 풍토병 전파 중단은 면역자 비율을 임계 면역역치 이상으로 유지하기 위해 예방접종 범위를 유지함으로써 달성된다.

근절

모든 곳에서 동시에 제거하여 감염원(예: 천연두 및 연두)이 사라집니다.

신뢰성.

모형은 단일 예측을 하는 대신 여러 결과를 동시에 검사할 수 있는 장점이 있습니다.모델들은 사스, 사스-CoV-2,^[24] 돼지 독감, 메르스, ^[25]에볼라와 같은 과거 유행병에서 광범위한 신뢰성을 보여왔다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

소프트웨어

• 모델빌더:ODE 모델을 구축, 시뮬레이션 및 분석하는 인터랙티브(GUI 기반) 소프트웨어입니다.
• GLEaMviz Simulator: 전 세계에 퍼지는 신종 감염병의 시뮬레이션을 가능하게 합니다.
• STEM: Eclipse Foundation을 통해 역학 모델링을 위한 오픈 소스 프레임워크 제공.
• R 패키지 감시:유행성 현상의 시간적 및 시공간적 모델링 및 모니터링