합리적 정규 곡선

수학에서 합리적 정규 곡선은 투영적인 n-공간 P에서ⁿ 도 n의 부드럽고 합리적인 곡선 C이다.그것은 투사적인 다양성의 간단한 예다; 형식적으로는 도메인이 투사적인 선일 때 베로니스의 품종이다.n = 2의 경우 평면 원뿔 ZZ₀₂ = Z이고²
₁, n = 3의 경우 꼬인 입방체다."정상"이라는 용어는 정상적 계획이 아닌 투영적 정규성을 가리킨다.합리적인 정규 곡선과 아핀 공간이 교차하는 것을 모멘트 곡선이라고 한다.null

정의

합리적인 정규 곡선은 지도 이미지로서 파라메트릭적으로 주어질 수 있다.

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{n}}}}$

균일한 좌표[S : T]에 값을 할당한다.

$\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto \left[S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\cdots :T^{n}\right].}$

도표 x₀ ≠ 0의 부속 좌표에서 지도는 단순하다.

$\\displaystyle \nu :x\mapsto \left(x,x^{2},\ldots,x^{n}\right)}$

즉, 합리적인 정규 곡선은 아핀 곡선의 무한대에서 단일 점으로 마감되는 것이다.

${\displaystyle \left(x,x^{2},\ldots,x^{n}\right).}$

동등하게, 합리적인 정규 곡선은 동종 다항식의 공통 영점(zero locus)으로 정의되는 투영적 다양성으로 이해될 수 있다.

${\displaystyle F_{i,j}\left(X_{0},\ldots,X_{n}\right)=X_{i}X_{j}-X_{i+1}X_{j-1}X_{j-1}X_{j-1}X_{j-1}}}.$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \cdots }$: ${\displaystyle X_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [X_{0}:\cdots :X_{n}}}}$은(는) P의ⁿ 동종 좌표다$$.이러한 다항식의 전체 집합은 필요하지 않다. 이 중 n개를 선택하여 곡선을 지정하면 충분하다.null

대체 매개 변수화

P에서¹${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle b_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}}}$을(를) n + 1 구별되는 점이 되도록$$ 한다.그러면 다항식

${\displaystyle G(S,T)=\prod _{i=0}^{n}\left(a_{i}S-b_{i})T\right)}$

고유한 루트를 갖는 도 n + 1의 동종 다항식이다.다항식

${\displaystyle H_{i}(S,T)={\frac {G(S,T)}{{a_{i}S-b_{i}T}}}}}}}}$

그 후 동종 다항식의 공간 n의 기초가 된다.지도

$\\displaystyle [S:T]\mapsto \left[왼쪽]H_{0}(S,T):H_{1}(S,T):\cdots :H_{n}(S,T)\오른쪽]}$

또는 동등하게 G(S, T)로 나눈다.

${\displaystyle [S:T]\mapsto \left[{\frac {1}{1}{{0}S-b_{0}T)}}}:\cdots :{\frac {1}{1}{a_{n}S-b_{n}T)}\rig]}$

이성적인 정규 곡선이다.이것이 이성적인 정규 곡선이라는 것은 단수들을 주목함으로써 이해될 수 있다.

${\displaystyle S^{n},S^{n-1}T,S^{n-2}T^{2},\cdots ,T^{n}}$

동종 다항식의 공간에 대한 하나의 가능한 기준일 뿐이다.사실 어떤 근거라도 좋다.이것은 두 가지 투영 품종이 투영 선형 그룹 PGL_{n + 1}(K)에 합치되는 경우(투영 공간이 정의되는 필드 K와 함께)라는 문구를 적용한 것에 불과하다.null

이 합리적 곡선은 G의 0을 P의ⁿ 각 좌표점으로 보낸다. 즉, G의 0에 대해 H의_i 하나만을 제외하고 모두 소멸된다. 반대로, n + 1 좌표점을 통과하는 모든 합리적 정규 곡선은 이러한 방식으로 파라메트릭적으로 작성될 수 있다.null

특성.

합리적인 정규 곡선은 다음과 같은 좋은 특성을 가지고 있다.

• C에 있는 n + 1 포인트는 선형적으로 독립적이며, 범위 P이다ⁿ.이 특성은 합리적인 정규 곡선과 다른 모든 곡선을 구분한다.
• 선형 일반 위치(즉, 하이퍼플레인 안에 n + 1이 놓여 있지 않은 상태)에서ⁿ p에 n + 3점을 부여하면 이들을 통과하는 독특한 합리적 정규 곡선이 있다.좌표 축에 놓일 점의 n + 1을 배열한 후 나머지 두 점을 [S : T] = [0 : 1]과 [S : T] = [1 : T] = [1 : 0]에 매핑하여 파라메트릭 표현을 사용하여 곡선을 명시적으로 지정할 수 있다.
• 합리적인 정규 곡선의 접선과 이차 선은 곡선 자체의 점을 제외하고 쌍으로 분리된 것이다.이것은 모든 프로젝트적 다양성의 충분히 긍정적인 임베딩에 의해 공유되는 재산이다.
• 있다

${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}-2n-1}$

곡선의 이상을 생성하는 독립 사분위수

• n > 2에 대한 곡선은 완전한 교차점이 아니다.즉, P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 곡선의 코드인 n - 1 방정식으로 (투영 공간의 하위 집합으로) 정의할 수 없다$.$
• 초경량 곡선의 표준적 매핑은 합리적인 정규 곡선을 가지고 있으며, 2대 1이다.
• 모든 수정 불가능한 비감소 곡선 C ⊂ n 도 P는ⁿ 합리적인 정규 곡선이다.

참고 항목

• 합리적 일반 스크롤

참조

• 조 해리스, 대수학 기하학, A 퍼스트 코스, (1992) 스프링거-베를라크, 뉴욕.null ISBN0-387-97716-3