몰웨이드 투영법

몰웨이드 투영법(Mollweide projection)은 일반적으로 세계 또는 밤하늘의 글로벌 지도에 사용되는 동등한 면적, 유사역학적 지도 투영법이다. 그것은 또한 바비넷 투영, 동음이의 투영, 동음이의 투영, 타원 투영으로도 알려져 있다. 투영은 면적 비율의 정확성을 위해 각도 및 형상의 정확도를 교환하며, 따라서 글로벌 분포를 나타내는 지도와 같이 해당 특성이 필요한 곳에 사용된다.

이 투영은 1805년 라이프치히의 수학자 겸 천문학자 카를(또는 칼) 브랜단 몰웨이드(1774–1825)에 의해 처음 출판되었다. 1857년 자크 바비넷에 의해 동음이의어 투영이라는 이름을 붙여 재창조되고 대중화되었다. 그 변형 동음이의어는 별 아틀라스에 19세기에 빈번히 사용되었기 때문에 생겨났다.^[1]

우주 마이크로파 배경 방사선의 9년 WMAP 이미지(2012년).^[2]^[3] 몰웨이드 투영법을 사용하여 투영됨.

Global Ocean Data Analysis Project에서 측정한 해수면 프레온 수준. 몰웨이드 투영법을 사용하여 투영됨.

특성.

몰웨이드는 적도가 그 길이의 1/2인 중심 자오선에 수직인 직선 수평선으로 표현되는 가성역학적 투영법이다. 다른 유사맥은 극 근처에서 압축되는 반면, 다른 경맥들은 적도에서 균일하게 간격을 두고 있다. 동서 90도의 경맥이 완벽한 원을 이루고 있으며, 지구 전체가 비례 2:1 타원형으로 묘사되어 있다. 주어진 평행도와 적도 사이의 타원 면적 비율은 그 평행도와 적도 사이의 지구상의 면적 비율과 동일하지만, 정현상 투영만큼 심하지는 않지만 타원 둘레에서 유의한 형상 왜곡의 희생으로 나타난다.

중단된 버전을 사용하면 형상 왜곡을 줄일 수 있다. 정현상 투영이 중단되면 중심 자오선이 적도에 직각으로 끝나는 반 메리디안 교대로 분해된다. 이것은 지구를 로브로 나누는 효과가 있다. 이와는 대조적으로 병렬로 중단된 몰웨이드 투영에서는 복수의 절연 중심 경맥이 사용되어 적도에서 결합된 여러 타원의 효과를 준다. 더 드물게, 이 투영법은 왜곡된 영역을 바다로 이동시키기 위해 비스듬히 그려질 수 있으며, 이로 인해 대륙들이 더 진실한 형태를 유지할 수 있다.

몰웨이드 또는 그 성질은 구드의 호몰로신, 판 데르 그린텐, 보그스 유모르픽을 포함한 몇 가지 다른 투영법의 창조에 영감을 주었다.^[4]

수학적 공식화

투영은 다음 방정식을 통해 위도와 경도에서 좌표 x와 y를 지도로 변환한다.^[5]

{\displaystyle{\begin}x&=R{\frac{2}{\\sqrt{2}}:}{\pi}}}}}왼쪽(\lambda -\lambda _{0}\오른쪽)\cos \theta ,\\\5px]y&=R{{{2}}\sined}

여기서 θ은 다음과 같이 정의되는 보조각이다.

\displaystyle 2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad(1)}

그리고 λ은 경도, λ은₀ 중심 자오선, φ은 위도, R은 투영할 지구 반경이다. 지도에는 지구 생성 표면적을 준수하는 4 areaR² 면적이 있다. x 좌표의 범위는 [-2R√2, 2R√2]이며, y 좌표의 범위는 [-R√2, R√2]이다.

방정식 (1)은 뉴턴-래프슨 반복을 사용하여 빠른 수렴(그러나 극 근처에서 느림)으로 해결할 수 있다.^[5]

{\regated}\theta _{0}&=\barphi ,\\\theta _{n}-{\frac {2\theta_{n}-\pi \varphi }{2+2\cos 2n}\end{정렬}}

^{[주 1]}

φ = ±인 경우π/2를 선택한 다음, = = ±//2도. 이 경우 반복을 우회해야 한다. 그렇지 않으면 0으로 나누어질 수 있다.

폐쇄형 역변환이 존재한다.^[5]

{\fracy}\varphi &=\arcsin {\fracta {2\theta +\sin 2}{\pi }}}{\pi }}},\[55]\\da &={0}+{\frac {\pi x}{2}{2}{2}R{\sqrt{2}}\cos \theta }},\end{arged}

관계에서 θ을 찾을 수 있는 곳

\theta =\arcsin {\frac {y}{R{\\sqrt{2}}}\,

역변환을 통해 지도 좌표 x와 y에 해당하는 위도와 경도를 찾을 수 있다.

참고 항목

메모들

^ 본문의 공식은 독자가 공식이 올바른지 확인하는 데 도움이 된다. 수치 계산을 위해 분모는 이중 각도 아이덴티티부터 변경해야 한다.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{정렬}}$
수치 계산에서, 원래의 분모는 ± $102$ /2에 가까운 θ에 대해 0이 될 수 있다(소급적 취소). 이 대체는 모든 각도에 대해 참이며 특별한 경우를 만들지 않고 without = ± ±/2에 가까운 문제를 피한다.

참조

^ 지구를 평평하게 만드는 방법: 2천 년 지도 예측, 존 P. 스나이더, 1993년 페이지 112–113 ISBN 0-226-76747-7.
^ Gannon, Megan (December 21, 2012). "New 'Baby Picture' of Universe Unveiled". Space.com. Retrieved December 21, 2012.
^ Bennett, C.L.; Larson, L.; Weiland, J.L.; Jarosk, N.; Hinshaw, N.; Odegard, N.; Smith, K.M.; Hill, R.S.; Gold, B.; Halpern, M.; Komatsu, E.; Nolta, M.R.; Page, L.; Spergel, D.N.; Wollack, E.; Dunkley, J.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, S.S.; Tucker, G.S.; Wright, E.L. (2013). "Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results". The Astrophysical Journal Supplement Series. 208 (2): 20. arXiv:1212.5225. Bibcode:2013ApJS..208...20B. doi:10.1088/0067-0049/208/2/20. S2CID 119271232.
^ 지도 투영 – USGS 프로페셔널 페이퍼 1395, John P. 스나이더, 1987, 페이지 249–252
^ Jump up to: ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Mollweide Projection". MathWorld.

외부 링크

[6] 본문의 공식은 독자가 공식이 올바른지 확인하는 데 도움이 된다. 수치 계산을 위해 분모는 이중 각도 아이덴티티부터 변경해야 한다.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{정렬}}$
수치 계산에서, 원래의 분모는 ± $102$ /2에 가까운 θ에 대해 0이 될 수 있다(소급적 취소). 이 대체는 모든 각도에 대해 참이며 특별한 경우를 만들지 않고 without = ± ±/2에 가까운 문제를 피한다.

[1] 지구를 평평하게 만드는 방법: 2천 년 지도 예측, 존 P. 스나이더, 1993년 페이지 112–113 ISBN 0-226-76747-7.

[Space-20121221-2] Gannon, Megan (December 21, 2012). "New 'Baby Picture' of Universe Unveiled". Space.com. Retrieved December 21, 2012.

[arXiv-20121220-3] Bennett, C.L.; Larson, L.; Weiland, J.L.; Jarosk, N.; Hinshaw, N.; Odegard, N.; Smith, K.M.; Hill, R.S.; Gold, B.; Halpern, M.; Komatsu, E.; Nolta, M.R.; Page, L.; Spergel, D.N.; Wollack, E.; Dunkley, J.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, S.S.; Tucker, G.S.; Wright, E.L. (2013). "Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results". The Astrophysical Journal Supplement Series. 208 (2): 20. arXiv:1212.5225. Bibcode:2013ApJS..208...20B. doi:10.1088/0067-0049/208/2/20. S2CID 119271232.

[4] 지도 투영 – USGS 프로페셔널 페이퍼 1395, John P. 스나이더, 1987, 페이지 249–252

[MathWorldMollweide-5] Jump up to: ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Mollweide Projection". MathWorld.

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