몬테카를로법

Monte Carlo method
몬테카를로 알고리즘과 혼동하지 마십시오.

몬테카를로 방법 또는 몬테카를로 실험은 수치 결과를 얻기 위해 반복 무작위 샘플링에 의존하는 광범위한 종류의 계산 알고리즘입니다.기본 개념은 원칙적으로 결정론적일 수 있는 문제를 해결하기 위해 무작위성을 사용하는 것입니다.그것들은 종종 물리적인 그리고 수학적인 문제들에서 사용되며 다른 접근법들을 사용하는 것이 어렵거나 불가능할 때 가장 유용합니다.몬테카를로 방법은 주로 최적화, 수치 적분, 확률 분포에서 드로우 생성의 [1]세 가지 문제 클래스에서 사용됩니다.

물리학 관련 문제에서 몬테카를로 방법은 유체, 무질서한 물질, 강한 결합 고체 및 세포 구조와 같은 많은 결합 자유도를 가진 시스템을 시뮬레이션하는 데 유용합니다(세포 포츠 모델, 상호작용하는 입자 시스템, McKean-Vlasov 프로세스, 기체의 운동 모델 참조).

다른 예로는 비즈니스에서 위험 계산과 같은 입력에 상당한 불확실성이 있는 모델링 현상과 복잡한 경계 조건을 가진 다차원 정적분의 평가가 있습니다.시스템 엔지니어링 문제(공간, 석유 탐사, 항공기 설계 등)에 적용할 때, 몬테카를로 기반의 고장, 비용 초과 및 일정 초과 예측은 인간의 직관이나 대안적인 "부드러운" 방법보다 일상적으로 더 좋습니다.[2]

원칙적으로 몬테카를로 방법은 확률론적 해석이 가능한 모든 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다.큰 수의 법칙에 의해, 어떤 랜덤 변수의 기대 값으로 설명되는 적분은 변수의 독립 표본의 경험적 평균('a.k.a.표본 평균')을 취함으로써 근사화될 수 있습니다.변수의 확률 분포를 매개 변수화할 때 수학자들은 종종 마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 샘플러를 사용합니다.[3][4][5]중심 아이디어는 규정된 고정 확률 분포를 가진 현명한 마르코프 체인 모델을 설계하는 것입니다.즉, 한계 내에서 MCMC 방법에 의해 생성되는 샘플은 원하는 (대상) 분포의 샘플이 될 것입니다.[6][7]에르고딕 정리에 의해, 정지 분포는 MCMC 샘플러의 무작위 상태의 경험적 측정에 의해 근사화됩니다.

다른 문제에서는 비선형 진화 방정식을 만족하는 일련의 확률 분포에서 추출을 생성하는 것이 목표입니다.이러한 확률 분포의 흐름은 항상 전이 확률이 현재 랜덤 상태의 분포에 의존하는 마르코프 프로세스의 랜덤 상태의 분포로 해석될 수 있습니다(McKean-Vlasov 프로세스, 비선형 필터링 방정식 참조).[8][9]다른 경우에는 샘플링 복잡성 수준이 증가하는 확률 분포의 흐름이 주어집니다(시간 지평선이 증가하는 경로 공간 모델, 온도 매개 변수 감소와 관련된 볼츠만-기브스 측정 등).이러한 모델은 비선형 마르코프 체인의 무작위 상태 법칙의 진화로도 볼 수 있습니다.[9][10]이러한 정교한 비선형 마코프 프로세스를 시뮬레이션하는 자연스러운 방법은 프로세스의 여러 복사본을 샘플링하는 것이며, 진화 방정식에서 랜덤 상태의 알려지지 않은 분포를 샘플링된 경험적 측정으로 대체하는 것입니다.전통적인 몬테카를로 및 MCMC 방법론과 대조적으로, 이러한 평균장 입자 기술은 순차적 상호작용 샘플에 의존합니다.용어 평균 필드는 각 표본(a.k.a.입자, 개체, 보행기, 에이전트, 생물 또는 표현형)이 공정의 경험적 측도와 상호작용한다는 사실을 반영합니다.시스템의 크기가 무한대인 경향이 있을 때, 이러한 무작위 경험적 측정은 비선형 마르코프 체인의 무작위 상태의 결정론적 분포에 수렴하여 입자 간의 통계적 상호 작용이 사라집니다.

개념적이고 알고리즘적인 단순성에도 불구하고 몬테카를로 시뮬레이션과 관련된 계산 비용은 엄청나게 높을 수 있습니다.일반적으로 이 방법은 좋은 근사치를 얻기 위해 많은 샘플이 필요하며, 단일 샘플의 처리 시간이 높을 경우 임의로 큰 총 런타임이 발생할 수 있습니다.[11]이것은 매우 복잡한 문제에서 심각한 제한이지만, 알고리즘의 당황스러울 정도로 병렬적인 특성으로 인해 로컬 프로세서, 클러스터, 클라우드 컴퓨팅, GPU, FPGA 등에서 병렬 컴퓨팅 전략을 통해 이러한 큰 비용을 절감할 수 있습니다.[12][13][14][15]

개요

몬테카를로 방법은 다양하지만, 특정한 패턴을 따르는 경향이 있습니다.

  1. 가능한 입력의 도메인 정의
  2. 도메인에 대한 확률 분포에서 무작위로 입력 생성
  3. 입력에 대한 결정론적 계산 수행
  4. 결과 집계
π의 값을 근사화하는 데 적용되는 몬테카를로 방법

예를 들어, 단위 사각형에 새겨진 사분면(원형 섹터)을 생각해 보겠습니다.그들의 면적의 비율을 고려할 때π/4, 몬테카를로 방법을 사용하여 π의 값을 근사화할 수 있습니다.

  1. 정사각형을 그리고 그 안에 사분면을 새깁니다.
  2. 일정한 수의 점을 정사각형 위에 균일하게 흩뿌립니다.
  3. 사분면 내부의 점 수, 즉 원점에서 1보다 작은 거리를 갖습니다.
  4. 내부 계수와 총 표본 계수의 비율은 두 영역 π/4의 비율에 대한 추정치입니다.결과에 4를 곱하여 π을 추정합니다.

이 절차에서 입력 영역은 사분면을 둘러싸는 제곱입니다.사각형 위에 알갱이를 흩뿌려 임의의 입력을 생성한 다음 각 입력에 대해 계산을 수행할 수 있습니다(사분면에 속하는지 검정).결과를 종합하면 최종 결과인 π의 근사치를 얻을 수 있습니다.

두 가지 중요한 고려 사항이 있습니다.

  1. 점들이 균일하게 분포되어 있지 않으면 근사치가 떨어지게 됩니다.
  2. 전체 제곱에 소수의 점만 임의로 배치하는 경우 근사치가 일반적으로 좋지 않습니다.평균적으로 점이 더 많이 배치될수록 근사치가 향상됩니다.

몬테카를로 방법을 사용하려면 대량의 난수가 필요하며, 이전에 통계적 샘플링에 사용되었던 난수의 표보다 훨씬 더 빨리 사용할 수 있는 의사 난수 생성기의 이점을 크게 얻었습니다.

역사

몬테카를로 방법이 개발되기 전에 시뮬레이션은 이전에 이해된 결정론적 문제를 테스트했고, 통계 샘플링은 시뮬레이션의 불확실성을 추정하는 데 사용되었습니다.몬테카를로 시뮬레이션은 확률론적 메타 휴리스틱(metaheuristics)을 사용하여 결정론적 문제를 해결하면서 이 접근 방식을 뒤집습니다(모의된 어닐링 참조).

몬테카를로 방법의 초기 변형은 평행 등거리 스트립으로 만든 바닥에 바늘을 떨어뜨려 π을 추정할 수 있는 부폰의 바늘 문제를 해결하기 위해 고안되었습니다.1930년대 엔리코 페르미는 중성자 확산을 연구하던 중 몬테카를로 방법을 처음으로 실험했지만 이 연구를 발표하지는 않았습니다.[17]

1940년대 후반, 스타니슬라브 울람은 로스 알라모스 국립 연구소에서 핵무기 프로젝트를 하던 중에 현대판 마르코프 체인 몬테카를로 방법을 발명했습니다.1946년, 로스앨러모스의 핵무기 물리학자들은 핵무기의 핵심에서 중성자 확산을 연구하고 있었습니다.[17]중성자가 원자핵과 충돌하기 전 물질 내에서 이동할 평균 거리와 충돌 후 중성자가 얼마나 많은 에너지를 방출할 가능성이 있는지와 같은 대부분의 필요한 데이터를 가지고 있음에도 불구하고, 로스 알라모스 물리학자들은 기존의 결정론적인 수학적 방법을 사용하여 문제를 풀 수 없었습니다.Ulam은 무작위 실험을 사용하는 것을 제안했습니다.그는 자신의 영감에 대해 다음과 같이 말합니다.

[몬테카를로법]을 실천하기 위해 내가 한 첫 번째 생각과 시도는 1946년에 내가 병에서 회복하고 고독한 사람들을 연기하면서 떠올린 질문에 의해 제안되었습니다.문제는 52장의 카드로 설계된 캔필드 솔리테어가 성공적으로 나올 가능성이 얼마나 되느냐는 것이었습니다.순수한 조합적 계산으로 그것들을 추정하는 데 많은 시간을 들인 끝에, '추상적 사고'보다 더 실용적인 방법은 말을 백 번 늘어놓지 않고 단순히 성공한 연극의 수를 관찰하고 세는 것이 아닐까 하는 생각이 들었습니다.이것은 이미 빠른 컴퓨터의 새로운 시대의 시작과 함께 상상할 수 있었고, 나는 즉시 중성자 확산의 문제와 수학 물리학의 다른 문제들을 생각했습니다.그리고 일반적으로 특정 미분 방정식에 의해 설명되는 프로세스를 일련의 무작위 연산으로 해석할 수 있는 동등한 형태로 변경하는 방법.나중에 [1946년] 저는 존 폰 노이만에게 이 아이디어를 설명했고, 우리는 실제 계산을 계획하기 시작했습니다.[18]

비밀리에 폰 노이만과 울람의 작품에는 암호명이 필요했습니다.[19]폰 노이만과 울람의 동료 니콜라스 메트로폴리스는 울람의 삼촌이 친척들에게 돈을 빌려 도박을 하던 모나코의 몬테카를로 카지노를 가리키는 몬테카를로라는 이름을 사용할 것을 제안했습니다.[17]몬테카를로 방법은 당시 계산 도구에 의해 심각하게 제한되었지만 맨해튼 프로젝트에 필요한 시뮬레이션의 중심이었습니다.1948년 봄, 폰 노이만, 니콜라스 메트로폴리스 등이 ENIAC 컴퓨터를 프로그래밍하여 핵분열 무기 코어의 완전 자동화된 몬테카를로 계산을 수행했습니다.[20]1950년대에 Monte Carlo 방법은 수소 폭탄의 개발을 위해 Los Alamos에서 사용되었고, 물리학, 물리 화학, 그리고 운영 연구 분야에서 대중화되었습니다.랜드사(Rand Corporation)와 미 공군(U.S. Air Force)은 이 시기 동안 몬테카를로(Monte Carlo) 방법에 대한 자금 지원과 정보 보급을 담당하는 두 개의 주요 기관이었고, 그들은 다양한 분야에서 광범위한 응용 분야를 찾기 시작했습니다.

좀 더 정교한 평균장형 입자 몬테카를로 방법의 이론은 1960년대 중반에 헨리 P의 연구로 확실히 시작되었습니다. 유체역학에서 발생하는 비선형 포물선 편미분 방정식의 클래스에 대한 마코프 해석에 대한 McKean Jr.[21][22]우리는 또한 테오도르 E의 선구적인 초기 기사를 인용합니다. 1951년 발표된 Harris and Herman Kahn은 입자 전달 에너지를 추정하기 위해 평균장 유전형 몬테카를로 방법을 사용했습니다.[23]평균장 유전형 몬테카를로 방법론은 진화 컴퓨팅에서 휴리스틱 자연 검색 알고리즘(일명 메타휴리스틱)으로도 사용됩니다.이러한 평균장 계산 기술의 기원은 1950년과 1954년 앨런 튜링의 유전자형 돌연변이 선택 학습 기계에 대한[24] 연구와 뉴저지 프린스턴 고등 연구소의 닐스 알 바리첼리의 논문으로 거슬러 올라갈 수 있습니다.[25][26]

양자 몬테카를로, 그리고 더 구체적으로 확산 몬테카를로 방법은 파인만-카크 경로 적분의 평균장 입자 몬테카를로 근사치로도 해석할 수 있습니다.[27][28][29][30][31][32][33]양자 몬테카를로 방법의 기원은 1948년 중성자 사슬 반응에 대한 평균장 입자 해석을 개발한 엔리코 페르미와 로버트 리치마이어에 기인하는 경우가 많지만,[34] 최초의 휴리스틱 유사 및 유전자 유형 입자 알고리즘(일명.(축소된 매트릭스 모델에서) 양자 시스템의 지상 상태 에너지를 추정하기 위한 리샘플링 또는 재구성 몬테카를로 방법은 Jack H로 인한 것입니다.1984년[33] 헤더링턴 분자화학에서 유전자 휴리스틱 유사 입자 방법론(일명 가지치기 및 농축 전략)의 사용은 Marshall N. Rosenbluth와 Arianna W. Rosenbluth의 중요한 연구로 1955년까지 거슬러 올라갈 수 있습니다.[35]

고급 신호 처리 및 베이지안 추론에서 순차 몬테카를로를 사용하는 것은 보다 최근의 일입니다.Gordon 등이 베이지안 통계 추론에서 몬테카를로 리샘플링 알고리즘의 첫 번째 적용을 발표한[36] 것은 1993년이었습니다.저자들은 그들의 알고리즘을 '부트스트랩 필터'라고 이름 붙였고, 다른 필터링 방법과 비교했을 때, 그들의 부트스트랩 알고리즘은 그 상태 공간이나 시스템의 잡음에 대한 어떠한 가정도 요구하지 않는다는 것을 증명했습니다.우리는 또한 키타가와 겐시로의 관련된 "몬테카를로 필터"[37]에 대한 또 다른 선구적인 논문과 1990년대 중반에 출판된 입자 필터에 대한 피에르 델 모랄과[38] 히밀콘 카르발류, 피에르 델 모랄, 앙드레 모닌 및 제라르 살루톤의[39] 논문을 인용합니다.입자 필터는 1989-1992년에 P에 의해 신호 처리에서도 개발되었습니다.델 모랄, J. C.LAAS-CNRS의 Noyer, G. Rigal, G. Salut는 레이더/소나 및 GPS 신호 처리 문제에 대해 STCAN(Service Technique des Constructions et Armes Navales), IT 회사 DIGILOG, LAAS-CNRS(Laboratory for Analysis and Architecture of Systems)와 함께 일련의 제한되고 분류된 연구 보고서를 작성했습니다.[40][41][42][43][44][45]이러한 순차적 몬테카를로 방법론은 상호 작용하는 재활용 메커니즘을 갖춘 수용-거부 샘플러로 해석될 수 있습니다.

1950년부터 1996년까지, 컴퓨터 물리학과 분자 화학에 소개된 가지치기와 재표본 몬테카를로 방법론에 대한 모든 출판물들은 그들의 일관성에 대한 단 하나의 증명 없이 다른 상황에 적용되는 자연적이고 휴리스틱한 알고리즘들을 제시합니다.또한 추정의 편향과 계보 및 조상 트리 기반 알고리즘에 대한 논의도 없습니다.이러한 입자 알고리즘에 대한 수학적 기초와 최초의 엄격한 분석은 1996년 Pierre Del Moral에 의해 작성되었습니다.[38][46]

또한 1990년대 말에 댄 크리스안, 제시카 게인스, 테리 라이언스,[47][48][49] 댄 크리스안, 피에르 델 모랄, 테리 라이언스에 의해 다양한 모집단 크기를 가진 분기형 입자 방법론이 개발되었습니다.[50]P는 1999년부터 2001년까지 이 분야에서 추가적인 발전을 설명했습니다.델 모랄, A.기오넷과 L.Miclo.[28][51][52]

정의들

몬테카를로를 어떻게 정의해야 하는지에 대해서는 합의가 이루어지지 않고 있습니다.예를 들어, 리플리는[53] 대부분의 확률적 모델링을 확률적 시뮬레이션으로 정의하며, 몬테카를로는 몬테카를로 통합 및 몬테카를로 통계 테스트를 위해 예약됩니다.Sawilowsky는[54] 모의실험, Monte Carlo 방법, 그리고 Monte Carlo 방법을 구별합니다: 모의실험은 현실의 가상적인 표현이고, Monte Carlo 방법은 수학적인 또는 통계적인 문제를 풀기 위해 사용될 수 있는 기술입니다.몬테카를로 시뮬레이션은 어떤 현상(또는 행동)의 통계적 특성을 얻기 위해 반복 샘플링을 사용합니다.예:

  • 시뮬레이션:구간 [0,1]에서 의사 난수 균일 변수를 하나 그리는 것은 동전 던지기를 모의 실험하는 데 사용할 수 있습니다.값이 0.50보다 작거나 같으면 결과를 헤드로 지정하고 값이 0.50보다 크면 결과를 테일로 지정합니다.이것은 시뮬레이션이지만 몬테카를로 시뮬레이션은 아닙니다.
  • 몬테카를로 방법: 동전 상자를 탁자 위에 쏟아 놓은 다음 앞면과 뒷면이 나오는 동전의 비율을 계산하는 것은 반복적인 동전 던지기의 행동을 결정하는 몬테카를로 방법이지만 시뮬레이션은 아닙니다.
  • 몬테카를로 시뮬레이션:한 번에 또는 여러 번에 한 번씩 [0,1] 구간에서 많은 수의 의사 난수 균일 변수를 그리고 0.50 이하의 값을 앞면으로, 0.50 이상을 뒷면으로 할당하는 것은 동전을 반복적으로 던지는 행동의 몬테카를로 시뮬레이션입니다.

칼로스와 휘트록은 그러한[55] 차이가 항상 유지되기 쉬운 것은 아니라고 지적합니다.예를 들어, 원자에서 방사선이 방출되는 것은 자연적인 확률적 과정입니다.직접 시뮬레이션하거나 몬테카를로 방법을 사용하여 자체적으로 해결할 수 있는 확률 방정식으로 평균 동작을 설명할 수 있습니다."실제로 동일한 컴퓨터 코드를 '자연 시뮬레이션' 또는 자연 샘플링에 의한 방정식의 해로 동시에 볼 수 있습니다."

몬테카를로와 난수

이 방법의 주요 아이디어는 결과가 반복적인 무작위 추출과 통계 분석을 기반으로 계산된다는 것입니다.몬테카를로 시뮬레이션은 사실 이러한 실험의 결과가 잘 알려지지 않은 경우에 무작위 실험입니다.몬테카를로 시뮬레이션은 일반적으로 알려지지 않은 많은 매개변수들로 특징지어지는데, 많은 매개변수들은 실험적으로 얻기 어렵습니다.[56]몬테카를로 시뮬레이션 방법은 항상 진정한 난수가 유용할 필요는 없습니다. (비록 소수성 테스트와 같은 일부 응용 프로그램의 경우 예측 불가능성이 중요합니다.)[57]대부분의 가장 유용한 기법은 결정론적 의사 난수 시퀀스를 사용하므로 시뮬레이션을 쉽게 테스트하고 다시 실행할 수 있습니다.일반적으로 좋은 시뮬레이션을 하는 데 필요한 유일한 품질은 의사 랜덤 시퀀스가 특정한 의미에서 "충분히 랜덤하게" 나타나는 것입니다.

이것이 의미하는 바는 응용 프로그램에 따라 다르지만 일반적으로 일련의 통계 테스트를 통과해야 합니다.수열의 요소가 충분히 많이 고려될 때 숫자가 균일하게 분포되어 있거나 다른 원하는 분포를 따르는지를 검정하는 것은 가장 단순하고 일반적인 방법 중 하나입니다.연속적인 표본 간의 약한 상관관계도 종종 바람직하거나 필요합니다.

Sawilowsky는 고품질 몬테카를로 시뮬레이션의 특징을 나열합니다.[54]

  • (pseudo-random) 숫자 생성기는 특정 특성(예: 시퀀스가 반복되기 전의 긴 "주기")을 갖습니다.
  • (pseudo-random) 숫자 생성기는 임의성 검정을 통과하는 값을 생성합니다.
  • 정확한 결과를 보장하기에 충분한 샘플이 있습니다.
  • 적절한 샘플링 기술이 사용됩니다.
  • 사용된 알고리즘이 모델화 중인 것에 대해 유효합니다.
  • 문제의 현상을 모방합니다.

의사 난수 샘플링 알고리즘은 균일하게 분포된 의사 난수를 주어진 확률 분포에 따라 분포된 수로 변환하는 데 사용됩니다.

낮은 불일치 시퀀스는 균등한 커버리지를 보장하고 일반적으로 랜덤 또는 의사 랜덤 시퀀스를 사용하는 몬테카를로 시뮬레이션보다 수렴 순서가 빠르기 때문에 공간에서 랜덤 샘플링 대신 사용되는 경우가 많습니다.그 사용에 기초한 방법을 준 몬테카를로 방법이라고 합니다.

난수 품질이 몬테카를로 시뮬레이션 결과에 미치는 영향을 평가하기 위해 천체물리학 연구자들은 인텔의 RDRAND 명령어 세트를 통해 생성된 암호학적으로 안전한 의사 난수를 메르센 트위스터와 같은 알고리즘에서 생성된 것과 비교하여 테스트했습니다.몬테카를로에서 갈색 왜성의 전파 플레어 시뮬레이션.RDRAND는 실제 난수 생성기에 가장 가까운 의사 난수 생성기입니다.일반적인 의사 난수 생성기로 생성된 모델과 10개의7 난수 생성으로 구성된 시험의 RDRAND 사이에 통계적으로 유의한 차이가 발견되지 않았습니다.[58]

몬테카를로 시뮬레이션 대 "만약에" 시나리오

몬테카를로 시뮬레이션이 아닌 확률을 사용하는 방법이 있습니다. 예를 들어 단일 점 추정치를 사용한 결정론적 모델링이 있습니다.모형 내의 각 불확실한 변수에는 "최적의 추측" 추정치가 할당됩니다.각 입력 변수에 대한 시나리오(예: 최상, 최악 또는 가장 가능성이 높은 경우)가 선택되고 결과가 기록됩니다.[59]

대조적으로 몬테카를로 시뮬레이션은 각 변수에 대한 확률 분포에서 표본을 추출하여 수백 또는 수천 개의 가능한 결과를 도출합니다.결과는 서로 다른 결과가 발생할 확률을 얻기 위해 분석됩니다.[60]예를 들어, 기존의 "whiff" 시나리오를 사용하여 스프레드시트 비용 구성 모델을 실행한 다음 몬테카를로 시뮬레이션 및 삼각 확률 분포와 비교를 다시 실행하면 몬테카를로 분석의 범위가 "whiff" 분석보다 좁다는 것을 알 수 있습니다.[example needed]왜냐하면 "만약에" 분석은 모든 시나리오에 동일한 가중치를 부여하는 반면, 몬테카를로 방법은 매우 낮은 확률 영역에서 표본을 추출하지 않기 때문입니다.이러한 영역의 샘플을 "희귀 이벤트"라고 합니다.

컨버전스[citation needed]

Gelman-Rubin 진단 또는 Geweke 진단을 통해 수렴 여부를 확인할 수 있습니다.

적용들

몬테카를로 방법은 입력에서 상당한 불확실성이 있는 현상과 결합된 자유도가 많은 시스템을 시뮬레이션하는 데 특히 유용합니다.적용 분야는 다음과 같습니다.

물리학

계산물리학
가능성
유체 동역학
몬테카를로법
입자
사이언티스트
참고 항목:통계물리학의 몬테카를로 방법

몬테카를로 방법은 계산 물리학, 물리 화학 및 관련 응용 분야에서 매우 중요하며 복잡한 양자 색역학 계산부터 방열판 및 공기역학 형태 설계 및 방사선 선량측정 계산을 위한 방사선 수송 모델링에 이르기까지 다양한 응용 분야를 가지고 있습니다.[61][62][63]통계 물리학에서 몬테카를로 분자 모델링은 계산 분자 역학의 대안이며 몬테카를로 방법은 단순 입자 및 고분자 시스템의 통계 분야 이론을 계산하는 데 사용됩니다.[35][64]양자 몬테카를로 방법은 양자 시스템의 다체 문제를 해결합니다.[8][9][27]방사선 재료 과학에서 이온 주입을 시뮬레이션하기 위한 이진 충돌 근사는 보통 다음 충돌 원자를 선택하기 위한 몬테카를로 접근법에 기초합니다.[65]실험 입자 물리학에서 몬테카를로 방법은 검출기를 설계하고, 검출기의 거동을 이해하고, 실험 데이터를 이론과 비교하는 데 사용됩니다.천체물리학에서, 그것들은[66] 거친 행성 표면을 통해 은하 진화와 마이크로파 방사 전송을 모델링하기 위해 다양한 방식으로 사용됩니다.[67]몬테카를로 방법은 현대 기상 예측의 기초를 이루는 앙상블 모델에서도 사용됩니다.

공학 기술

Monte Carlo 방법은 공정 설계에서 민감도 분석과 정량적 확률적 분석을 위해 공학에서 널리 사용됩니다.일반적인 프로세스 시뮬레이션의 상호작용, 공동 선형 및 비선형적 동작에서 필요성이 발생합니다.예를들면,

기후변화와 복사 강제력

기후 변화에 관한 정부간 패널은 복사 강제력의 확률 밀도 함수 분석에서 몬테카를로 방법에 의존합니다.[71]

전산생물학

몬테카를로 방법은 다양한 계산 생물학 분야에서 사용되는데, 예를 들어 계통발생학의 베이지안 추론이나 유전체, 단백질 또는 [72]막과 같은 생물학적 시스템을 연구하기 위해 사용됩니다.[73]시스템은 원하는 정확도에 따라 거친 입자 또는 초기 프레임워크에서 연구할 수 있습니다.컴퓨터 시뮬레이션은 예를 들어 어떤 화학 반응이 일어나고 있는지를 알아보기 위해 특정 분자의 지역 환경을 관찰할 수 있게 해줍니다.물리적 실험이 불가능한 경우(예: 본드 깨기, 특정 현장의 불순물 도입, 지역/지구 구조 변화 또는 외부 분야 도입) 사고 실험을 수행할 수 있습니다.

컴퓨터 그래픽스

때로는 몬테카를로 광선 추적이라고도 하는 경로 추적은 가능한 빛 경로의 샘플을 무작위로 추적함으로써 3D 장면을 렌더링합니다.임의의 주어진 픽셀을 반복적으로 샘플링하면 샘플의 평균이 렌더링 방정식의 올바른 솔루션에 수렴하게 되어 현재 존재하는 가장 정확한 3D 그래픽 렌더링 방법 중 하나가 됩니다.

적용통계

통계학에서 몬테카를로 실험의 기준은 Sawilowsky가 세웠습니다.[74]응용 통계학에서 몬테카를로 방법은 적어도 네 가지 목적을 위해 사용될 수 있습니다.

  1. 실제 데이터 조건에서 소규모 표본에 대한 경쟁 통계량을 비교합니다.점근 조건(예: 무한 표본 크기 및 무한 소처리 효과)에 대해 고전적인 이론 분포(예: 정규 곡선, 코시 분포)에서 추출한 데이터에 대해 유형 I의 오차 및 검정력 특성을 계산할 수 있지만 실제 데이터에는 그러한 분포가 없는 경우가 많습니다.[75]
  2. 점근 분포의 임계 값보다 정확하면서도 순열 검정(계산이 불가능한 경우가 많습니다)과 같은 정확한 검정보다 효율적인 경우 계산이 불가능한 경우가 많습니다.
  3. 베이지안 추론에서 사후 분포로부터 랜덤 표본을 제공합니다.그런 다음 이 샘플은 후면의 모든 주요 특징을 근사화하고 요약합니다.
  4. 피셔 정보 행렬의 추정치를 형성하기 위해 평균화될 수 있는 음의 로그 우도 함수의 헤센 행렬의 효율적인 랜덤 추정치를 제공합니다.[76][77]

몬테카를로 방법은 근사 무작위화와 순열 검정 사이의 절충점이기도 합니다.근사 무작위화 검정은 모든 순열의 지정된 부분 집합을 기반으로 합니다(순열이 고려된 경우 잠재적으로 막대한 하우스 키핑이 수반됨).몬테카를로(Monte Carlo) 접근법은 임의로 추출된 순열의 지정된 수(이미 선택된 순열을 추적할 필요가 없는 효율성을 위해 순열을 두 번 또는 더 자주 추출할 경우 정밀도에서 약간의 손실을 교환)를 기반으로 합니다.

게임용 인공지능

주요 기사:몬테카를로 나무 찾기

몬테카를로 방법은 게임에서 최고의 움직임을 찾는 데 유용한 몬테카를로 나무 찾기라는 기술로 발전했습니다.가능한 이동은 검색 트리에 정리되어 있으며 각 이동의 장기적인 잠재력을 추정하기 위해 많은 랜덤 시뮬레이션이 사용됩니다.블랙박스 시뮬레이터는 상대방의 움직임을 나타냅니다.[78]

몬테카를로 트리 검색(MCTS) 방법에는 다음과 같은 네 가지 단계가 있습니다.[79]

  1. 트리의 루트 노드에서 시작하여 리프 노드에 도달할 때까지 최적의 자식 노드를 선택합니다.
  2. 리프 노드를 확장하고 자식 중 하나를 선택합니다.
  3. 해당 노드를 시작으로 모의 게임을 실행합니다.
  4. 시뮬레이션된 게임의 결과를 사용하여 노드와 노드의 조상을 업데이트합니다.

많은 시뮬레이션된 게임의 과정에서 순 효과는 움직임을 나타내는 노드의 값이 올라가거나 내려가고, 그 노드가 좋은 움직임을 나타내는지의 여부와 일치하기를 바랍니다.

몬테카를로 트리 서치는 바둑,[80] 탄트릭스,[81] 배틀쉽,[82] 하바나,[83] 아리마와 같은 게임을 하는데 성공적으로 사용되었습니다.[84]

참고 항목:컴퓨터 고

디자인 및 비주얼

몬테카를로 방법은 또한 방사선장과 에너지 수송의 결합된 적분 미분 방정식을 푸는 데 효율적입니다. 따라서 이 방법은 비디오 게임, 건축, 디자인, 컴퓨터에서 생성된 필름에 응용하여 가상 3D 모델의 광 사실적 이미지를 생성하는 글로벌 조명 계산에 사용되어 왔습니다.영화적 특수효과도 있습니다.[85]

수색구조

미국 해안 경비대는 컴퓨터 모델링 소프트웨어인 SAROPS에 몬테카를로 방법을 사용하여 수색 및 구조 작업 중 선박의 가능한 위치를 계산합니다.각 시뮬레이션은 제공된 변수를 기준으로 랜덤하게 분포된 최대 만 개의 데이터 포인트를 생성할 수 있습니다.[86]검색 패턴은 봉쇄 가능성(POC)과 탐지 가능성(POD)을 최적화하기 위해 이러한 데이터의 외삽을 기반으로 생성되며, 이는 전체적인 성공 가능성(POS)과 동일합니다.궁극적으로 이것은 가장 신속하고 편리한 구조 방법을 제공하여 생명과 자원을 모두 구할 수 있는 확률 분포의 실용적인 적용 역할을 합니다.[87]

재무 및 사업

참고 항목:금융의 몬테카를로법, 금융의 준 몬테카를로법, 옵션가격결정의 몬테카를로법, 확률모형(보험), 확률자산모형

몬테카를로 시뮬레이션은 다양한 의사결정 옵션의 결과에 영향을 미칠 위험과 불확실성을 평가하는 데 일반적으로 사용됩니다.Monte Carlo 시뮬레이션을 통해 비즈니스 리스크 분석가는 판매량, 상품 및 노동 가격, 이자율 및 환율과 같은 변수의 불확실성의 총 효과뿐만 아니라 계약 취소 또는 세법 변경과 같은 뚜렷한 리스크 이벤트의 효과를 통합할 수 있습니다.

재무 분야의 몬테카를로 방법은 종종 사업부나 기업 수준의 프로젝트에 대한 투자 또는 기타 재무적 평가를 평가하는 데 사용됩니다.이들은 프로젝트 일정을 모델링하는 데 사용될 수 있으며, 시뮬레이션을 통해 각 작업에 대한 최악의 경우, 최상의 경우 및 가장 가능성이 높은 기간에 대한 추정치를 집계하여 전체 프로젝트의 결과를 결정할 수 있습니다.[1]몬테카를로 방법은 옵션 가격 책정, 기본 위험 분석에도 사용됩니다.[88][89][90]또한 의료 개입의 재정적 영향을 추정하는 데 사용할 수 있습니다.[91]

법

몬테카를로(Monte Carlo) 접근법은 위스콘신(Wisconsin)의 여성 청원자들이 괴롭힘 및 가정폭력 금지 명령을 성공적으로 신청할 수 있도록 돕기 위해 제안된 프로그램의 잠재적 가치를 평가하는 데 사용되었습니다.여성들에게 더 큰 옹호를 제공함으로써 강간과 신체적 폭행의 위험을 잠재적으로 줄여줌으로써 여성들이 청원에 성공할 수 있도록 돕는 것이 제안되었습니다.하지만, 게임에는 명령을 억제하는 효과, 옹호를 할 때와 하지 않을 때 모두 청원자의 성공률 등 완벽하게 추정할 수 없는 많은 변수들이 있었습니다.이 연구는 제안된 프로그램의 전체적인 성공 수준에 대한 전체적인 추정치를 도출하기 위해 이 변수들을 다양하게 실험했습니다.[92]

도서관학

Monte Carlo 접근법은 또한 말레이시아에서 책 장르에 따른 책 출판물의 수를 시뮬레이션하기 위해 사용되었습니다.몬테카를로 시뮬레이션은 국내 시장에서 도서 장르에 따른 도서 가격과 기존 출판된 내셔널 북(National Book) 출판 데이터를 활용했습니다.Monte Carlo 결과를 통해 말레이시아인들이 좋아하는 도서 장르가 무엇인지를 파악하고, 말레이시아와 일본의 도서 출판물을 비교하는 데 사용했습니다.[93]

다른.

Nassim Nicholas Taleb은 2001년 저서 "무작위에 속았다"에서 몬테카를로 발전기에 대해 역튜링 테스트의 실제 사례로 다음과 같이 쓰고 있습니다. 만약 그들의 글이 생성된 것과 구별될 수 없다면, 인간은 비지능적이라고 선언될 수 있습니다.

수학에 사용

일반적으로 몬테카를로 방법은 수학에서 적절한 난수를 생성하고(난수 생성도 참조) 일부 성질이나 성질을 따르는 수의 분수를 관찰함으로써 다양한 문제를 해결하는 데 사용됩니다.이 방법은 분석적으로 해결하기에는 너무 복잡한 문제에 대한 수치 해를 얻는 데 유용합니다.몬테카를로 방법의 가장 일반적인 적용은 몬테카를로 통합입니다.

통합

주요 기사:몬테카를로 적분
Monte-Carlo 적분은 임의의 점과 함수의 값을 비교함으로써 작동합니다.
오류가 N}}만큼 줄어듭니다

결정론적 수치 통합 알고리듬은 적은 수의 차원에서 잘 작동하지만 함수가 많은 변수를 가질 때 두 가지 문제에 직면합니다.첫째, 필요한 기능 평가의 수는 차원의 수에 따라 빠르게 증가합니다.예를 들어, 10개의 평가가 1차원에서 적절한 정확도를 제공하는 경우 100차원에 대해 10개의100 점이 필요합니다. 계산하기에는 너무 많습니다.이것은 차원성의 저주라고 불립니다.둘째, 다차원 영역의 경계는 매우 복잡할 수 있으므로 반복 적분으로 문제를 줄이는 것이 불가능할 수 있습니다.[94]100차원은 많은 물리적 문제에서 "dimension"은 자유도에 해당하기 때문에 결코 특이하지 않습니다.

몬테카를로 방법은 이러한 기하급수적인 계산 시간 증가에서 벗어날 수 있는 방법을 제공합니다.문제의 함수가 상당히 잘 작동하는 한, 100차원 공간의 점들을 임의로 선택하고, 이 점들에서 함수 값들의 일종의 평균을 취함으로써 추정할 수 있습니다.중심 한계 정리에 의해 이 은 1 /N 1 / 의 수렴을 표시합니다. 즉, 차원 수에 관계없이 샘플링된 점의 수를 4배로 증가시켜 오차를 절반으로 줄입니다.[94]

통계학에서 중요도 표본 추출이라고 알려진 이 방법의 개선은 점을 임의로 표본 추출하는 것이지만 적분량이 큰 경우에는 더 자주 표본 추출합니다.이를 정확하게 수행하려면 적분을 이미 알고 있어야 하지만, 비슷한 함수의 적분으로 적분을 근사화하거나 계층화 샘플링, 재귀 계층화 샘플링, 적응 우산 샘플링[95][96] 또는 VEAS 알고리즘과 같은 적응 루틴을 사용할 수 있습니다.

유사한 접근법인 준 몬테카를로 방법은 낮은 불일치 시퀀스를 사용합니다.이러한 시퀀스는 영역을 더 잘 채우고 가장 중요한 점을 더 자주 샘플링하므로, 준 몬테카를로 방법은 종종 적분에 더 빨리 수렴할 수 있습니다.

볼륨에서 점을 샘플링하는 또 다른 방법은 랜덤 워크를 시뮬레이션하는 것입니다(Markov chain Monte Carlo).그러한 방법에는 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘, 깁스 샘플링, Wang 및 Landau 알고리즘 및 순차 몬테카를로 샘플러와 같은 상호작용형 MCMC 방법론이 포함됩니다.[97]

시뮬레이션 및 최적화

주요 기사:확률적 최적화

수치 시뮬레이션에서 난수에 대한 또 다른 강력하고 매우 인기 있는 응용은 수치 최적화입니다.문제는 종종 많은 차원을 가지는 일부 벡터의 함수를 최소화(또는 최대화)하는 것입니다.많은 문제들이 이런 식으로 표현될 수 있습니다: 예를 들어, 컴퓨터 체스 프로그램은 마지막에 최고의 평가 함수를 만들어 내는, 예를 들어 10가지 동작의 집합을 찾으려고 노력하는 것으로 보일 수 있습니다.여행 세일즈맨 문제의 목표는 여행 거리를 최소화하는 것입니다.다학제적 설계 최적화와 같은 엔지니어링 설계에도 적용됩니다.대형 구성 공간을 효율적으로 탐색하여 입자 역학 문제를 해결하기 위해 준1차원 모델을 적용하였습니다.참조는[98] 시뮬레이션 및 최적화와 관련된 많은 문제에 대한 종합적인 검토입니다.

판매원 출장 문제는 통상적인 최적화 문제라고 하는 것입니다.즉, 최적 경로를 결정하는 데 필요한 모든 사실(각 목적지 지점 간 거리)은 확실하게 알려져 있으며, 총 거리가 가장 낮은 경로를 결정하기 위해 가능한 여행 선택을 실행하는 것이 목표입니다.그러나 원하는 목적지를 방문하기 위해 총 이동 거리를 최소화하는 대신 각 목적지에 도달하는 데 필요한 총 시간을 최소화하고자 했다고 가정합니다.이는 이동 시간이 본질적으로 불확실하기 때문에 기존의 최적화를 넘어서는 것입니다(교통 체증, 하루 중 시간 등).결과적으로.최적 경로를 결정하기 위해 우리는 시뮬레이션을 사용할 것입니다 - 최적화를 사용하여 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 데 필요한 잠재적 시간 범위를 먼저 이해하고(이 경우 특정 거리가 아닌 확률 분포로 표시됨), 그 다음에 u를 취할 수 있는 최적 경로를 식별하기 위해 우리의 여행 결정을 최적화합니다.확실성을 고려하여

역문제

역문제의 확률적 공식화는 모형 공간에서 확률 분포를 정의합니다.이 확률 분포는 관측 가능한 모수(데이터)를 측정하여 얻은 새로운 정보와 사전 정보를 결합합니다.일반적인 경우 데이터와 모델 파라미터를 연결하는 이론이 비선형적이기 때문에 모델 공간에서의 사후 확률은 설명하기가 쉽지 않을 수 있습니다(다중 모드일 수도 있고 일부 모멘트는 정의되지 않을 수도 있음 등).

역문제를 분석할 때 최대우도 모형을 구하는 것은 일반적으로 충분하지 않습니다. 데이터의 분해능에 대한 정보도 얻기를 원하기 때문입니다.일반적인 경우에는 많은 모형 모수를 가질 수 있으며, 관심 한계 확률 밀도에 대한 검사는 비현실적이거나 심지어 쓸모가 없을 수도 있습니다.그러나 사후 확률 분포에 따라 의사 무작위로 많은 모델 집합을 생성하고 모델 특성의 상대적 가능성에 대한 정보가 관중에게 전달되는 방식으로 모델을 분석하고 표시하는 것이 가능합니다.이것은 선험적 분포에 대한 명시적인 공식이 없는 경우에도 효율적인 몬테카를로 방법에 의해 달성될 수 있습니다.

가장 잘 알려진 중요도 샘플링 방법인 Metropolis 알고리즘을 일반화할 수 있으며, 이를 통해 복잡한 선험적 정보와 임의의 노이즈 분포를 가진 데이터가 있는 역문제를 분석할 수 있는 방법이 제공됩니다.[99][100]

철학

몬테카를로 방법에 대한 대중적인 설명은 맥크래큰에 의해 진행되었습니다.[101]이 방법의 일반적인 철학은 엘리샤코프와[102] 그뤼네-야노프 그리고 바이리히에 의해 논의되었습니다.[103]

참고 항목

참고문헌

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