분배재산

수학에서, 이항 연산의 분배 특성은 분배 법칙을 일반화하는데, 이것은 평등하다고 주장한다.

초등 대수학에서는 항상 진실이다. 예를 들어, 기초 산술에서는 어떤 사람은 곱셈이 덧셈보다 더 많이 분포한다고 말한다.

숫자의 이 기본 속성은 복잡한 숫자, 다항식, 행렬, 고리, 필드 등 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산을 갖는 대부분의 대수적 구조의 정의의 일부다. 또한 부울 대수학 및 수학적 논리학에서도 접하게 되는데, 논리학 및 논리학(표시가 된 {${\$$land$ $\backslash ,\})$ 각각이 다른 논리 또는 (표시가${\displaystyle }$된 $\$ {\$displaystyle$\,\lor$\backslash \})$에 걸쳐 분포한다.

정의

$S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$ $세트$와 2개의 이진 연산자 ${\displaystyle \ast }$ ${\$ 및${\displaystyle }$+ ${\$ s$$$$ , ${\displaystyle S,}$

$▼{\$ 작업은${\displaystyle }$(또는 이와 관련하여)${\displaystyle }$+ ${\$ 만일 $x{\displaystyle ,}$ y${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,y,{\text{},}$의 $요소$가 주어진 경우$$, ${\displaystystyle$ S$,}$

${\displaystyle \ast }$ ${\$ 작업은 s ,${\$displaystyle S$,$ {\$displaystyle S,}$의 $,$ ${\displaystyle y}$ 및 z {\$displaystyle x,y,{\text{}, }z}$ 요소가 주어진 경우$$${\displaystyle }$+ ${\$ \,+\}에 대해 우측 분산됨$$ 그리고 ${\displaystyle ▼}$ ${\$ 작업은${\displaystyle }$+ ${\$좌우$$/우/우/좌/우/좌/우/좌/좌/우/좌/우/좌/좌/좌/좌/^[1]좌/좌/우)

${\displaystyle \ast }$ ${\$이(가) 상기의 세 조건은 논리적으로 동일하다.

의미

이 절의 예제에 사용되는 연산자는 일반적인 덧셈${\displaystyle }$+ ${\$ 및$$ 곱셈${\displaystyle }$multi. ${\$의 연산자다.

$\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$이(가) 동일하지 않다고$$ 표시된 작업은 좌분산성과 우분산성의 구분이 있다.

어느 경우든 분배속성은 다음과 같이 말로 설명할 수 있다.

합(또는 차이)을 인자에 곱하기 위해, 각 합계(또는 미니언드 및 하위 분석)에 이 인자를 곱하고 결과물을 더(또는 빼기)한다.

괄호 밖의 연산(이 경우, 곱셈)이 일치한다면, 좌분산성은 우분산성을 의미하고 그 반대도 의미하며, 한 가지는 단순히 분배성을 의미한다.

"유일한" 우분배(right-distribution) 운영의 한 예는 분업(division)이며, 이는 상쇄적이지 않다.

이 경우 좌분배율은 다음과 같이 적용되지 않는다.

분배 법칙은 고리(정수의 고리처럼)와 필드(합리적인 수의 영역처럼)에 대한 공리 중 하나이다. 여기서 곱셈은 덧셈보다 분배적이지만 덧셈은 곱셈보다 분배되지 않는다. 각각 다른 하나에 대해 분포하는 두 개의 연산을 가진 구조물의 예로는 집합의 대수나 스위칭 대수 같은 부울 알헤브라가 있다.

곱하기 합계는 다음과 같이 단어로 표현할 수 있다. 합에 합을 곱하면, 합계의 각 합에 다른 합을 곱한 다음(표지의 트랙을 유지) 결과물을 모두 합한다.

예

실수

다음의 예에서는, $실수{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathb$ {R$}}$의 집합에 대한 분배 법칙의 사용이 예시되어$$ 있다. 초등수학에서 곱셈이 언급될 때는 대개 이런 곱셈을 가리킨다. 대수학의 관점에서 보면, 실수는 분야를 형성하여 분배법의 타당성을 보장한다.

First example (mental and written multiplication)

정신적 산술 중 분배성은 무의식적으로 사용되는 경우가 많다.

$${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$

따라서 머릿속에$$ $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ $[\displaystyle 6\cdot 16}$을(를) 계산하려면 먼저 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ $[\displaystyle 6\cdot 10}$과 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ $[\displaysty 6\cdot 6}$을 곱하고 중간$$ 결과를 추가한다. 서면 곱셈은 또한 분배법에 근거한다.

Second example (with variables)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}:$$

Third example (with two sums)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

여기서는 분배법이 두 번 적용되었고, 어떤 계층을 먼저 곱하는지는 중요하지 않다.

Fourth example

여기서 분배법은 앞의 예와 비교하여 반대로 적용된다. 고려하다

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,}$$

인자 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 $[\displaystyle 6a^{2}b}$는 모든 요약에서 발생하므로$$, 인자를 인수할 수 있다. 즉, 분배법칙에 의하여 얻어진 것이다.

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}c^{2a^{2}=6a^{2}b\좌측(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}c^{2}\우측)}$$

행렬

분배법은 매트릭스 곱셈에 유효하다. 더 정확히 말하자면

모든 l ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l\times$m} $-매트릭스$ A$,$ $,$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times$ n} $-매트릭스$ C${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ C$,}$에 대해 모든 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l\time m}$ $-매트릭스$ A ${\displaystyle A}$ $및$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ $m{\displaystyle }$$\times n}$ -매트릭스$$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B, C.}$에 대해, 역법칙은 매트릭스 곱셈을 포함하지 않기 때문에$$ 제1법부터 따르지 않는다. 이 경우에, 그들은 서로 다른 두 개의 법칙이다.

기타 예

• 이와는 대조적으로 서수수의 곱셈은 좌분배일 뿐 우분배가 아니다.
• 교차 제품은 벡터 덧셈보다 좌, 우로 나누어져 있지만, 역방향은 아니다.
• 집합의 결합은 교차점에 대한 분배이고 교차점은 결합에 대한 분배다.
• 논리적 분리("또는")는 논리적 결합("및")에 대한 분배이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.
• 실수(및 완전히 주문된 집합)의 경우, 최대 운영은 최소 운영보다 분배되며, 그 반대의 경우도 다음과 같다.
  $${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c)\max(a,c)\text{ 및 }\max(b,c)=\max(a,b),\min(a,c)}$$

  
• 정수의 경우 가장 큰 공통점수는 최소공수 배수에 대한 분포이며 그 반대의 경우도 다음과 같다.
  $${\displaystyle \gcd(a,\displayname {lcm})(b,c)=\gcdname {lcm}(\gcd(a,b),\gcd(a,c)\cd(a,c)\properties {\text{ 및 }\properties \cdname {lcm}(a,\gc)=\gcd(\bmname {lcm})(a,b),\bmname {lcm}(a,c)}$$

  
• 실제 숫자의 경우, 추가는 최대 작동과 최소 작동에 걸쳐 분포한다.
  $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\max(a+b,a+c)\disput a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c)}$$

  
• 이항 곱셈을 위해, 유통은 때때로 그 FOIL Method[2](첫번째 조건들은 c,{\displaystyle ac,}우주를 d,{\displaystylead,}안에 있는 bc,{\displaystyle bc,}과 지난 bd{\displaystyle bd})로(a+b)⋅(댁+d)과 같은)로 c+는 d+b댁+bd.{\displaystyle(a+b)\cdot(c+d 언급된다.)=a$c+ad+bc+bd.$$}$
• 복잡한 숫자, 쿼터니온, 다항식, 행렬을 포함한 모든 의미에서는 곱셈이 $u{\displaystyle }$(${\displaystyle v}$+ ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$+ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$,${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$+ v${\displaystyle }$) ${\displaystyle w}$= u${\displaystyle }$+ w = ${\displaystyle u}$ + w${\displaystyle .}$ ${\displaysty$$u(v+w)=uv=uw+vw.$$}$
• 옥토니언과 다른 비 연관성 알헤브라를 포함한 한 들판 위의 모든 알헤브라스에서는 덧셈에 따라 곱셈이 분배된다.

명제 논리학

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

교체규칙

표준 진리 기능 명제 논리학에서, 논리 증명에서의^[3][4] 분포는 특정 논리 결합체의 개별적인 발생을 특정 공식 내에서 주어진 공식의 보조양식에 걸쳐 그러한 결합체의 개별적 적용으로 확장하기 위해 두 가지 유효한 대체 규칙을 사용한다. 규칙은

여기서 $"[\displaystyle \Leftrightarrow },$ 또한 ${\displaystyle \equiv ,}$ ${\$은(는) "증명서로 대체될 수 있음" 또는 "논리적으로 동일함"을 나타내는 금속 논법학 기호다$$.

트루 기능성 커넥티브

분배성은 진실-기능적 명제적 논리의 일부 논리적 연계성의 속성이다. 다음의 논리적 동등성은 분배성이 특정 결합체의 속성임을 증명한다. 다음은 진리 기능 tautology이다.

이중분배

분배율 및 반올림

부동 소수점 산술과 같은 근사 산술에서는 산술 정밀도의 한계 때문에 덧셈보다 곱하기(및 나누기)의 분포 속성이 실패할 수 있다. 예를 들어 ID $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$+ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 3}$+ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 3}$=${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 1}$) / ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle$1/$3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$은(는) 유의미한 자릿수에 관계없이 소수 산술에서 실패한다$$. 은행가의 라운딩과 같은 방법은 사용하는 정밀도를 높일 수 있기 때문에 경우에 따라 도움이 될 수 있지만, 궁극적으로 일부 계산 오류는 불가피하다.

링 및 기타 구조물

유통성은 반감에서 가장 흔하게 발견되는데, 특히 고리 및 분배 격자의 특정한 경우에서 특히 그러하다.

세밀링에는 일반적으로${\displaystyle }$+ ${\$ 및$$ ${\displaystyle \ast ,}$ ${\displaystyle \,*,}$이라는 두 개의 이진 연산이 있으며, 따라서$$${\displaystyle }${$${\$displaystyle \,*\}$은${\displaystyle (}$는) +${\displaystyle }$. ${\displaystystyle \,+}$에 걸쳐 분산되어야 한다$$.

반지는 덧셈이 있는 반지를 말한다.

격자는 두 개의 이진 연산을 가진 또 ${\displaystyle \text{다른}}$ $종류$의 대수 구조로,$$과 ${\displaystyle \vee .}$ {\$displaystyle \,\land {\text{$ 및$}}$이(가) 다른 연산(예$$: ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \,\land$$$$\})$에 분산되면, 그 반대도 유지된다($$ ( ${\$).$tyle \,\$$lor$ $\}$은(는$)$ $$${\displaystyle \wedge }$에 걸쳐$$ 분포하며, 격자를 분배라고 한다. 분배성(순서 이론)도 참조하십시오.

부울 대수는 특별한 종류의 고리(부울 고리) 또는 특별한 종류의 분배 격자(부울 격자)로 해석될 수 있다. 각각의 해석은 부울대수에서 다른 분배 법칙에 대한 책임이 있다.

분배법이 없는 유사한 구조물은 링과 디비전 링 대신 근거리와 근거리장이다. 운영은 보통 오른쪽은 분배로 정의되지만 왼쪽은 아니다.

일반화

몇 가지 수학적 영역에서는 일반화된 분배성 법칙이 고려된다. 여기에는 상기 조건의 약화 또는 비위생적인 운영으로의 확장이 포함될 수 있다. 특히 순서 이론에서는 무한 분배 법칙과 같은 비위생적인 운영이 포함된 많은 중요한 분배성 변형을 발견한다. 다른 것들은 정의에 따른 정의와 그들의 관계가 조항 분배성(질서 이론)에 제시되어 있다. 이것은 또한 완전한 분배 격자의 개념을 포함한다.

주문 관계가 있는 경우${\displaystyle ,}$ equal {\$displaystyle \,=\}$을(를) ${\displaystyle \le }$ ${\$ 또는 $≥.$ {\$displaystyle$\,\$geq .}$로 대체함으로써 위의 동일성을 약화시킬 수도 있다. 당연히$$, 이는 일부 상황에서만 의미 있는 개념으로 이어질 것이다. 이 원칙의 적용은 인터벌 산술에 관한 기사에서 설명한 하위분산성의 개념이다.

In category theory, if ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ and ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ are monads on a category ${\displaystyle C,}$ a distributive law ${\displaystyle S.$$S^{\premy }\to S^{\premy }.$$S}$은 자연 변형 $\lambda {\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}.}$ S ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}${. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda :S.$$S^{\premy }\to S^{\premy }.$$S}$ such that ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ is a lax map of monads ${\displaystyle S\to S}$ and ${\displaystyle (S,\lambda )}$ is a colax map of monads ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ This is exactly the data needed to define a monad $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ S$^{\prime }$에 있는 구조.$S}$: 곱셈맵은 $S{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$μ ${\displaystyle {}^{}}$μ μ μ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}\mu }$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{\prime }\mu ^{\$prime }\mu ^{}\$prime }{}S^{2$}이다$.$$S^{\premy }\lambda S},$ 단위$$ 맵은${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}\eta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ .${\displaystyle \eta }$ .${\displaystyle }${. ${\displaystyle \eta ^{\premy }S이다.$$\eta .}$ 참조$$: 모나드 사이의 분배 법칙.

정보이론의 영역에서도 일반화된 분배법이 제안되었다.

반분배율

$({\displaystyle }$x ${\displaystyle y{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= y${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$, ${\displaystyle (xy)^{-1}^{-1}$과$$ $같은$ 어떤 그룹의 이진 연산과 반대로 관련되는 유비쿼터스 아이덴티티를 때때로 (비실제 운영자로서) 세미그룹들의 보다 일반적인 맥락에서 공리로 삼았다.아티온^[5]

부가적으로 쓰여진 집단의 공통성을 제거하고 단면적인 분배성만을 가정하는 근링의 맥락에서, 사람들은 (양면적인) 분배요소뿐만 아니라 반분배적 요소도 말할 수 있다. 후자는 (비확장) 덧셈의 순서를 거꾸로 한다. 즉, 왼쪽 근거리(즉, 모든 원소가 왼쪽에 곱할 때 분포하는 요소)라고 가정하면, 반분산 요소 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$는 오른쪽으로 곱할 때 덧셈의 순서를 반대로$$ 한다. (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$+ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle y}$ $.$ ($x+y)a=ya+xa.$$}$^[6]

명제논리와 부울대수의 연구에서, 반분배 법칙이라는 용어는 그것들에 대한 함축적 요인이 있을 때 연결과 분리 사이의 교환을 나타내기 위해 가끔 사용된다.^[7]

이 두 개의 토폴로지는 De Morgan의 법칙에서 이중성의 직접적인 결과물이다.

메모들

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 배포성을 찾아보십시오.

• 정수 산술에 대한 분배 법칙의 실증