스페이스 그룹

육각형₂ HO 얼음의 공간군은 P6₃/mmc이다.첫 번째 m은 c축(a)에 수직인 거울 평면을 나타내고, 두 번째 m은 c축(b)에 평행한 거울 평면을 나타내며, c는 활공 평면(b)과 (c)를 나타낸다.블랙박스는 유닛 셀의 윤곽을 나타내고 있습니다.

수학, 물리학 그리고 화학에서, 공간 그룹은 보통 3차원으로,^[1] 공간에 있는 물체의 대칭 그룹이다.공간 그룹의 요소(대칭 연산)는 변경되지 않은 객체의 견고한 변환입니다.3차원에서 공간 그룹은 219개의 구별된 유형으로 분류되며, 키랄 복사본이 구별되는 것으로 간주될 경우 230개의 유형으로 분류된다.공간 그룹은 임의의 수의 차원에 있는 지향성 유클리드 공간의 등각체의 이산적 콤팩트 그룹이다.3차원 이외의 차원으로는 비버바흐 그룹이라고 불리기도 한다.

결정학에서 공간 그룹은 결정학 또는 페도로프 그룹이라고도 불리며 결정의 대칭에 대한 설명을 나타냅니다.3차원 우주 그룹에 관한 최종 출처는 국제 결정학 표(2002)이다.

역사

2차원의 우주 그룹은 수 세기 동안 알려진 17개의 벽지 그룹입니다. 비록 목록이 완성되었다는 증거는 훨씬 더 어려운 우주 그룹의 분류가 대부분 ^[2]완료된 후 1891년에야 주어졌습니다.

1879년 독일 수학자 레온하르트 손케는 키랄리티를 ^[3]보존하는 65개의 우주 그룹을 열거했다.좀 더 정확히는 66개의 그룹을 나열했지만, 러시아 수학자이자 결정학자 에브그라프 페도로프와 독일 수학자 아서 모리츠 쇤파리 둘 다 이 두 그룹이 정말 같다는 것을 알아챘다.3차원의 공간 그룹은 1891년 Fedorov에^[4] 의해 처음 열거되었고(그의 리스트에는 두 개의 누락(I43d와 Fdd2)과 하나의 중복(Fmm2)이 있었다), 곧이어 1891년 Schönflys에^[5] 의해 독립적으로 열거되었다(그의 리스트에는 네 개의 누락(I43d, Pc, Cc, ?)과 하나의 중복(복제42₁).페도로프와 ^[6]쇤파리가 통신하는 동안 1892년까지 230개의 우주 그룹들의 정확한 목록이 발견되었다.William Barlow(1894)는 나중에 다른 방법으로 그룹을 열거했지만, Fedorov와 Schönfly의 230개 그룹의 정확한 목록을 이미 가지고 있었음에도 불구하고 네 개의 그룹(Fdd2, I42d, P42c₁₁)을 생략했다. Barlow가 그들의 작업을 몰랐다는 일반적인 주장은 ^{[citation needed]}틀렸다.Burkhardt(1967)는 우주 그룹의 발견에 대한 역사를 상세히 기술하고 있다.

요소들

3차원의 공간 그룹은 32개의 결정학적 점 그룹과 14개의 Bravais 격자의 조합으로 구성되며, 후자는 각각 7개의 격자 시스템 중 하나에 속한다.즉, 주어진 공간 그룹의 모든 요소의 작용은 해당 점 그룹의 요소의 작용으로 표현될 수 있으며, 그 뒤에 선택적으로 변환이 뒤따를 수 있습니다.따라서 공간군은 단위 셀(격자 센터링 포함), 반사, 회전 및 부적절한 회전의 점군 대칭 연산(로토 반전이라고도 함) 및 나사축 및 활공면 대칭 연산의 조합이다.이 모든 대칭 연산을 조합하면 가능한 모든 결정 대칭을 설명하는 총 230개의 다른 공간 그룹이 생성됩니다.

점을 고정하는 요소

공간의 점을 고정하는 공간 그룹의 요소는 동일 요소, 반사, 회전 및 부적절한 회전입니다.

번역

이 번역들은 브라바 격자라고 불리는 3등급의 정규 아벨 하위군을 형성합니다.Bravais 격자에는 14가지 유형이 있습니다.브라바 격자에 의한 공간군의 몫은 32개의 가능한 점군 중 하나인 유한군이다.

활공면

활공면은 평면에서의 반사이며, 그 평면과 평행한 변환이 뒤따른다.이는 활공하는 축에 따라 \ $displaystyle$ a $a$ $displaystyle$ b $또는$ c $displaystyle$ $a$ 로 표시됩니다. $또한$ 얼굴의 대각선 절반을 따라 활공하는 n $(\displaystyle$ n $)$ 글라이드와 $n$ 단위 셀의 얼굴 또는 공간 대각선 중 하나를 따라 4분의 1인 $(\displaystyle$ d $)$ 글라이드가 $d$ 있습니다.후자는 다이아몬드 구조에서 특징지어지기 때문에 다이아몬드 글라이드 평면이라고 불립니다.17개의 공간군에서는 셀의 중심화에 의해 2개의 수직방향으로 동시에 활공하는 것으로, 같은 활공면을 b 또는 c, a 또는 b, a 또는 c라고 부를 수 있다.예를 들어 그룹 Abm2는 Acm2, 그룹 Ccca는 Cccb로 불릴 수 있습니다.1992년에는 그러한 평면에 기호 e를 사용하는 것이 제안되었다.5개의 공간 그룹에 대한 기호가 수정되었습니다.

스페이스 그룹 번호	39	41	64	67	68
새 기호	Aem2	Aea2	Cmce	Cmme	Ccce
오래된 기호	Abm2	아바2	Cmca	CMMA	카카

나사축

나사축은 축을 중심으로 회전한 후 축의 방향을 따라 변환하는 것입니다.이들은 회전 정도를 설명하기 위해 숫자 n으로 표시되며, 여기서 숫자는 전체 회전을 완료하기 위해 적용해야 하는 연산 횟수이다(예: 3은 매번 축을 중심으로 1/3 회전하는 것을 의미한다).그 후 평행 격자 벡터의 일부로 변환이 축을 따라 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 첨자로 변환 정도가 추가됩니다.2는₁ 두 번 회전한 후에 격자 벡터의 1/2를 변환한 것입니다.

일반식

공간 그룹의 요소의 작용에 대한 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

y = M.x + D

여기서 M은 매트릭스이고 D는 벡터이며 요소가 점 x를 점 y로 변환합니다.일반적으로 D = D (표준) + D (M)입니다.여기서 D (M)는 M의 고유함수이며 M은 0이고 M은 항등식입니다.행렬 M은 공간 그룹의 기초가 되는 점 그룹을 형성한다. 격자는 해당 점 그룹 아래에서 대칭이어야 하지만 결정 구조 자체는 특정 점에 적용되었을 때(즉, 변환 없이) 해당 점 그룹 아래에서 대칭이 아닐 수 있다.예를 들어 다이아몬드 입방체 구조에는 입방체 점군이 적용되는 점이 없습니다.

격자 치수는 전체 치수보다 작을 수 있으므로 "하주기적" 공간 그룹이 생성됩니다.(전체 치수, 격자 치수):

(1,1) : 1차원 선군
(2,1) : 2차원 라인 그룹 : 프리즈 그룹
(2, 2) : 벽지 그룹
(3,1) : 3차원 선군, 3D 결정학적 점군, 로드군
(3, 2): 레이어 그룹
(3,3) 이 기사에서 설명한 우주 그룹

표기법

공간 그룹의 이름을 지정하는 방법은 최소 10가지가 있습니다.이러한 방법 중 일부는 동일한 공간 그룹에 여러 개의 다른 이름을 할당할 수 있기 때문에 전체적으로 수천 개의 다른 이름이 있습니다.

번호: 국제결정학연합은 모든 우주 그룹 유형의 표를 발행하고, 각각 1부터 230까지의 고유 번호를 할당한다.수정 시스템 또는 점 그룹이 동일한 그룹에 연속 번호가 부여되는 경우를 제외하고 번호는 임의입니다.

International symbol notation

Hermann–Mauguin notation

헤르만-마우구인(또는 국제) 표기법은 그룹의 격자와 일부 생성자를 나타냅니다.그것은 결정학에서 가장 일반적으로 사용되는 국제 짧은 기호라고 불리는 줄임말을 가지고 있으며, 보통 4개의 기호 세트로 구성되어 있다.첫 번째는 Bravais 격자(P, A, C, I, R 또는 F)의 중심을 설명한다.다음 세 가지는 결정의 높은 대칭 방향 중 하나를 따라 투영될 때 볼 수 있는 가장 두드러진 대칭 연산을 설명합니다.이러한 기호는 위에서 설명한 바와 같이 활공면 및 나사 축을 추가하여 점 그룹에서 사용되는 것과 동일합니다.예를 들어 석영의 공간군은 P321이며₁, 3중 나사축과 2중 회전축을 갖는 모티브(즉 단위 셀당 1회)의 원시적인 중심화를 나타낸다.이것은 각 공간 그룹마다 고유하지만(P321의₁ 경우 삼각형) 결정계를 명시적으로 포함하지 않습니다.

국제 쇼트 기호에서 첫 번째 기호(이₁ 예에서는 3개)는 장축(삼각형의 경우 c축), 두 번째 기호(이 예에서는 2개)는 2차 중요도의 축(a 및 b)을 따른 대칭을 나타내며 세 번째 기호는 다른 방향의 대칭을 나타낸다.삼각형의 경우에는 공간군 P312도₁ 존재한다.이 공간군에서는 두 겹의 축이 a축과 b축을 따라 있는 것이 아니라 30° 회전하는 방향으로 되어 있다.

일부 우주 그룹의 국제 기호와 국제 짧은 기호는 1935년과 2002년 사이에 약간 바뀌어서 몇몇 우주 그룹은 4개의 다른 국제 기호를 사용하고 있다.

7개의 결정계가 보이는 방향은 다음과 같습니다.

기호 내 위치	삼사정어	단사정계	정형외과	사각형	삼각형의	육각형	큐빅
1	—	b	a	c	c	c	a
2	—		b	a	a	a	[111]
3	—		c	[110]	[210]	[210]	[110]

홀^[7] 표기법: 원점이 명시적인 공간 그룹 표기법입니다.회전, 변환 및 축 방향 기호가 명확하게 구분되고 반전 중심이 명시적으로 정의됩니다.표기의 구성과 형식은 대칭 정보의 컴퓨터 생성에 특히 적합합니다.예를 들어 그룹 번호3에는 P2y(P1 2 1), P2(P1 1 2), P2x(P2 1 1)의 3개의 홀 기호가 있습니다.
쇤파리 표기법: 주어진 점 그룹을 가진 공간 그룹에는 1, 2, 3…(국제 번호와 동일한 순서로) 번호가 매겨지며, 이 번호는 점 그룹의 쇤플라이 기호에 위첨자로 추가됩니다.예를 들어 점군이 C인 그룹₂ 번호 3~5는 쇤파리 기호¹
₂ C, C²
₂, C를³
₂ 가진다.

Fedorov notation

Shubnikov symbol

Strukturbericht designation

문자 및 인덱스가 주어진 결정 구조의 관련 표기법: A 원소(단원자), B(AB 화합물), C₂(AB 화합물_m_n), D(AB 화합물), D(E, F, ..., K More 복합 화합물), L 합금, O 유기 화합물, S 규산염.일부 구조물 지정은 동일한 공간 그룹을 공유합니다.예를 들어 공간 그룹 225는 A, B₁ 및₁ C입니다₁.스페이스 그룹 221은 A와_h₂ ^[8]B입니다.하지만, 결정학자들은 우주 그룹을 기술하기 위해 Strukturbericht 표기법을 사용하지 않고, 오히려 특정한 결정 구조를 기술하는데 사용될 것이다.

Orbifold notation (2D)

Fibrifold notation (3D)

이름에서 알 수 있듯이, 오비폴드 표기법은 우주 그룹의 생성자가 아니라 우주 그룹에 의해 유클리드 공간의 몫에 의해 주어진 오비폴드를 기술한다.이것은 Conway와 Thurston에 의해 도입되었으며 수학 이외에는 많이 사용되지 않습니다.일부 공간 그룹에는 여러 개의 다른 섬유소 기호가 연관되어 있으므로 여러 개의 다른 섬유소 기호가 있습니다.

콕서터 표기법: 순수 반사 콕서터 그룹의 수정으로 표현되는 공간 및 점 대칭 그룹.
기하학적 표기법^[9]: 기하학적 대수 표기법입니다.

분류 시스템

공간 그룹을 클래스로 분류하는 방법에는 적어도 10가지가 있습니다.이들 중 일부는 다음 표에 설명되어 있습니다.각 분류 체계는 그 아래에 있는 분류 체계들을 개량한 것이다.여기에 제시된 설명을 이해하려면 다음 설명을 이해할 필요가 있을 수 있습니다.

(암호화) 공간 그룹 유형(3차원 230개)
공간의 아핀 변환 그룹의 부분군으로 간주되는 두 공간 그룹은 방향을 보존하는 공간의 아핀 변환까지 동일한 경우 동일한 공간 그룹 유형을 가집니다.따라서 예를 들어, 대칭을 추가하거나 제거하지 않는 경우 변환 벡터 간의 각도 변화는 공간 그룹 유형에 영향을 미치지 않는다.보다 공식적인 정의에는 켤레가 포함됩니다(대칭 그룹 참조).3차원에서는 11개의 아핀 공간 그룹에 대해 군에서 미러 화상으로의 키랄리티 보존(즉 방향 보존) 맵이 없기 때문에 그룹을 미러 화상과 구별하면 각각 2개의 케이스(예를 들어 P4₁ 및 P4₃)로 분할된다.따라서 키랄리티를 보존하는 54개의 아핀 공간 그룹 대신 키랄리티를 보존하는 54 + 11 = 65개의 공간 그룹 유형이 있습니다(손케 그룹).대부분의 키랄 결정의 경우, 두 개의 에난티 동상은 FeSi의 ^[10]경우 P23과₁ 같은 결정학적 공간군에 속하지만, 석영과 같은 다른 결정학적 공간군에 속합니다.
아핀 공간 그룹 유형(3차원 219개)
공간의 아핀 변환 그룹의 하위 그룹으로 간주되는 두 공간 그룹은 방향이 반전되더라도 아핀 변환까지 동일한 경우 동일한 아핀 공간 그룹 유형을 가집니다.아핀 공간 그룹 유형은 공간 그룹의 기본 추상 그룹에 의해 결정됩니다.3차원에서 54개의 아핀 공간 그룹 유형이 키랄성을 보존하고 키랄 결정을 제공합니다.키랄 결정의 두 에난티 동상은 동일한 아핀 공간 그룹을 가지고 있다.
산술 결정 클래스(3차원 73개)
Z클래스라고도 합니다.이러한 값은 변환 서브그룹에 대한 포인트그룹의 액션과 함께 포인트그룹에 의해 결정됩니다.즉, 산술 결정 클래스는 정수에 대한 일반 선형군_n GL(Z)의 유한 부분군의 켤레 클래스에 대응한다.공간 그룹은 모든 대칭이 이 점을 고정하는 대칭과 변환의 산물인 점이 있는 경우 심모픽(또는 분할)이라고 합니다.마찬가지로 공간군은 그 점군과 그 변환 부분군의 반직접 곱일 경우 심모픽이 된다.73개의 심모픽 공간 그룹이 있으며, 각 산술 결정 클래스에 정확히 하나씩 있습니다.또한 산술 결정 클래스에는 숫자가 다른 157개의 비정형 공간 그룹 유형이 있습니다. 산술 결정 클래스는 격자 공간의 정수 계수를 가지도록 그룹 요소의 행렬 구성요소가 구속되는 것과 함께 격자 내 점 그룹의 다른 방향으로 해석될 수 있습니다.이것은 2차원 벽지 그룹 케이스로 상상하기 쉽다.일부 점 그룹에는 반사가 있으며, 반사선은 격자 방향을 따라, 중간 또는 둘 다일 수 있습니다. 없음: C₁: p1; C₂: p2; C₃₄: p3; C₆: p4; C: p6 동반: D₁: pm, pg; D₂: pmm, pmg, pg; D₃: p31m 간격:D₁: cm, D₂: cm, D₃: p3m1 둘 다: D₄: p4m, p4g, D₆: p6m
(기하학) 결정 클래스(32차원)	브라바이스 양떼(3차원 14개)
Q클래스라고도 합니다.공간군의 결정 클래스는 점군에 의해 결정됩니다. 즉, 격자에 작용하는 번역의 부분군에 의한 몫입니다.두 공간 그룹은 GL(Z)의_n 부분군인 점 그룹이 더 큰 그룹_n GL(Q)에서 공역하는 경우에만 동일한 결정 클래스에 있습니다.	이것들은 기초가 되는 Bravais 격자 타입에 의해 결정된다. 이는 GL(Z)에서_n 격자 점 그룹의 켤레 클래스에 해당합니다. 여기서 격자 점 그룹은 격자의 점을 고정하는 기본 격자의 대칭 그룹이며 점 그룹을 포함합니다.
크리스털 시스템(3차원 7개)	격자 시스템(3차원 7개)
결정 시스템은 격자 시스템을 임시로 수정하여 점군에 따른 분류와 호환되도록 합니다.그들은 육각 결정군이 삼각 결정계와 육각 결정계라고 불리는 두 개의 부분 집합으로 분할된다는 점에서 결정족과 다르다.삼각 결정계는 마름모꼴 격자계보다 크고, 육각 결정계는 육각 격자계보다 작으며, 나머지 결정계와 격자계는 동일하다.	공간 그룹의 격자 체계는 더 큰 그룹_n GL(Q)에서 격자 점 그룹(GL(Z)의_n 부분군)의 켤레 클래스에 의해 결정된다.3차원에서 격자점 그룹은 7개의 서로 다른 순서 2, 4, 8, 12, 16, 24 또는 48 중 하나를 가질 수 있습니다.육각 결정군은 마름모꼴과 육각 격자계라고 불리는 두 개의 서브셋으로 분할됩니다.
크리스털 패밀리(3차원 6개)
공간 그룹의 점 그룹은 격자 시스템을 결정하지 않습니다. 같은 점 그룹을 가진 두 공간 그룹이 서로 다른 격자 시스템에 있을 수 있기 때문입니다.이러한 일이 발생할 때마다 두 개의 격자계를 병합함으로써 결정족들이 격자계에서 형성되므로 공간군의 결정족들은 격자계 또는 그 점군 중 하나에 의해 결정된다.3차원에서 이러한 방식으로 병합되는 유일한 두 개의 격자 계는 육각형 및 마름모꼴 격자 계이며, 육각형 결정 계로 결합됩니다.3차원의 6가지 결정군은 삼사정계, 단사정계, 직교정계, 사방정계, 육방정계, 입방정계라고 불립니다.크리스털 패밀리는 흔히 크리스털에 관한 인기 있는 책에 사용되며, 크리스털 시스템이라고 불리기도 한다.

콘웨이, 델가도 프리드리히, 후손 등(2001)는 대응하는 오비폴드의 파이버폴드 구조에 따라 파이버폴드 표기법이라고 불리는 우주 그룹의 또 다른 분류를 제공했다.그들은 219개의 아핀 공간 그룹을 환원 가능한 그룹과 환원 불가능한 그룹으로 나누었다.환원성 그룹은 벽지 17개 그룹에 해당하는 17개 그룹으로 분류되며, 나머지 35개 환원성 그룹은 입방체 그룹과 동일하며 별도로 분류된다.

다른 차원에서는

비버바흐의 정리

n차원에서 아핀 공간군 또는 비버바흐 그룹은 콤팩트한 기본 도메인을 가진 n차원 유클리드 공간의 등각성의 이산 부분군이다.비버바흐(1911, 1912)는 그러한 그룹의 번역의 부분군이 n개의 선형 독립적 변환을 포함하고 유한 지수의 자유 아벨 부분군이며 또한 유일한 최대 정규 아벨 부분군임을 증명했다.그는 또한 어떤 차원 n에서도 공간 그룹의 기본 그룹의 동형성 클래스에 대한 제한된 수의 가능성만이 존재하며, 또한 유클리드 공간에 대한 그룹의 작용은 아핀 변환에 의한 결합까지 유일하다는 것을 보여주었다.이것은 힐버트의 18번째 문제의 일부에 대한 해답이다.Zassenhouse(1948)는 반대로 성실히 작용하는 유한군에 의해 Z의ⁿ 확장인^{[when defined as?]} 모든 집단이 아핀 공간 집단임을 보여주었다.이러한 결과를 조합하는 것은 아핀 변환에 의한 결합까지 n차원의 공간 그룹을 분류하는 것은 본질적으로 Z의ⁿ 확장인 그룹에 대한 동형성 클래스를 성실히 작용하는 유한 그룹에 의해 분류하는 것과 동일하다는 것을 보여준다.

비버바흐의 이론에서는 그룹이 등각체로 작용한다고 가정하는 것이 필수적이다; 그 이론들은 유클리드 공간의 아핀 변환의 이산적인 공콤팩트 그룹으로 일반화되지 않는다.예를 들어 3차원 유클리드 공간으로 식별되는 리얼의 하이젠베르크 군에서 번역에 의해 작용하는 정수의 3차원 하이젠베르크 군에서 반례를 제시한다.이것은 공간의 아핀 변환의 이산적 콤팩트 그룹이지만 부분군³ Z를 포함하지 않습니다.

작은 치수의 분류

이 표는 공간 그룹의 다양한 클래스의 수를 포함하여 작은 차원의 공간 그룹 유형 수를 제공합니다.에난티오포메이션 쌍의 번호는 괄호 안에 기재되어 있습니다.

치수	수정 패밀리, 시퀀스 A004032	수정 시스템, 시퀀스 A004031	Bravais 격자, 시퀀스 A256413	추상 결정학적 점군, 시퀀스 A006226	기하학적 결정 클래스, Q 클래스, 결정학적 점 그룹, 시퀀스 A004028	산술 결정 클래스, Z 클래스, 시퀀스 A004027	아핀 공간 그룹 유형, 시퀀스 A004029	결정학적 공간 그룹 유형, 시퀀스 A006227
0^[a]	1	1	1	1	1	1	1	1
1개^[b]	1	1	1	2	2	2	2	2
2개^[c]	4	4	5	9	10	13	17	17
3개^[d]	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4개^[e]	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5개^[f]	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6개^[g]	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

^ 트리비얼 그룹
^ 하나는 정수의 그룹이고 다른 하나는 무한 이면체 그룹이다. 1차원의 대칭 그룹을 보라.
^ 이러한 2D 공간 그룹을 벽지 그룹 또는 평면 그룹이라고도 합니다.
^ 3D에는 230개의 결정 공간군이 있으며, 거울상과는 다른 타입이 있기 때문에 219개의 아핀 공간군으로 감소한다.이것들은 에난티오포머러스 특성(예를 들어 P312₁ 및 P312₂)에 의해 다르다고 한다.일반적으로 공간 그룹은 3D를 나타냅니다.그것들은 Barlow(1894년 ), Fedorov(1891a) 및 Schönflys(1891년)에 의해 독립적으로 열거되었다.
^ 4895개의 4차원 그룹은 Harold Brown, Rolf Bülow, Joachim Neubüser 등에 의해 열거되었다. (120) Neubüser, Souvignier & Wondratschek(2002)는 에난티오포메이션 그룹의 수를 112개에서 111개로 수정하였다. 따라서 총 그룹 수는 4783개 + 111개 = 4894개이다.4차원 공간에는 44개의 에난티오모픽 점군이 있다.에난티오포메이션 그룹이 다르다고 간주할 경우, 포인트 그룹의 총 수는 227 + 44 = 271이다.
^ Plesken & Schulz(2000)는 5차원의 것을 열거했다.Souvignier(2003)는 에난티 형질을 세었다.
^ Plesken & Schulz(2000)는 차원 6의 것을 열거했고, 나중에 수정된 수치를 발견했다.^[11]Plesken & Hanrath(1984)에서 처음 발표된 826개의 격자 유형은 Opgenorth, Plesken & Schulz(1998)에서 841개로 수정되었다.「Jansen 등」을 참조해 주세요. (2002).Souvignier(2003)는 에난티 동형을 계산했지만, 이 논문은 치수 6에 대해 오래된 잘못된 캐럿 데이터에 의존했다.

자기 그룹 및 시간 반전

결정학적 공간 그룹 외에도 자기 공간 그룹도 있습니다.이러한 대칭에는 시간 반전이라고 하는 요소가 포함되어 있습니다.이들은 시간을 추가 차원으로 간주하고 그룹 요소는 시간 반전을 반영으로 포함할 수 있습니다.중성자 회절에 의해 연구된 철, 철 또는 반강자성 구조처럼 순서가 매겨지지 않은 스핀을 포함하는 자기 구조에서 중요하다.시간 반전 요소는 다른 모든 구조를 동일하게 유지하면서 자기 스핀을 플립하며 다른 대칭 요소와 결합할 수 있습니다.3D에는 시간역전을 포함해 1651개의 자기공간군이 있다(Kim 1999, p.428).또한 다른 전체 및 격자 치수에 대한 자기 버전을 구성할 수 있었다(다니엘 리트빈의 논문, (리트빈 2008), (리트빈 2005)).프리즈 그룹은 자성 1D 선군, 층 그룹은 자성 벽지 그룹, 축방향 3D 점군은 자성 2D 점군입니다.(전체, 격자) 치수별 원래 및 자기 그룹 수: (Palistrant 2012)(Souvignier 2006)

전반적으로. 치수	격자 치수	일반 그룹			자기군
전반적으로. 치수	격자 치수	이름.	기호.	세어보세요	기호.	세어보세요
0	0	0차원 대칭군	$G_{0}$	1	$G_{0}^{1}$	2
1	0	1차원 점군	$G_{10}$	2	$G_{10}^{1}$	5
1	1	1차원 이산 대칭군	$G_{1}$	2	$G_{1}^{1}$	7
2	0	2차원 점 그룹	$G_{20}$	10	$G_{20}^{1}$	31
	1	프리즈 그룹	$G_{211}$	7	$G_{21}^{1}$	31
	2	벽지 그룹	$G_{2}$	17	$G_{2}^{1}$	80
3	0	3차원 점군	$G_{30}$	32	$G_{30}^{1}$	122
	1	로드 그룹	$G_{311}$	75	$G_{311}^{1$	394
	2	레이어 그룹	$G_{32}$	80	$G_{32}^{1}$	528
	3	3차원 공간군	$G_{3}$	230	$G_{3}^{1}$	1651
4	0	4차원 점군	$G_{40}$	271	$G_{40}^{1}$	1202
	1		$G_{414$	343
	2		$G_{42}$	1091
	3		$G_{439$	1594
	4	4차원 이산 대칭군	$G_{4}$	4894	$G_{4}^{1}$	62227

2차원 공간 그룹 표(벽지 그룹)

2차원 공간 그룹 분류를 사용한 벽지 그룹 표:

크리스탈 시스템, 브라바 격자	기하학 클래스, 점 그룹				산술 학급	벽지 그룹(셀 다이어그램)
크리스탈 시스템, 브라바 격자	숀.	오르비폴드	콕스.	오드	산술 학급	벽지 그룹(셀 다이어그램)
비스듬히	C₁.	(1)	[ ]⁺	1	없음.	p1 (1)
비스듬히	C₂.	(22)	[2]⁺	2	없음.	p2 (2222)
직사각형	D₁.	(*)	[ ]	2	따라	오후 (**)	페이지 (××)
직사각형	D₂.	(*22)	[2]	4	따라	ppm (*2222)	pmg (22*)
중심 직사각형	D₁.	(*)	[ ]	2	사이에	cm (*×)
중심 직사각형	D₂.	(*22)	[2]	4	사이에	cmm (2*22)	pgg (22×)
광장	C₄.	(44)	[4]⁺	4	없음.	p4 (442)
광장	D₄.	(*44)	[4]	8	둘다요.	p4m (*442)	p4g (4*2)
육각형	C₃.	(33)	[3]⁺	3	없음.	p3 (333)
	D₃.	(*33)	[3]	6	사이에	p3m1 (*333)	p31m (3*3)
	C₆.	(66)	[6]⁺	6	없음.	p6 (632)
	D₆.	(*66)	[6]	12	둘다요.	p6m (*632)

각 기하학 클래스에 대해 가능한 산술 클래스는 다음과 같습니다.

없음: 반사선 없음
따라: 격자 방향을 따라 반사선
Between: 격자 방향 중간 반사 선
둘 다: 격자 방향을 따라 그리고 격자 사이의 반사 선

3차원 공간 그룹 표

№	크리스탈 시스템, (카운트), 브라바 격자	점군					스페이스 그룹(국제 단축 기호)
№	크리스탈 시스템, (카운트), 브라바 격자	국제	숀.	오르비폴드	콕스.	오드	스페이스 그룹(국제 단축 기호)
1	삼사정어 (2)	1	C₁.	11	[ ]⁺	1	P1
2	삼사정어 (2)	1	C_i.	1×	[2⁺,2⁺]	2	P1
3–5	단사정계 (13)	2	C₂.	22	[2]⁺	2	P2, P2₁ C2
6–9		m	C_s.	*11	[ ]	2	PM, PC Cm, Cc
10–15		2/m	C_2h.	2*	[2,2⁺]	4	P2/m, P2₁/m C2/m, P2/c, P2₁/c C2/c
16–24	정형외과 (59)	222	D₂.	222	[2,2]⁺	4	P222, P222₁, P222₁₁, P222₁₁₁, C222₁, F222, I222, I222₁₁₁
25–46		mm2	C_2v.	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2₁, Pcc2, Pma2, Pca2₁, Pnc2, Pmn2₁, Pba2, Pna2₁, Pn2 Cmm2, Cmc2₁, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		음.	D_2h.	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnm, Pnm, Pmmn, Pbca, Pnma cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd 임음, 이밤, 익카, 임마
75–80	사각형 (68)	4	C₄.	44	[4]⁺	4	P4, P4₁, P4₂, P4₃, P4, I4, I4₁
81–82		4	S₄.	2×	[2⁺,4⁺]	4	P4, I4
83–88		4/m	C_4h.	4*	[2,4⁺]	8	P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4₁/a
89–98		422	D₄.	224	[2,4]⁺	8	P422, P42₁2, P4₁22, P4₁2₁2, P4₂22, P4₂2₁2, P4₃22, P4₃2₁2 I422, I4₁22
99–110		4mm	C_4v.	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4₁md, I4₁cd
111–122		42m	D_2d.	2*2	[2⁺,4]	8	P42m, P42c, P42₁m, P42₁c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d
123–142		4월 4일	D_4h.	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbm₂, P4₂/nmbm, P4/nmbm, P4/mbmbm₂ I4/mm, I4/mcm, I4₁/amd, I4₁/acd
143–146	삼각형의 (25)	3	C₃.	33	[3]⁺	3	P3, P3₁, P3₂ R3
147–148		3	S₆.	3×	[2⁺,6⁺]	6	P3, R3
149–155		32	D₃.	223	[2,3]⁺	6	P312, P321, P3₁12, P3₁21, P3₂12, P3₂21 R32
156–161		3m	C_3v.	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3m	D_3d.	2*3	[2⁺,6]	12	P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c
168–173	육각형 (27)	6	C₆.	66	[6]⁺	6	P6, P6₁, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃
174		6	C_3h.	3*	[2,3⁺]	6	P6
175–176		6/m	C_6h.	6*	[2,6⁺]	12	P6/m, P6₃/m
177–182		622	D₆.	226	[2,6]⁺	12	P622, P6₁22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22
183–186		6mm	C_6v.	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc
187–190		6m2	D_3h.	*223	[2,3]	12	P6m2, P6c2, P62m, P62c
191–194		6월 6일	D_6h.	*226	[2,6]	24	P6/mm, P6/mcc, P6₃/mcm₃, P6/mmc
195–199	큐빅 (36)	23	T	332	[3,3]⁺	12	P23, F23, I23 P2₁3, I2₁3
200–206		m3	T_h.	3*2	[3⁺,4]	24	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
207–214		432	O	432	[3,4]⁺	24	P432, P4₂32 F432, F4₁32 I432 P4₃32, P4₁32, I4₁32
215–220		43m	T_d.	*332	[3,3]	24	P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d
221–230		m3m	오_h	*432	[3,4]	48	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d

주의: e평면은 2개의 다른 방향으로 활공하는 이중 활공면입니다.이들은 7개의 직교혼합, 5개의 사각형 및 5개의 입방체 공간 그룹에서 발견되며, 모두 중심 격자를 가지고 있습니다.기호 e의 사용은 Hahn(2002)에 의해 공식화 되었다.

격자 체계는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.결정계가 삼각형이 아니라면 격자계는 같은 유형이다.결정계가 삼각형일 경우, 공간군이 R로 시작하는 표의 7개의 삼각형 공간군으로 이루어진 마름모꼴 격자계의 7개 중 하나가 아닌 한 격자계는 육각형이다(마름모꼴계라는 용어는 전체 삼각형의 대체 이름으로 사용되기도 한다).육각격자계는 육각결정계보다 크며, 이름이 R로 시작하는 7개의 그룹을 제외한 18개의 삼각결정계와 함께 육각결정계로 구성되어 있다.

공간 그룹의 Bravais 격자는 이름의 첫 글자와 함께 격자 시스템에 의해 결정되며, 비근면체 그룹의 경우 P, I, F, A 또는 C이며, 주격자, 신체 중심, 얼굴 중심, A면 중심 또는 C면 중심 격자를 나타낸다.7개의 마름모꼴 공간군이 있으며, 첫 글자가 R이다.

공간군에서의 결정 등급 유도

Bravais 유형 제외
변환 구성 요소가 있는 모든 대칭 요소를 변환 대칭 없이 각각의 대칭 요소로 변환합니다(활공면은 단순한 미러 평면으로 변환되고 나사 축은 단순한 회전 축으로 변환됨).
회전 축, 회전 반전 축 및 미러 평면은 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

레퍼런스

^ Hiller, Howard (1986). "Crystallography and cohomology of groups". The American Mathematical Monthly. 93 (10): 765–779. doi:10.2307/2322930. JSTOR 2322930.
^ Fedorov(1891b)
^ Sohncke, Leonhard (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [The Development of a Theory of Crystal Structure] (in German). Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
^ Fedorov(1891a)
^ Schönflies, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [Crystal Systems and Crystal Structure] (in German). Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
^ von Fedorow, E. (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [Compilation of the crystallographic results of Mr. Schoenflies and of mine]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (in German). 20: 25–75.
^ Sydney R. Hall; Ralf W. Grosse-Kunstleve. "Concise Space-Group Symbols".
^ "Strukturbericht - Wikimedia Commons". commons.wikimedia.org.
^ David Hestenes; Jeremy Holt (January 2007). "The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 48 (2): 023514. Bibcode:2007JMP....48b3514H. doi:10.1063/1.2426416.
^ J.C.H. Spence and J.M. Zuo (1994). "On the minimum number of beams needed to distinguish enantiomorphs in X-ray and electron diffraction". Acta Crystallographica Section A. 50 (5): 647–650. doi:10.1107/S0108767394002850.
^ "The CARAT Homepage". Retrieved 11 May 2015.

Barlow, W (1894), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle" [On the geometric properties of rigid structures and their application to crystals], Zeitschrift für Kristallographie, 23: 1–63, doi:10.1524/zkri.1894.23.1.1, S2CID 102301331
Bieberbach, Ludwig (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume" [On the groups of rigid transformations in Euclidean spaces], Mathematische Annalen, 70 (3): 297–336, doi:10.1007/BF01564500, ISSN 0025-5831, S2CID 124429194
Bieberbach, Ludwig (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" [On the groups of rigid transformations in Euclidean spaces (Second essay.) Groups with a finite fundamental domain], Mathematische Annalen, 72 (3): 400–412, doi:10.1007/BF01456724, ISSN 0025-5831, S2CID 119472023
Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179
Burckhardt, Johann Jakob (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [Groups of Rigid Transformations in Crystallography], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Textbooks and Monographs from the Fields of the Exact Sciences), vol. 13, Verlag Birkhäuser, Basel, MR 0020553
Burckhardt, Johann Jakob (1967), "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [On the history of the discovery of the 230 space groups], Archive for History of Exact Sciences, 4 (3): 235–246, doi:10.1007/BF00412962, ISSN 0003-9519, MR 0220837, S2CID 121994079
Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, MR 1865535
Fedorov, E. S. (1891a), "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [Simmetriya pravil'nykh sistem figur, The symmetry of regular systems of figures], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), 2nd series (in Russian), 28 (2): 1–146
- 영어 번역:
Fedorov, E. S. (1891b). "Симметрія на плоскости" [Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society). 2nd series (in Russian). 28: 345–390.
Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo (ed.), International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, International Tables for Crystallography, vol. A (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7
Hall, S.R. (1981), "Space-Group Notation with an Explicit Origin", Acta Crystallographica A, 37 (4): 517–525, Bibcode:1981AcCrA..37..517H, doi:10.1107/s0567739481001228
Janssen, T.; Birman, J.L.; Dénoyer, F.; Koptsik, V.A.; Verger-Gaugry, J.L.; Weigel, D.; Yamamoto, A.; Abrahams, S.C.; Kopsky, V. (2002), "Report of a Subcommittee on the Nomenclature of n-Dimensional Crystallography. II. Symbols for arithmetic crystal classes, Bravais classes and space groups", Acta Crystallographica A, 58 (Pt 6): 605–621, doi:10.1107/S010876730201379X, PMID 12388880
Kim, Shoon K. (1999), Group theoretical methods and applications to molecules and crystals, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511534867, ISBN 978-0-521-64062-6, MR 1713786, S2CID 117849701
Litvin, D.B. (May 2008), "Tables of crystallographic properties of magnetic space groups", Acta Crystallographica A, 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode:2008AcCrA..64..419L, doi:10.1107/S010876730800768X, PMID 18421131
Litvin, D.B. (May 2005), "Tables of properties of magnetic subperiodic groups" (PDF), Acta Crystallographica A, 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode:2005AcCrA..61..382L, doi:10.1107/S010876730500406X, PMID 15846043
Neubüser, J.; Souvignier, B.; Wondratschek, H. (2002), "Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons]", Acta Crystallographica A, 58 (Pt 3): 301, doi:10.1107/S0108767302001368, PMID 11961294
Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Crystallographica A, 54 (Pt 5): 517–531, doi:10.1107/S010876739701547X
Palistrant, A. F. (2012), "Complete Scheme of Four-Dimensional Crystallographic Symmetry Groups", Crystallography Reports, 57 (4): 471–477, Bibcode:2012CryRp..57..471P, doi:10.1134/S1063774512040104, S2CID 95680790
Plesken, Wilhelm; Hanrath, W (1984), "The lattices of six-dimensional space", Math. Comp., 43 (168): 573–587, doi:10.1090/s0025-5718-1984-0758205-5
Plesken, Wilhelm; Schulz, Tilman (2000), "Counting crystallographic groups in low dimensions", Experimental Mathematics, 9 (3): 407–411, doi:10.1080/10586458.2000.10504417, ISSN 1058-6458, MR 1795312, S2CID 40588234
Schönflies, Arthur Moritz (1923), "Theorie der Kristallstruktur" [Theory of Crystal Structure], Gebrüder Bornträger, Berlin
Souvignier, Bernd (2003), "Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions up to 6", Acta Crystallographica A, 59 (3): 210–220, doi:10.1107/S0108767303004161, PMID 12714771
Souvignier, Bernd (2006), "The four-dimensional magnetic point and space groups", Zeitschrift für Kristallographie, 221: 77–82, Bibcode:2006ZK....221...77S, doi:10.1524/zkri.2006.221.1.77, S2CID 99946564
Vinberg, E. (2001) [1994], "Crystallographic group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Zassenhaus, Hans (1948), "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [On an algorithm for the determination of space groups], Commentarii Mathematici Helvetici, 21: 117–141, doi:10.1007/BF02568029, ISSN 0010-2571, MR 0024424, S2CID 120651709

외부 링크

[11] 트리비얼 그룹

[12] 하나는 정수의 그룹이고 다른 하나는 무한 이면체 그룹이다. 1차원의 대칭 그룹을 보라.

[13] 이러한 2D 공간 그룹을 벽지 그룹 또는 평면 그룹이라고도 합니다.

[14] 3D에는 230개의 결정 공간군이 있으며, 거울상과는 다른 타입이 있기 때문에 219개의 아핀 공간군으로 감소한다.이것들은 에난티오포머러스 특성(예를 들어 P312₁ 및 P312₂)에 의해 다르다고 한다.일반적으로 공간 그룹은 3D를 나타냅니다.그것들은 Barlow(1894년 ), Fedorov(1891a) 및 Schönflys(1891년)에 의해 독립적으로 열거되었다.

[15] 4895개의 4차원 그룹은 Harold Brown, Rolf Bülow, Joachim Neubüser 등에 의해 열거되었다. (120) Neubüser, Souvignier & Wondratschek(2002)는 에난티오포메이션 그룹의 수를 112개에서 111개로 수정하였다. 따라서 총 그룹 수는 4783개 + 111개 = 4894개이다.4차원 공간에는 44개의 에난티오모픽 점군이 있다.에난티오포메이션 그룹이 다르다고 간주할 경우, 포인트 그룹의 총 수는 227 + 44 = 271이다.

[16] Plesken & Schulz(2000)는 5차원의 것을 열거했다.Souvignier(2003)는 에난티 형질을 세었다.

[18] Plesken & Schulz(2000)는 차원 6의 것을 열거했고, 나중에 수정된 수치를 발견했다.^[11]Plesken & Hanrath(1984)에서 처음 발표된 826개의 격자 유형은 Opgenorth, Plesken & Schulz(1998)에서 841개로 수정되었다.「Jansen 등」을 참조해 주세요. (2002).Souvignier(2003)는 에난티 동형을 계산했지만, 이 논문은 치수 6에 대해 오래된 잘못된 캐럿 데이터에 의존했다.

[1] Hiller, Howard (1986). "Crystallography and cohomology of groups". The American Mathematical Monthly. 93 (10): 765–779. doi:10.2307/2322930. JSTOR 2322930.

[FOOTNOTEFedorov1891b-2] Fedorov(1891b)

[3] Sohncke, Leonhard (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [The Development of a Theory of Crystal Structure] (in German). Leipzig, Germany: B.G. Teubner.

[FOOTNOTEFedorov1891a-4] Fedorov(1891a)

[5] Schönflies, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [Crystal Systems and Crystal Structure] (in German). Leipzig, Germany: B.G. Teubner.

[6] von Fedorow, E. (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [Compilation of the crystallographic results of Mr. Schoenflies and of mine]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (in German). 20: 25–75.

[7] Sydney R. Hall; Ralf W. Grosse-Kunstleve. "Concise Space-Group Symbols".

[8] "Strukturbericht - Wikimedia Commons". commons.wikimedia.org.

[9] David Hestenes; Jeremy Holt (January 2007). "The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 48 (2): 023514. Bibcode:2007JMP....48b3514H. doi:10.1063/1.2426416.

[10] J.C.H. Spence and J.M. Zuo (1994). "On the minimum number of beams needed to distinguish enantiomorphs in X-ray and electron diffraction". Acta Crystallographica Section A. 50 (5): 647–650. doi:10.1107/S0108767394002850.

[17] "The CARAT Homepage". Retrieved 11 May 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[11]

권한 관리
국립도서관	독일. 이스라엘 미국 일본. 체코 공화국
다른.	대상 용어의 적용 면

Search