닐포텐트군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
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이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학, 구체적으로는 집단 이론에서 영점군 G는 G로 끝나는 상위 중심계열의 집단을 말한다. 동등하게 중심계열은 유한한 길이 또는 하위 중심계열은 {1}(으)로 종료된다.null

직관적으로, nilpotent 그룹은 "거의 아벨리안"인 그룹이다.이 아이디어는 영일전트 그룹이 해결 가능하다는 사실에 의해 동기 부여되며, 유한한 영일전트 그룹의 경우 비교적 주요한 주문을 가진 두 요소가 통근해야 한다.유한한 영점군이 초능률적이라는 것도 사실이다.이 개념은 1930년대에 러시아의 수학자 세르게이 체르니코프에 의해 작동된 것으로 인정받고 있다.^[1]null

Nilpotent 그룹은 그룹의 분류뿐만 아니라 Galois 이론에서도 발생한다.그들은 또한 Lie 그룹의 분류에서도 두드러지게 나타난다.null

Nilpotent, lower central series, upper central series를 포함하여 Lie algebras (Lie bracket 사용)에 유사한 용어가 사용된다.null

정의

그 정의는 그룹을 위한 중앙 시리즈 개념을 사용한다.다음은 영점 그룹 G에 대한 동등한 정의다.

• G는 길이가 유한한 중심계열이다.즉, 일련의 정규 부분군

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleleft G_{1}\triangleleleft \dots \triangleleleft G_{n}=G}$

where ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})}$, or equivalently ${\displaystyle [G,G_{i+1}]\leq G_{i}}$.

• G는 여러 단계를 거쳐 사소한 부분군에서 종료되는 하위 중심 영상 시리즈를 가지고 있다.즉, 일련의 정규 부분군

${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {Gi}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {Gi}_{}}$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle G_{i+1}=[$$G_{i},G]}$.

• G는 여러 단계를 거쳐 전체 그룹에서 종료되는 상위 중앙 시리즈를 가지고 있다.즉, 일련의 정규 부분군

${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleleft Z_{1}\triangleleleft \dots \triangleleleleft Z_{n}=G}$

where ${\displaystyle Z_{1}=Z(G)}$ and ${\displaystyle Z_{i+1}}$ is the subgroup such that ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$.

nilpotent 그룹의 경우, G가 n 길이의 중심 시리즈를 갖는 가장 작은 n을 G의 nilpotency class라고 하며, G는 n등급의 nilpotent라고 한다.(정의에 따르면, 사소한 부분군 및 전체 그룹을 포함하여 시리즈에 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyn+1}$개의$$ 다른 하위 그룹이 있는 경우 길이는 n이다.)null

동등하게, G의 nilpensity 등급은 하위 중심계열 또는 상위 중심계열의 길이와 같다.만약 어떤 그룹이 nilpension 클래스를 기껏해야 nil-n 그룹이라고 한다면, 그것은 nil-n 그룹이라고 불리기도 한다.null

위와 같은 형태의 nilpensity 정의에서 즉시 따르며, 사소한 집단은 nilpensity class 0의 고유한 집단이며, nilpensity class 1의 집단은 정확히 non-trivial abelian 그룹이다.^[2][3]null

예

• 위에서 언급했듯이, 모든 아벨 그룹들은 영적인 존재다.^[2][4]
• 작은 비-아벨리안 예제의 경우 가장 작은 비-아벨리안 p-그룹인 쿼터니온 그룹 Q를₈ 고려하십시오.중앙 {1, -1} 순서가 있으며, 상위 중앙 시리즈는 {1}, {1, -1}, Q이므로₈ 등급 2의 영점이다.
• 두 개의 영약 집단의 직접 생산물은 영약이다.^[5]
• 모든 유한 p-group은 사실상 nilpotent (proof)이다.순서 pⁿ 그룹의 최대 등급은 n이다(예를 들어, 순서 2의 모든 그룹은 클래스 1의 nilpotent임).최대 등급의 2개 그룹은 일반화 쿼터니온 그룹, 이음계 그룹, 반음계 그룹이다.
• 더욱이, 모든 유한한 핵확산물 집단은 p-group의 직접적인 산물이다.^[5]
• 모든 필드 F에 대한 상위 단위 직사각형 n 행렬의 곱셈 그룹은 nilpotency 클래스 n - 1의 nilpotent 그룹이다.특히 n = 3을 복용하면 비아벨리안^[6] 무한 영감 그룹의 예인 하이젠베르크 그룹 H가 산출된다.^[7]중심 시리즈 1, Z(H), H를 포함하는 영전위 등급 2를 가지고 있다.
• 필드 F에 대한 반전성 상위 삼각형 n x n 행렬의 곱셈 그룹은 일반적으로 nilpotent가 아니라 해결 가능하다.
• G/Z(G)가 아벨리안인 비아벨리안 그룹 G는 중심 시리즈 {1}, Z(G), G와 함께 영전위 등급 2를 가진다.

용어의 설명

Nilpotent groups are so called because the "adjoint action" of any element is nilpotent, meaning that for a nilpotent group ${\displaystyle G}$ of nilpotence degree ${\displaystyle n}$ and an element ${\displaystyle g}$, the function ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}\colon G\to G}$ defined by $$${\displaystyle \displaystyle {ad} _{g}(x):$$=[g,x]}$ (where ${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$ is the commutator of ${\displaystyle g}$ and ${\displaystyle x}$) is nilpotent in the sense that the ${\displaystyle n}$th iteration of the function is trivial: ${\displaystyle \left(\operator$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대해 $이름 {ad} _{g}\오른쪽)^{n(x)=e}$

nilpotent 그룹의 정의 특성은 아니다. ${\displaystyle {ad}_{}}$ g$${$ad}$ _${g}$ 광고 g {\$displaystyle\operatorname${ad} _{g}가 nilpotent인$$ $그룹$은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ $$-Engel$$ 그룹이라고 하며 일반적으로 nilpotent가 될 필요는 없다.^[8]질서가 유한하면 영약으로 입증되고, 미세하게 생성되는 한 영약으로 추측된다.null

아벨리안 집단은 정확하게 조정 작용이 단순히 영적인 것이 아니라 사소한 것(1-Engel 집단)인 집단이다.null

특성.

상위 중앙계열의 각 연속요소군 Z_i+1/Z는_i 아벨리안이며, 계열은 유한하므로, 모든 영점군은 비교적 단순한 구조를 가진 해결 가능한 집단이다.null

n등급의 nilpotent 그룹의 모든 하위 그룹은 최대 n등급의 nilpotent이다.^[9] 또한, f가 n등급의 nilpotent 그룹의 동형상이라면 f의 이미지는 최대 n등급의 nilpotent이다^[9].

다음 문장은 유한집단에 동등하며, 영(0)^[10]의 일부 유용한 속성을 나타낸다.

• (a) G는 영점군이다.
• (b) H가 G의 적절한 부분군인 경우, H는_G N(H)의 적절한 정규 부분군(G에서 H의 정규 분자)이다.이것을 노멀라이저 속성이라고 하며, 단순히 "노멀라이저가 성장한다"고 표현할 수 있다.
• (c) G의 모든 Sylow 부분군은 정상이다.
• (d) G는 Sylow 하위 그룹의 직접 생산물이다.
• (e) d가 G의 순서를 나누면 G는 d의 정상적인 부분군을 가진다.

증명: (a)→(b): G에 유도로. G가 아벨리안이라면, H에 대해서는 N_G(H)=G.그렇지 않다면, Z(G)가 H에 포함되어 있지 않으면 hH_ZZ⁻¹⁻¹=h'라고 한다.H'h⁻¹=H, 그래서 H·Z(G) 노멀라이저 H. Z(G)가 H에 포함되어 있으면 H/Z(G)가 G/Z(G)에 포함되어 있다.참고, G/Z(G)는 영점 그룹이다.따라서 정규화자 H/Z(G)와 H/Z(G)가 적절한 부분군인 G/Z(G)의 부분군이 존재한다.따라서 이 하위 그룹을 G의 하위 그룹으로 당기면 H가 정규화된다(이 증거는 p-그룹에 대한 주장과 동일하며, G가 영점일 경우 G/Z(G)가 정규화되므로 세부 사항은 생략한다).null

(b)→(c): p₁,p₂,...p는_s 그 순서를 나누는 구별되는 프리임이 되게 하고, p는_ipi 실(G),1≤i≤s로 한다.일부 i는 P=P로_i 하고 N=N_G(P)으로 한다.P는 N의 정규 부분군이기 때문에 N의 특성은 P자 N과 N은 N_G(N)의 정규 부분군이기 때문에 P는 N_G(N)의 정규 부분군임을 알 수 있다.이것은 N(N_G)이 N의 부분군임을 의미하며, 따라서_G N(N)=N(N)=N(N)을 의미한다. 따라서 (b) 우리는 (c)를 주는 N=G를 가져야 한다.null

(c)→(d): p₁,p₂,...p는_s 그 순서를 나누는 구별되는 프리임이 되게 하고, p는_ipi 실(G),1≤iss로 한다.어떤 t, 1㎛에 대해서도 PP는₁₂ ...라는 것을 유도적으로 보여준다.P는_t P₁×P₂×에 대해 이형성이 있다...×P_t. 먼저 각_i P는 G에서 정상이므로 PP₁₂...P는_t G의 부분군이다. H를 제품 PP로₁₂ 하자...P와_t-1 K=P로_t 두십시오. 따라서 유도 H로 인해₁ P×P₂×에 이형성이 발생함...×P_t-1. 특히 H = P₁ · P₂ ·...·P_t-1. K = P이므로_t H와 K의 순서는 비교적 원순이다.라그랑주의 정리는 H와 K의 교차점이 1과 같다는 것을 암시한다.정의상,PP₁₂...P_t=HK, 따라서 HK는 P₁×P₂×와 같은 H×K와 이형이다...×P_t. 이것으로 인덕션이 완성된다.이제 (d)를 얻으려면 t=s를 택하라.null

(d)→(e): 순서 p의^k P-그룹에는 모두 1groupm³k에 대해 순서 p의^m 정규 부분군이 있다는 점에 유의한다.G는 Sylow 부분군의 직접적인 산물이고, 그룹의 직접적인 산물에 따라 정규성이 보존되기 때문에, G는 G의 모든 부분군 d에 대해 정상적인 부분군 d를 가지고 있다.

(e)→(a): G를 나누는 모든 p의 경우, Sylow p-subgroup은 정상이다.따라서 (c)→(e)를 이미 증명했기 때문에) (c)를 적용할 수 있다.null

문 (d)은 무한 집단으로 확장할 수 있다: G가 영점 그룹이라면 G의 모든 Sylow 부분군_p G는 정상이며, 이러한 Sylow 부분군의 직접 산물은 G의 유한한 순서의 모든 원소의 부분군이다(토션 부분군 참조).null

nilpotent 그룹의 많은 속성은 하이퍼센트럴 그룹에 의해 공유된다.null

메모들

참조

• Bechtell, Homer (1971). The Theory of Groups. Addison-Wesley.
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Isaacs, I. Martin (2008). Finite Group Theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3.
• Palmer, Theodore W. (1994). Banach Algebras and the General Theory of *-algebras. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Homology in Group Theory. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 359. Springer-Verlag. 검토
• Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. ISBN 1-85233-235-2.
• Zassenhaus, Hans (1999). The Theory of Groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.