구간(수학)

수학에서 (실제) 구간은 "간격"이 없는 두 고정된 끝점 사이에 놓여 있는 모든 실수의 집합입니다.각 끝점은 실수이거나 양 또는 음의 무한대로, 구간이 경계 없이 확장됨을 나타냅니다.간격에는 끝점, 끝점 또는 두 끝점을 모두 포함할 수 없습니다.

예를 들어, 0, 1 및 그 사이의 모든 숫자로 구성된 실수의 집합은 [0, 1]로 표시되고 단위 간격이라고 합니다. 모든 양수의 집합은 (0, ∞)로 표시되는 간격이고, 모든 실수의 집합은 (-∞, ∞)로 표시되는 간격이고, 임의의 실수 a는 [a, a]로 표시되는 간격입니다.

간격은 수학적 분석에서 어디에나 있습니다.예를 들어 연속성의 엡실론-델타 정의에서 암시적으로 발생합니다. 중간값 정리는 연속 함수에 의한 구간의 상이 구간이라고 주장합니다. 실제 함수의 적분은 구간에 걸쳐 정의됩니다.

인터벌 산술은 입력 데이터의 불확실성과 반올림 오류가 있는 경우에도 수치 계산 결과의 보장된 인클로저를 제공하기 위해 실수 대신 인터벌로 계산하는 것으로 구성됩니다.

구간도 정수 또는 유리수와 같은 임의의 전체 순서 집합에서 정의됩니다.정수 구간 표기는 아래의 특별 섹션에서 고려됩니다.

정의들

구간은 부분 집합의 두 숫자 사이에 있는 모든 실수를 포함하는 실수의 부분 집합입니다.

구간의 끝점은 최댓값이며, 실제 숫자로 존재할 경우 최솟값입니다.^[1]최솟값이 존재하지 않으면 해당 끝점은 -${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle \mathrm{.}}$${\displaystyle$ -$\infty.}$이라고 자주 말합니다. 마찬가지로 최댓값이 존재하지 않으면 해당 끝점은 +$$∞이라고 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle +\infty.}$

간격은 해당 끝점과 각 끝점이 간격에 속하는지 여부에 따라 완전히 결정됩니다.이는 실수의 최소 상한 속성의 결과입니다.이 특성화는 구간 표기법의 평균으로 구간을 지정하는 데 사용되며, 이는 아래에서 설명됩니다.

열린 간격에는 끝점이 포함되지 않으며 괄호로 표시됩니다.^[2]예를 들어, (0, 1) = {x 0 < x < 1}은 0보다 크고 1보다 작은 모든 실수의 간격입니다. (이 간격은 [0, 1[, 아래 참조]로도 표시할 수 있습니다.열린 구간 (0, + ∞)은 0보다 큰 실수, 즉 양의 실수로 구성됩니다.따라서 열린 간격은 형태 중 하나입니다.

$여기$서 ${\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}$는 $a$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$인 실수입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle a\leq b.}$ 첫 번째 경우에 $a$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$a=$b}$일 때 결과 구간은 빈 집합$$(${\displaystyle a,}$ a${\displaystyle )}$ = ∅ ${\displaystyle (a,a$)=\$varnothing}$이며$,$ 이는 퇴화 구간입니다(아래 참조).열린 구간은 실수의 일반적인 토폴로지에 대해 열린 집합인 구간입니다.

닫힌 구간은 모든 끝점을 포함하는 구간으로 대괄호로 표시됩니다.^[2]예를 들어 [0, 1]은 0보다 크거나 같거나 1보다 작거나 같은 것을 의미합니다.닫힌 구간은 $a$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle a\leq b:}$[$a,$ $b$ ]$$=$${ $x$ ∈ $R$: $a$ $\le$ $x$ $\le$ $b\}$ [a$b]$ =\{x$\in \mathbb$ {$R} \$colon$a\leq x\leq b\}$ 닫힌 구간은 실수의 일반적인 위상에 대해 닫힌 집합인 구간입니다.빈 집합과 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은$($는) 열린 간격과 닫힌 간격뿐입니다.

반열림 간격에는 두 개의 끝점이 있으며 하나의 끝점만 포함됩니다.제외된 끝점이 왼쪽인지 오른쪽인지에 따라 왼쪽 열림 또는 오른쪽 열림이라고 합니다.이 간격은 열린 간격과 닫힌 간격에 대한 표기를 혼합하여 표시합니다.^[3]예를 들어, (0, 1)은 0보다 크고 1보다 작음을 의미하는 반면, [0, 1]은 0보다 크거나 같음과 1보다 작음을 의미합니다.반이 열린 간격은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

모든 닫힌 구간은 실제 선의 닫힌 집합이지만 닫힌 집합인 구간이 닫힌 구간일 필요는 없습니다.예를 들어, 구간$$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle \mathrm{,}}$ ${\displaystyle b}$]$${\$displaystyle (-\infty, b]}$ 및$$[${\displaystyle a,}$ +${\displaystyle }$∞${\displaystyle )}$ ${\displaystyle [$a, $+\infty )}$도 실제 선에서 닫힌 집합입니다.간격$({\displaystyle a,b]}$ ${\displaystyle(a,b)}$ 및$$${\displaystyle }$[${\displaystyle a,b]}$ ${\displaystyle[a,b)}$이(가) 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아닙니다.닫힌 측의 끝점을 무한대(예: (0, + ∞)로 허용하면 결과는 실수의 부분 집합도 아니기 때문에 구간이 되지 않습니다.대신, 결과는 확장 실수선에서의 간격으로 볼 수 있으며, 예를 들어 측도 이론에서 발생합니다.

요약하면, 실제 숫자의 집합은 열린 구간, 닫힌 구간 또는 반 열린 구간인 경우에만 구간입니다.^[4][5]

퇴화 간격은 단일 실수(즉, [a, a]^[6] 형태의 간격)로 구성된 집합입니다.일부 작성자는 빈 집합을 이 정의에 포함합니다.비어 있지도 않고 퇴화되지도 않은 실수 구간은 적합하다고 하며, 무한히 많은 원소를 가지고 있습니다.

구간은 모든 원소보다 작거나 큰 실수가 있을 경우 왼쪽 경계 또는 오른쪽 경계라고 합니다.구간은 왼쪽과 오른쪽이 모두 경계이면 경계가 있다고 하고, 그렇지 않으면 경계가 없다고 합니다.한쪽 끝에서만 경계가 설정된 구간은 반 경계가 설정되어 있습니다.빈 집합은 경계가 있고 모든 실수 집합은 양 끝에서 경계가 없는 유일한 구간입니다.유계 구간은 일반적으로 유한 구간이라고도 합니다.

유계 구간은 지름(끝점 사이의 절대 차이와 동일)이 유한하다는 의미에서 유계 집합입니다.지름은 간격의 길이, 너비, 측정, 범위 또는 크기라고 할 수 있습니다.경계가 없는 구간의 크기는 일반적으로 + ∞로 정의되며, 빈 구간의 크기는 0(또는 정의되지 않은 상태로 유지됨)으로 정의될 수 있습니다.

끝점 a와 b가 있는 유계 구간의 중심(중간점)은 (a + b)/2이고 반지름은 a - b /2입니다.이러한 개념은 비어 있거나 경계가 없는 구간에 대해 정의되지 않습니다.

구간은 최소값(다른 모든 원소보다 작은 원소)을 포함하지 않는 경우에만 왼쪽 열림, 최대값을 포함하지 않는 경우에는 오른쪽 열림, 둘 다 포함하지 않는 경우에는 열림이라고 합니다.예를 들어 구간 [0, 1] = {x 0 ≤ x < 1}은(는) 좌-닫힘 및 우-열림입니다.빈 집합과 모든 실수의 집합은 열린 구간과 닫힌 구간 모두인 반면, 음이 아닌 실수의 집합은 오른쪽으로 열리지만 왼쪽으로 열리지 않는 닫힌 구간입니다.열린 간격은 표준 토폴로지에서 실제 선의 열린 집합이며 열린 집합의 밑부분을 형성합니다.

간격은 최소 요소가 있거나 왼쪽 경계가 없는 경우 왼쪽 경계가 닫혀 있거나, 최대값이 있거나 오른쪽 경계가 없는 경우 오른쪽 경계가 닫혀 있으면 왼쪽 경계가 닫혀 있고, 왼쪽 경계가 왼쪽 경계와 오른쪽 경계가 모두 닫혀 있으면 단순히 닫혀 있습니다.따라서 닫힌 구간은 해당 토폴로지의 닫힌 집합과 일치합니다.

구간 I의 내부는 I에 포함된 가장 큰 열린 구간이며, I의 끝점이 아닌 I의 점들의 집합이기도 합니다.I의 폐쇄는 I를 포함하는 가장 작은 폐쇄 구간이며, 이는 또한 I가 유한한 끝점으로 증강된 집합입니다.

실수 X 집합에 대해 X의 간격 인클로저 또는 간격 범위는 X를 포함하는 고유 간격이며 X를 포함하는 다른 간격을 적절하게 포함하지 않습니다.

구간 I는 구간 J의 부분집합이면 구간 J의 부분집합입니다. 구간 I는 J의 부분집합이면 구간 I는 J의 부분집합 I는 J의 부분집합이면 J의 부분집합입니다.

충돌하는 용어에 대한 참고 사항

세그먼트(segment)와 인터벌(interval)이라는 용어는 본질적으로 반대되는 두 가지 방식으로 문헌에 사용되어 왔으며, 이러한 용어가 사용될 때 모호성이 발생합니다.수학^[7] 백과사전은 엔드포인트(즉, 열린 간격)와 세그먼트를 모두 제외하여 두 엔드포인트(즉, 닫힌 간격)를 포함하도록 정의하는 반면, 루딘의 수학적 분석^[8] 원리는 [a, b] 형식의 간격과 형식 (a, b) 세그먼트의 집합을 전체에 걸쳐 호출합니다.이러한 용어는 오래된 작업에서 나타나는 경향이 있습니다. 현대 텍스트는 엔드포인트가 포함되는지 여부에 관계없이 점점 더 기간 간격(열림, 닫힘 또는 반열림으로 자격이 부여됨)을 선호합니다.

간격 표기법

a와 b를 포함하여 a와 b 사이의 숫자의 간격은 [a, b]로 표시됩니다.두 숫자를 간격의 끝점이라고 합니다.10진수 쉼표로 숫자를 쓰는 국가에서는 모호함을 피하기 위해 세미콜론을 구분자로 사용할 수 있습니다.

끝점 포함 또는 제외

끝점 중 하나를 집합에서 제외함을 나타내기 위해 해당 사각형 괄호를 괄호로 바꾸거나 반대로 바꿀 수 있습니다.두 표기법 모두 국제 표준 ISO 31-11에 설명되어 있습니다.따라서 집합 빌더 표기법에서는

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]},a,b{\mathopen {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\[5mu][a,b]={\mathopen {[},b]\mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\[5mu](a,b]={\mathopen {]},a,b{\mathopen {]}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\[5mu]={\mathopen {[}a,b],b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}$

각 구간(a, a), [a, a] 및 (a, a)는 빈 집합을 나타내고 [a, a]는 싱글톤 집합 {a}을 나타냅니다.a > b일 때, 일반적으로 4개의 표기법 모두 빈 집합을 나타냅니다.

두 표기법 모두 수학에서 괄호와 괄호를 사용하는 다른 용도와 겹칠 수 있습니다.예를 들어, (a, b)라는 표기는 집합론에서 순서쌍, 분석기하학 및 선형대수학에서 점 또는 벡터의 좌표, 대수학에서 복소수를 나타내는 데 종종 사용됩니다.그렇기 때문에 부르바키는 열린 간격을 나타내기 위해 a, b[라는 표기법을 도입했습니다.^[9][a, b]라는 표기도 때때로 순서쌍, 특히 컴퓨터 과학에서 사용됩니다.

Yves Tillé와 같은 일부 저자들은 구간 (a, b)의 여집합, 즉 a보다 작거나 같거나 b보다 크거나 같은 모든 실수의 집합을 표시하기 위해 a, b[를 사용합니다.

무한대 엔드포인트

일부 컨텍스트에서 구간은 - ∞ 및 + ∞로 증강된 모든 실수의 집합인 확장 실수의 부분 집합으로 정의될 수 있습니다.

이러한 해석에서 표기 [-∞, b], (-∞, b), [a, +∞], [a, +∞], [a, +∞]는 모두 의미 있고 구별됩니다.특히, [-∞, +∞]는 모든 보통 실수의 집합을 나타내고, [-∞, +∞]는 확장 실수를 나타냅니다.

일반적인 실제 상황에서도 무한한 끝점을 사용하여 해당 방향에 경계가 없음을 나타낼 수 있습니다.예를 들어, (0, + ∞)은 $양$의 실수들의 집합이며$,$R$$+ {\$displaystyle$ \$mathbb {$R} _${+}$라고도 씁니다$.$문맥은 위의 정의와 용어의 일부에 영향을 미칩니다.예를 들어, 구간 (-∞, +∞) = $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$은(는) 일반 현실 영역에서는 닫히지만 확장 현실 영역에서는 닫히지 않습니다.

정수 구간

a와 b가 정수일 때 ⟦a, b ⟧ 또는 [a .. b] 또는 {a .. b} 또는 그냥 a .. b라는 표기는 때때로 포함된 a와 b 사이의 모든 정수의 간격을 나타내는 데 사용됩니다.[a.. b]라는 표기는 일부 프로그래밍 언어에서 사용됩니다. 예를 들어 파스칼에서는 하위 범위 유형을 공식적으로 정의하는 데 사용되며, 배열의 유효한 인덱스의 하한과 상한을 지정하는 데 가장 많이 사용됩니다.

정수 구간을 해석하는 또 다른 방법은 타원 표기법을 사용하여 열거에 의해 정의된 집합입니다.

하한 또는 상한 끝점이 유한한 정수 구간에는 항상 해당 끝점이 포함됩니다.따라서 끝점 제외는 a .. b - 1, a + 1 .. b 또는 a + 1 .. b - 1로 명시적으로 나타낼 수 있습니다.[a .... b] 또는 [a .... b]와 같은 대체 대괄호 표기법은 정수 구간에서는 거의 사용되지 않습니다.^{[citation needed]}

특성.

구간은 정확히 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 연결된 부분 집합입니다$.$ R ${\$에서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$까지의 연속 함수에 의한 구간의 영상도 구간입니다$$.이것은 중간값 정리의 하나의 공식입니다.

구간은 $또한$ R ${\displaystyle \mathbb {R}}$의 볼록 부분 집합입니다$.$ 부분 집합 $X$ ⊆ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R}}$의 구간 인클로저도 $X$ ${\displaystyle X}$의 볼록 선체입니다$.$

구간 폐쇄는 구간과 해당 유한 끝점 집합의 결합이므로 구간이기도 합니다.(후자는 위상 공간의 모든 연결된 부분 집합의 폐쇄가 연결된 부분 집합이라는 사실로부터도 따랐습니다.)다른 말로 하자면^[10], 우리는

${\displaystyle \operatorname {cl}(a,b)=\operatorname {cl}(a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operator name {cl} (a,+\infty )=\operator name {cl} [a,+\infty )= [a,+\infty ],}$

${\displaystyle \operatorname {cl}(-\infty,a)=\operatorname {cl}(-\infty,a]=(-\infty,a),}$

${\displaystyle \operatorname {cl}(-\infty,+\infty )=(-\infty,\infty )}$

구간 집합의 교집합은 항상 구간입니다.두 구간의 합은 교점이 비어 있지 않거나 한 구간의 열린 끝점이 다른 구간의 닫힌 끝점인 경우에만 해당하는 구간입니다(예$:$(${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b)}$ ∪ ${\displaystyle [b,}$ ${\displaystyle c}$]${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c]}$ ${\displaystyle$(a$,b)\$cup [$b,c$]=(a$,c]).$

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 메트릭 공간으로 본다면$$ 열린 공은 열린 경계 구간(c + r, c - r)이고 닫힌 공은 닫힌 경계 구간 [c + r, c - r]입니다.특히 실제 선의 메트릭 위상과 순서 위상이 일치하며, 이는 실제 선의 표준 위상입니다.

구간 I의 임의의 원소 x는 I의 분할을 세 개의 서로소인 구간 I, I, I: 각각 x보다 작은 I의 원소, 싱글톤$$[${\displaystyle x,}$ x${\displaystyle ]}$ =${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle [x,x$] =\{$x\},$x보다 큰 원소.x가 I의 내부에 있는 경우에만, 나와₁ 나의₃ 부분은 모두 비어 있지 않습니다(그리고 비어 있지 않은 내부를 가지고 있습니다).이것은 삼절개 원리의 간격 버전입니다.

여변구간

디아딕 구간은 끝점이 $\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{n^{}}{}$ ${\$이고 $j\frac{}{}$+ $\frac{{12}^{}}{}$ $\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$ ${\$인 유계 실제 구간입니다$.$ 여기서 $j$ ${\textstyle j}$ 및 $n$ ${\textstyle n}$은 정수입니다$$.상황에 따라 엔드포인트가 간격에 포함될 수도 있고 포함되지 않을 수도 있습니다.

다이나믹 구간은 다음과 같은 속성을 갖습니다.

• 디아딕 구간의 길이는 항상 2의 정수 거듭제곱입니다.
• 각 다이애딕 구간은 길이의 두 배인 정확히 하나의 다이애딕 구간에 포함됩니다.
• 각 다이애딕 구간은 절반 길이의 두 다이애딕 구간으로 확장됩니다.
• 열려 있는 두 이항 구간이 겹치면 그 중 하나가 다른 구간의 부분 집합이 됩니다.

결과적으로 다이애딕 구간은 무한 이진 트리의 구조를 반영합니다.

다이애딕 간격은 적응형 메쉬 정교화, 다중 그리드 방법 및 웨이블릿 분석을 포함한 수치 분석의 여러 영역과 관련이 있습니다.이러한 구조를 나타내는 또 다른 방법은 p-adic 분석입니다(p = 2의 경우).

일반화

볼스

열린 유한 간격$({\displaystyle a,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(a,b)}$은 중심이 ${\displaystyle \frac{12}{}(a}$+ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a$+ $b)}$이고 반지름이 ${\displaystyle \frac{12}{}(b}$ -${\displaystyle }$a${\displaystyle )}$인 1차원 열린 공입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b$ - a$).$$}$닫힌$$ 유한 구간${\displaystyle }$[${\displaystyle a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$은 해당하는 닫힌 공이며, 구간의 두 끝점${\displaystyle }${${\displaystyle a,b}$}${\displaystyle \{a,b\}$은(는) 0차원 구를 형성합니다$$.$n$ ${\displaystyle$ n$}-차원$ 유클리드 공간으로 일반화된 공은 중심으로부터 거리가 반지름보다 작은 점들의 집합입니다.2차원의 경우, 공은 원반이라고 불립니다.

반공간을 (정중점이나 반지름이 잘 정의되지 않은) 축퇴 공의 일종으로 간주하면, 반공간은 반 경계 간격과 유사하게 간주될 수 있으며, 경계면은 유한 끝점에 해당하는 (축퇴) 구와 같습니다.

다차원간격

유한 간격은 1차원의 초직각입니다.실제 좌표 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}$^{$n}}$ 축$$ 정렬 초직각(또는 상자)은 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$ 유한 간격의 데카르트 곱입니다.$n$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$n=$2}$의$$경우 직사각형이고 $n$ = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$n=$3$의 경우 직사각형 직육면체입니다("상자"라고도 함).

$임의$의 n개의$${\$displaystyle n}$ 구간의 데카르트 곱인 $열린$ 끝점, 닫힌 끝점 및 무한 끝점의 혼합을 허용하면 ${\displaystyle$n}에서 I = ${\displaystyle {}_{}}$ $1$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$× ⋯${\displaystyle }$× ${\displaystyle {}_{}}$ \$times I_{2}\times I_{n$}\times \$cdots \times$ I_{n$}$을$($를) {\displaystyle $n}$차원 구간이라고 부르기도 합니다.

이러한 구간 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 한 면은 Ik {\displaystyle $I_{$}의 유한 끝점으로 구성된 축퇴 구간 $Ik$ ${\$$k}$을(를) 대체한 결과입니다$.$$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 면은 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 자체와$$ 해당 면의 모든 면으로 구성됩니다$$.$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 모서리는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{n}}$의 한 점으로 구성된 면입니다$$.

볼록다포체

임의의 유한 구간은 (실제 선 전체를 의미하는 빈 교차점이 있는) 반 경계 구간의 교차점으로 구성될 수 있으며, 임의의 수의 반 경계 구간의 교차점은 (아마도) 빈 구간입니다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 아핀 공간으로 일반화하면, (임의 방향의) 반공간의 교차점은 볼록 다포체 또는 2차원의 경우 볼록 다각형입니다.

도메인

열린 간격은 실제 숫자들의 연결된 열린 집합입니다.일반적으로 위상 공간에 일반화되어 비어 있지 않은 연결된 열린 집합을 도메인이라고 합니다.

복소간격

복소수 구간은 복소수 평면의 영역(직사각 또는 원형)으로 정의할 수 있습니다.^[12]

포셋 및 미리 정렬된 집합의 간격

정의들

구간의 개념은 임의의 부분 순서 집합 또는 보다 일반적으로 임의의 선 순서 집합에서 정의될 수 있습니다.미리 정렬된 집합$({\displaystyle X,}$≲${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(X,\lesssim)}$과 ${\displaystyle 두}$ 요소 $a{\displaystyle ,}$ b ∈ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a,b\in$ X$,}$에 대해 하나는 유사하게 간격을 정의합니다.

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colona <x\less simb\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colona\less sim x<b\}}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a <x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\less sim x\}}$

${\displaystyle(-\infty,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle(-\infty,b)=\{x\in X\colon x\less simb\}}$

${\displaystyle(-\infty,\infty)=X,}$

여기서 < ${\displaystyle x<y}$는 $x$ ≲${\displaystyle y}$ ≴ x ${\displaystyle x\lesssimy\not \lesssimx}$를 의미합니다$.$ 실제로, 단일 엔드포인트가 있거나 없는 간격은 더 큰 사전 순서 집합에서 두 엔드포인트가 있는 간격과 동일합니다.

${\display style {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty,\infty \}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\모든 x\in X)}$

$X$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합인 새로운 가장 작은 원소와 가장 큰 원소를 추가하여 정의됩니다$.$ $X$ = ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$X =\$mathbb {R}}$의 경우,$$$R$ ¯ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R}}을($를) 확장 실수선으로 할 수 있습니다.

순서 이론에서 볼록 집합 및 볼록 성분

사전순서 집합${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$${\displaystyle }$∈${\displaystyle )}$ {\$displaystyle$ A$\$$subseteq X}$의 부분 집합 X$$${\displaystyle (X,\lesssim )}$는 $모든$ x${\displaystyle ,}$ y ≲ ${\displaystyle A}${\$displaystyle$ x$,y\in$ A$}$에 대하여, 그리고 $모든$ x ≲ ${\displaystyle z}$ ∈ ${\displaystyle y}${\$displaystyle$x\$lesssim$ z$\lesssim$ y$}$에 대하여 z ⊆ ${\displaystyle A}${\$displaystyle z\in$A}가 있다면, (차수-)볼록입니다$.$ 실제 선의 경우와 달리,미리 정렬된 집합의 볼록 집합은 구간일 필요가 없습니다.예를 들어, 유리수의 전체$$ 순서 집합 $({\displaystyle Q\mathbb{},}$ ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (\mathbb {Q},\leq )}$에서 집합은

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}$

는 볼록하지만 $Q$에 2의 제곱근이 없으므로 Q$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q},}$의 구간이 아닙니다.${\displaystyle \mathbb {Q}$.

$({\displaystyle X}$,${\displaystyle }$≲${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X,\lesssim)}$을(를) 미리 정렬된 집합이라고 하고 ${\displaystyle Y}$ ⊆ X ${\displaystyle Y\subseteq X}$라고 합니다$.$ $Y$ ${\displaystyle Y}$에 포함된 $X$ ${\displaystyle X}$의 볼록 집합은 포함된 포셋을 형성합니다.이 집합의 최대 원소를 Y ${\displaystyle$ Y$}$의 볼록 성분이라고 합니다$.$^{[14]: Definition 5.1 [15]: 727} 조른 보조정리에 의해, $Y{\displaystyle }${\$displaystyle Y}$에 포함된$$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$의 볼록 $집합$은 Y$${\$displaystyle Y}$의 일부 볼록 성분에 포함되지만$,$ 이러한 성분은 유일할 필요는 없습니다.완전 순서 집합에서 이러한 구성 요소는 항상 고유합니다.즉, 전체 순서 집합의 부분 집합의 볼록 성분은 파티션을 형성합니다.

특성.

실제 구간의 특성을 일반화하면 다음과 같습니다.선형 연속체$({\displaystyle L,}$ ${\displaystyle \le )}$ ${\displaystyle(L,\leq)}$의 비어 있지 않은 부분 집합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 경우 다음 조건이 같습니다$.$^{[16]: 153, Theorem 24.1}

• 집합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 구간입니다.
• 집합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 순서 볼록입니다.
• $집합{\displaystyle }$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) L ${\displaystyle L}$에 순서 토폴로지가 부여되어 있을 때 연결된 부분 집합입니다$$.

격자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 경우 다음 조건이 같습니다$.$

• S $집합{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 하위 격자 및 (차수-) 볼록 집합입니다.
• ${\displaystyle \mathrm{이상적}}$인 ${\displaystyle I}$ ⊆ L ${\displaystyle I\subseteq L}$과 필터 $F$ ⊆ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F\subseteq L}$이 있으며, 이는 S = ${\displaystyle F}$∩ {\$displaystyle$S=$I\cap F}$와 같습니다$.$

적용들

일반위상학

모든 Tychonoff 공간은 닫힌 단위 간격[${\displaystyle 0,1]}$의 제품 공간에 내장 가능합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle[$$0,1$].$}$실제로 카디널리티 $κ$ ${\displaystyle \kappa}$의 기본이 되는 모든 Tychonoff 공간은 제품$$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$ 간격$$${\displaystyle$ \$kappa}$의 {\displaystyle $[0,1]^{\kappa$}$$$κ$에 내장 가능합니다.

볼록 집합과 볼록 성분의 개념은 순서 위상이 부여된 모든 완전 순서 집합이 완전히 정상이거나^[15], 더욱이 단조롭게 정상이라는 증명에 사용됩니다.^[14]

위상대수

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간격은 평면의 점과 연결될 수 있으므로 간격의 영역은 평면의 영역과 연결될 수 있습니다.일반적으로, 수학에서 구간은 자신과 실수의 직접 곱 R × R에서 가져온 순서 쌍 (x,y)에 해당하며, 여기서 종종 y > x라고 가정됩니다. 수학적 구조상 이 제한은 폐지되고 ^[18]y - x < 0이 허용되는 "역구간"이 허용됩니다.그런 다음 모든 구간 [x,y]의 집합은 R과 자신의 직접 합으로 구성된 위상 링으로 식별할 수 있으며, 여기서 덧셈과 곱셈은 성분 단위로 정의됩니다.

직접합 대수$({\displaystyle R}$ ⊕ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle +,}$×${\displaystyle }$) ${\displaystyle (R\oplus$ R$,+,\times )}$에는 두 가지 이상이 있습니다. {[x,0] : x ∈ R}과 {[0,y] : y ∈ R}입니다.이 대수의 항등식 요소는 응축 구간 [1,1]입니다.구간 [x,y]가 이상값 중 하나에 속하지 않으면 곱셈 역수 [1/x, 1/y]가 됩니다.일반적인 위상을 부여받은, 구간의 대수는 위상 고리를 형성합니다.이 링의 단위 그룹은 축 또는 이 경우의 이상에 의해 결정되는 4사분면으로 구성됩니다.이 그룹의 아이덴티티 구성요소는 사분면 I입니다.

각 구간은 중간점을 중심으로 대칭 구간으로 간주될 수 있습니다.1956년 M Warmus에 의해 발표된 재구성에서, "균형 간격"의 축 [x, -x]은 점으로 감소하는 간격 [x,x]와 함께 사용됩니다.직접합 $R$ ⊕ $R {\displaystyle$ R$\opplus R}$ 대신$,$ 구간의 고리가 M에 의해 분할 복소수 평면으로 식별되었습니다.워머스와 디. H. 레머는 신원확인을 통해

z = (x + y)/2 + j (x - y)/2입니다.

이러한 평면 선형 매핑은 고리 동형을 양으로 하여 극 분해와 같은 일반적인 복잡한 산술과 유사한 곱셈 구조를 평면에 제공합니다.

참고 항목

• 호(기하학)
• 부등식
• 구간 그래프
• 구간유한요소
• 구간(통계)
• 선분
• 구간구분
• 단위간격

참고문헌

서지학

• T. Sunaga, "구간 대수 이론과 수치 해석에 대한 적용" Wayback Machine, In: RAAG(Research Association of Applied Geometry) 회고록, 구주츠 분켄 후쿠이카이.동경, 일본, 1958, Vol. 2, pp. 29-46 (547-564); 일본 공업 및 응용수학 저널, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126-143에서 재인쇄.

외부 링크

• Brian Hayes의 루시드 인터벌: 미국 과학자 기사가 소개를 제공합니다.
• 간격 계산 웹사이트 웨이백 머신에서 2006-03-02 보관
• 간격계산연구소 Wayback Machine 2007-02-03 보관
• 조지 벡의 인터벌 표기법, 울프램 데모 프로젝트
• Weisstein, Eric W. "Interval". MathWorld.