모노제닉 세미그룹

수학에서 모노제닉 세미그룹은 단일 요소에 의해 생성되는 세미그룹이다.^[1]모노제닉 세미그룹은 순환 세미그룹이라고도 불린다.^[2]

구조

싱글톤 세트 {a}에 의해 생성된 모노제닉 세미그룹은 $⟩$ {\$displaystyle \langle a\langle }$로 표시되며, ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ ${\displaystyle \mathrm{집합}}$은 a² {\displaystyle³$\langle }$의 {a, $a,$ ...}이다$.$모노제닉 세미그룹에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 두 가지 가능성이 있다. $:$ $displaystyle \langle$ a$\angle$ $\}:$

• a ^{m n} = ⇒ m = n.
• a ^m = a와 ⁿ 같은 m ≠ n이 존재한다.

이전의 경우 $⟨{\displaystyle }$에서 ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle a\angle }$은(는) 추가 중인 자연수의 세미그룹({1, 2, ...}, + )에 대해 이형이다.이 경우 ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \langle a\angle$ }은$($는) 무한 모노제닉 세미그룹이며, a 요소는 무한질서가 있다고 한다.발전기가 한 개 있는 자유로운 세미그룹이기 때문에 자유 모노제닉 세미그룹이라고도 부르기도 한다.

후자의 경우 a ^m = 일부 양의 정수 x ≠ m에 대해 m을 a와 같은 최소 양의 정수로 하고, r을 ^m a = a와 ^{m + r} 같은 최소 양의 정수로 한다.양의 정수 m은 지수, 양의 정수 r은 모노제닉 세미그룹의 ${\displaystyle \mathrm{기간}}$으로 ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ a$\rangle }.$ a의 순서는 m+r-1로 정의된다$.$기간 및 인덱스는 다음 속성을 충족한다.

• a ^{m m + r} = a
• a ^{m + x} = if 및 if + x ≡ m + y(mod r )인 경우에만 해당 ^{m + y}
• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \langle$ a$\rangle }$ $$= {a, a, a², ..., a ^{m + r − 1}}
• K_a = {a^m, a ^{m + 1}, ..., a ^{m + r − 1}}은 순환 서브그룹이며 ${\displaystyle ⟩}$의$이상$이기도 하다$.$$⟩$의 커널이라고 불리며, 모노제닉 세미그룹$$$⟨$ ${\displaystyle a}$의 최소 이상이다$.$^[3][4]

양의 정수의 쌍(m, r )은 단일생성 세미그룹의 구조를 결정한다.양의 정수의 모든 쌍(m, r )에 대해 지수 m과 주기 r을 갖는 모노제닉 세미그룹이 존재한다.지수 m과 주기 r을 갖는 모노제닉 세미그룹은 M (m, r )으로 표시된다.모노제닉 세미그룹 M (1, r )은 오더 r의 주기적 그룹이다.

이 섹션의 결과는 실제로 임의의 세미그룹과 단일생성 서브그룹 중 어떤 요소 a에 대해서도 그것이 생성하는${\displaystyle \mathrm{generates}}$ ${\displaystyle \langle a\angle }$에 대해 유지된다.

관련 개념

관련된 개념은 주기적인 세미그룹(torsion semigroup이라고도 함)의 개념으로, 모든 요소는 유한한 질서를 가지고 있다(또는 동등하게, 모든 mongenic subsemigroup이 유한하다).보다 일반적인 등급은 준주기적 세미그룹(그룹 결합 세미그룹 또는 에피그룹)의 등급으로, 세미그룹의 모든 요소가 하위그룹에 있는 힘을 가지고 있다.^[5][6]

A주기적 semigroup은 모든 단일생성 서브그룹에 1의 기간이 있는 그룹이다.

참고 항목

• 제한된 스토리지 공간을 사용하여 유한한 모노제닉 세미그룹의 파라미터를 찾는 문제인 사이클 감지
• 세미그룹의 특수계급

참조