스톡스 정리

Kelvin 경의 이름을 따서 Kelvin-Stokes 정리라고도^[2]^[3] ^[1]알려진 Stokes의 정리는 ^[4] $\mathbb {R} ^{3}$ 3 {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ 의 벡터 미적분학의 정리입니다 $\mathbb {R} ^{3}$ 주어진 벡터장에 대한 이 정리는 어떤 표면에 대한 벡터장의 컬의 적분과 관련이 있습니다. 표면의 경계 주변에 있는 벡터장의 선적분까지. 스톡스의 고전적 정리는 다음과 같은 문장으로 표현할 수 있습니다. 루프 위의 벡터장의 선적분은 둘러싸인 표면을 통한 컬과 같습니다. 그림에는 경계 윤곽선σ ∂의 양의 순환 방향과 표면 σ을 통한 양의 플럭스 방향 n이 오른쪽 규칙으로 관련되어 있습니다. 오른손에는 $손가락이$ ∂ σ을 따라 순환하고 엄지는 n을 따라 향합니다.

스톡스 정리는 일반화된 스톡스 정리의 특별한 경우입니다.^[5]^[6] $\mathbb {R} ^{3}$ R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 의 벡터 필드는 1-형태로 간주할 수 있으며 $\mathbb {R} ^{3}$ , 이 경우 컬은 외부 도함수인 2-형태입니다.

정리

Let $\Sigma$ be a smooth oriented surface in $\mathbb {R} ^{3}$ with boundary $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ . If a vector field ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,$ $z)=(F_{x}(x,y,z),$ $F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)}$ 는 정의되며 $\Sigma$ $σ$ ${\displaystyle$ \Sigma}를 포함하는 영역에서 연속적인 1차 편미분을 갖습니다. 그러면

\int_{\Sigma}(\n)abla \times \mathbf {F})\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\point _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .

좀 더 구체적으로, 평등은 다음과 같이 말합니다.

{\begin{aligned}&\int_{\Sigma}\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}-{\right)\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}-{\frac {\partial F_{z}}-{\partial x}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{align}}

스톡스 정리의 정확한 진술에서 가장 중요한 문제는 경계의 개념을 정의하는 것입니다. 예를 들어, 코흐 눈송이와 같은 표면은 리만 적분 경계를 나타내지 않는 것으로 잘 알려져 있으며, 리브스게 이론에서 표면 측도의 개념은 립시츠가 아닌 표면에 대해 정의될 수 없습니다. 한 가지 (고급) 기술은 약한 공식으로 전달한 다음 기하학적 측정 이론의 기계를 적용하는 것입니다. 이 접근법은 면적 공식을 참조하십시오. 이 글에서는 대신 $\mathbb {R} ^{2}$ ${\$ 의 전체 차원 부분 집합에 대해 경계를 식별할 수 있다는 사실에 기초하여 보다 기본적인 정의를 사용합니다 $\mathbb {R} ^{2}$

더 자세한 설명은 후속 논의를 위해 제공될 것입니다. γ $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ : [ $,$ b] → R 2 {\displaystyle \gamma :[a, b]\to \mathbb {R}^{2}}를 조각별로 매끄러운 요르단 평면 곡선이라고 가정합니다. 조던 곡선 정리는 $\gamma$ γ ${\$ displaystyle $\gamma$ \gamma}가 R 2 ${\displaystyle \mathbb {$ R} ^{2}}를 콤팩트한 성분과 비콤팩트한 성분의 두 성분으로 $\mathbb {R} ^{2}$ 것을 의미합니다. $D$ ${\displaystyle$ $D$ $}$ 가 콤팩트한 부분을 나타내면 $D$ ${\displaystyle$ D $}$ 는 $\gamma$ γ $displaystyle$ \gamma}로 경계지어집니다. 이제 이 경계 개념을 연속 $지도를 따라$ R 3 ${\displaystyle$ \mathbb {R $\mathbb {R} ^{3}$ ^{3}의 $\mathbb {R} ^{3}$ 으로 전달하면 됩니다. 그러나 우리는 이미 그러한 지도를 가지고 있습니다: $\Sigma$ σ ${\$ displaystyle $\Sigma$ \Sigma $\Sigma$ 의 매개변수화.

ψ $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ → $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ R 3 {\displaystyle \ $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ psi: $D\to \mathbb {R} ^{3}}$ 은(는 $)$ D {\ $displaystyle$ D $}$ 근처에서 조각별로 매끄럽습니다 $D$ $σ$ $=$ $\Sigma =\psi (D)$ $ψ$ (D) {\displaystyle \ $Sigma$ $=$ \ $psi$ (D)}. If $\Gamma$ is the space curve defined by $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$ ^{[note 2]} then we call $\Gamma$ the boundary of $\Sigma$ , written $\partial \Sigma$ .

위의 표기법으로, $\mathbf {F}$ ${\$ 가 $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ ^{ $3}$ 상의^[7]^[8] 임의의 매끄러운 벡터장이라면 $\mathbb {R} ^{3}$

\point_{\partial \Sigma}\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\Gamma} =\iint_{\Sigma}\nbla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma} .

$여기$ 서 " ⋅ {\ $displaystyle$ \cdot}"은 R $3 {\displaystyle \mathbb$ {R $\mathbb {R} ^{3}$ ^{3}의 도트 $\mathbb {R} ^{3}$ 을 나타냅니다.

증명

정리의 증명은 4단계로 구성됩니다. 우리는 그린의 정리를 가정하므로, 우려되는 것은 3차원 복잡한 문제(스토크스의 정리)를 어떻게 2차원 기본 문제(그린의 정리)로 요약할 것인가 하는 것입니다.^[9] 수학자들은 이 정리를 증명할 때 일반적으로 미분 형태로 진술되는 좀 더 일반적인 결과의 특별한 경우로 추론하고, 좀 더 정교한 기계를 사용하여 증명합니다. 이러한 기술은 강력하지만 상당한 배경이 필요하므로 아래의 증명은 이를 피할 수 있으며 기본 벡터 미적분학과 선형 대수학에 대한 친숙함 이상의 지식을 전제하지 않습니다.^[8] 이 절의 마지막에는 일반화된 스톡스 정리의 결과로서 스톡스 정리의 짧은 대안적 증명이 제공됩니다.

기초 증명

기초 증명의 첫 번째 단계(적분의 모수화)

§ 정리에서와 같이 표면의 자연 매개변수화를 사용하여 치수를 줄입니다. ψ와 γ를 해당 섹션과 같게 하고 변수의 변화에 따라 유의하십시오.

\point_{\partial \Sigma}{\mathbf {F}(\mathbf {x})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma} =\point_{\gamma }{\mathbf {F}(\boldsymbol {\psi }(\mathbf {\gamma })\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }(\mathbf {\gamma })}=\point _{\mathbf {F}({\boldsymbol {\psi }(\mathbf {y})\cdot J_{\mathbf {y}({\boldsymbol {\psi })\,\mathrm {d} \gamma

여기서

J

ψ는

y = γ(t)에서 ψ의 야곱

행렬

을 나타냅니다.

이제 { $e u,$ $e v}$ 를 $R$ 의² 좌표 방향에 대한 직교 기저라고 하자.^{[note 3]}

$J$ ψ의 열이 정확히 y에서의 ψ의 $편미분임$ 을 인식하고, 우리는 좌표에서의 이전 방정식을 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

{\begin{aligned}\point _{\partial \Sigma}{\mathbf {F}(\mathbf {x})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma} }&=\point _{\mathbf {F}(\boldsymbol {\psi }(\mathbf {y}))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y})}\&=\point _{\gamma }{\left(\mathbf {F}({\boldsymbol {\psi }(\mathbf {y}))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y})\cdot {\partial u}(\boldsymbol {y})\right)\mathbf {e}_{u}+\left(\mathbf {F}(\boldsymbol {y})\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y})\cdot {\partial v}(\mathbf {y})\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y}}\end{aligned}

기본 증명의 두 번째 단계(풀백 정의)

이전 단계에서는 함수를 정의할 것을 제안합니다.

\mathbf {P}(u,v)=\left(\mathbf {F}({\boldsymbol {\psi }(u,v))\cdot {\boldsymbol {\psi }}{\partial u}(u,v)\right)\mathbf {e}_{u}+\left(\mathbf {F}({\boldsymbol {P}(u,v)=\cdot {\partial {\boldsymbol {\psi }}(u,v)\right)\mathbf {e}_{v

이제 스칼라 값 함수 $P_{u}$ ${\$ 와 $P_u$ $P_{v}$ ${\$ 를 $P_{v}$ 다음과 같이 정의하면,

{P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F}({\boldsymbol {\psi }(u,v))\cdot {\partial {\boldsymbol {\psi }}{\partial u}(u,v)\right)

{P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F}({\boldsymbol {\psi }(u,v))\cdot {\boldsymbol {\psi }(u,v))\frac {\partial {\boldsymbol {\partial}}(u,v)\right

그리고나서,

\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.

$이것$ 은 ψ을 따라 $F$ 를 풀백한 것이고, 위에 의해 다음을 만족시킵니다.

\point _{\partial \Sigma}{\mathbf {F}(\mathbf {x})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =\point _{\mathbf {P}(\mathbf {y})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =\point _{\gamma }{({P_{u}}}(u,v)\mathbf {e}_{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e}_{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l}}

우리는 스톡스 정리의 한 면을 2차원 공식으로 축소하는 데 성공했습니다. 이제 다른 면으로 눈을 돌립니다.

기초 증명의 세 번째 단계(두 번째 방정식)

먼저 곱의 규칙을 통해 그린의 정리에 나타나는 편미분을 계산합니다.

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial}\codot {\frac {\boldsymbol {\psi }}\codot {\partial u}+(\mathbf {F}\codot {\boldsymbol {\psi }}\codot {\boldsymbol {\psi }}\codot {\frac {\partial ^{\boldsymbol {\partial}}}{\psi  v\,\partial u}}\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}\cdot {\partial v}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }}\cdot {\partial ^{\psi }}{\boldsymbol {\partial}}{\partial u\,\psi  v}\end{aligned}}

편리하게도 두 번째 항은 혼합 부분의 동일성에 의해 그 차이에서 사라집니다. 그래서.^{[note 4]}

{\frac {aligned}{\partial P_{v}}{\partial u}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}-{\frac {\partial}&={\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}-{\cdot {\partial {\boldsymbol {\psi }}-{\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }}-{\partial v}-{\cdot {\boldsymbol {\partial}}-{\partial v}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol}} {\psi }}{\partial u}}\[5pt]&={\frac {\boldsymbol {\psi }}{\partial v}}\cdot(J_{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F}}{\frac {\partial u}-{\partial {\boldsymbol {\psi }}-{\boldsymbol {\psi }}{\cdot(J_{{\boldsymbol {\psi }})}\cdot(u,u,v)}\cdot(J_{{\boldsymbol {\partial}}})v)}\mathbf {F}){\frac{\boldsymbol {\psi}}}{\partial v}}&{\text{(체인 규칙)}}\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F}^{\mathsf {T}\right){\frac {\boldsymbol {\psi }}{\partial u}\end{aligned}}

그러나 이제 그 이차 형식의 행렬, 즉 $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ ψ $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ , v) $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ - ( $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ ψ (u $,$ v) $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ ) T ${\displaystyle J_{\boldsymbol$ {\ $psi}}}(u,v)}\$ mathbf {F} - ( $J_{\boldsymbol$ {\ $psi}}(u$ ,v)}\ $mathbf {F$ mathsf {T}}를 생각해 보자. 우리는 이 행렬이 사실 교차 곱을 설명한다고 주장합니다. 여기서 위첨자 " ${}^{\mathsf {T}}$ ${\$ 는 행렬의 전치를 나타냅니다.

정확히 말하면, $A=(A_{ij})_{ij}$ = $A=(A_{ij})_{ij}$ ( $)$ j {\displaystyle A = (A_{ij})_{ij}}를 임의의 3 × 3 행렬이라고 하고,

\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\a_{3}\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}

$x$ ↦ a × x는 선형이므로 기본 요소에 대한 작용에 의해 결정됩니다. 하지만 직접적인 계산으로는

{\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e}_{1}&={\begin{bmatrix}0\a_{3}\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e}_{1}\\left(A-A^{\mathsf {T}\right)\mathbf {e}_{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\0\a_{1}\end{bmatrix}=\mathbf {a} \times \mathbf {e}_{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e}_{3}\end{aligned}

여기서 {

e 1 2,

e, e

}

는₃

\mathbb {R} ^{3}

{\

의 좌표 방향에서 정규 기저를 나타냅니다

\mathbb {R} ^{3}

^{[note 5]}

따라서 $임의$ 의 $x$ 에대하여 ( $A$ - $A$ )x = a × $x$ 입니다.

${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ ψ ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ ( ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ v ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ ) F ) ${\displaystyle$ {( $J_{\boldsymbol {\psi}}}($ u, $v)}\mathbf$ { $F$ }}}를 A에 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

\left({(J_{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F})-{(J_{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F}^{\mathsf {T}\right)\mathbf {x} =(\nbla \times \mathbf {F})\times \mathbf {x},\quad {\text{for all}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3

이제 파츠의 차이를 (스칼라) 삼중곱으로 인식할 수 있습니다.

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}{\partial v}\cdot (\nbla \times \mathbf {F})\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}{\partial u}}=(\nbla \times \mathbf {F})\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi}}{\partial u}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}{\partial v}}\end{aligned}

반면에, 표면 적분의 정의에는 삼중곱도 포함됩니다. 바로 그것입니다!

{\begin{aligned}\int_{\Sigma}(\n)bla \times \mathbf {F})\cdot \,d\mathbf {\Sigma} &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F})({\boldsymbol {\psi}}(u,v)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi}}(u,v)\times {\frac {\boldsymbol {\psi}}(u,v)\times {\partial v}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end {aligned}

그래서, 우리는 구합니다.

\int_{\Sigma}(\n)abla \times \mathbf {F})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\int_{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

기초 증명의 네 번째 단계(Green's theorem으로 축소)

두 번째 단계와 세 번째 단계를 결합한 다음 그린의 정리를 적용하면 증명이 완성됩니다. 그린의 정리는 조단 폐곡선 γ와 D에 정의된 두 개의 스칼라 값 $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ Pu $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ v $(u$ , v) ${\displaystyle P_{u}(u, v$ ), $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ P_{v}(u, v)에 대해 다음과 같이 주장합니다.

\point_{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e}_{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e}_{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =\iint_{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

위의 그린 정리의 좌변에 STEP2의 결론을 대입하고, 우변에 STEP3의 결론을 대입할 수 있습니다. Q.E.D.

미분 형식을 통한 증명

R $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ 함수는 지도를 통해 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3$ 의 미분 1-형태로 식별할 수 있습니다.

F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.

$함수$ $F$ 와 관련된 미분 1-형태를 ω로 적습니다. 그러면 계산할 수 있습니다.

\star \omega_{\nbla \times \mathbf {F} =\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F}}

여기서 ★는 호지 별이고 $\mathrm {d}$ $\mathrm {d$ 은(는) 외부 도함수입니다. 따라서 일반화된 스톡스 정리에 의해,^[10]

\point _{\partial \Sigma}{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } =\point _{\partial \Sigma} {\omega _{\mathbf {F}} =\int _{\Sigma} {\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F}} =\int _{\Sigma} {\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nbla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma}}

적용들

비회전장

이 절에서는 Stokes의 정리를 바탕으로 비회전장(층벡터장)에 대해 논의할 것입니다.

정의 2-1(비회전장). 열린 $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ⊆ R 3 {\ $displaystyle$ U $\subseteq \mathbb {$ R}^{3}}의 매끄러운 벡터장 $F$ 는 ∇ × F = 0인 경우 비회전(lame $벡터장)$ 입니다.

이 개념은 역학에서 매우 기본적인 것입니다. 나중에 증명하겠지만, 만약 F가 비회전적이고 F의 정의역이 단순히 연결되어 있다면, $F$ 는 보수적인 벡터장입니다.

헬름홀츠의 정리

이 절에서는 스톡스의 정리에서 파생되어 와류가 없는 벡터장을 특징짓는 정리를 소개할 것입니다. 유체 역학에서 그것은 헬름홀츠의 정리라고 불립니다.

정리 2-1(유체역학에서의 헬름홀츠 정리).^[5]^[3]^{: 142} $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ⊆ R 3 ${\displaystyle$ U $\subseteq \mathbb {$ R} ^{3}}를 라멜라 $벡터장$ F를 갖는 열린 부분집합이라고 $하고 c, c$ : [0, 1] → U를 조각별로 매끄러운 루프라고 $합니다$ . 함수 $H$ 가 존재할 경우 $[0, 1]$ × [ $0,$ 1] → $다음$ 과 같은

[TLH0] $부분적$ 으로 매끄럽고
[TLH1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = c 1 (t)$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ for all $s \in [0, 1]$ .

그리고나서,

\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}

로렌스와 같은 일부 교과서에서는 정리 2-1에서 언급된 $c$ 와 $c$ 의 관계를 "동형사상"이라고 부르고 함수 $H : [0,$ 1 $] \times$ $[0,$ 1] → $U$ 를 " $c$ 와 $c$ 사이의 동형사상"이라고 부릅니다. 그러나, 위에서 언급한 의미의 "동위원소" 또는 "동위원소"는 "동위원소" 또는 "동위원소"의 전형적인 정의가 다르며, 후자는 생략된 조건[TLH3]. 그래서 이제부터 정리 2-1의 의미에서 호모토피(homotopy)를 관형 호모토피(resp. tubular-homotopy)라고 부릅니다.^{[note 6]}

헬름홀츠 정리의 증명

다음에서는 표기법을 남용하고 기본 $\ominus$ 그룹로이드의 경로 $연결$ 에 " ⊕ {\ $displaystyle$ opplus}"를 $\ominus$ 사용하고 경로 방향을 반전시키는 데 " ⊖ {\ $displaystyle$ \ominus}"를 사용합니다.

$D$ = $[$ 0, 1] $\times$ $[0,$ 1 $]$ 이라고 하고, ∂D를 4개의 $선분$ γ로 분할합니다.

{\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}

하도록

\partial D=\gamma _{1}\opplus \gamma _{2}\opplus \gamma _{3}\opplus \gamma _{4}

$c$ 와 $c$ 가 조각별 매끄러운 호모토피를 갖는다는 우리의 가정에 의해, 조각별 매끄러운 호모토피 $H$ : $D$ → M이 있습니다.

{\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}

$S$ 를 H 아래의 $D$ 의 이미지라고 하자. 그거

\int_{S}\nbla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S =\point _{\Gamma}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma

스톡스의 정리에서 바로 다음과 같습니다. $F$ 는 라멜라이므로 왼쪽이 사라집니다.

0=\point _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\point _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma

$H$ 가 튜브형(satisf화 [TLH3])이므로 γ 2 $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ = ⊖ γ 4 {\displaystyle $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ \ $Gamma_$ { $2$ $}$ = $\$ ominus \Gamma_{4}} 및 γ 2 = ⊖ γ 4 {\displaystyle \Gamma_{2}=\ominus \Gamma_{4}}입니다. 따라서 γ 및 γ γ를 따라 있는 선 적분이 취소되고 남습니다.

0=\point _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\point _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma

반면 $c$ = γ γ $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$ c 3 = ⊖ γ 3 {\ $displaystyle$ c_{3}=\ominus \Gamma_{3}}이므로 원하는 동등성은 거의 즉시 따라갑니다.

보수세력

헬름홀츠의 정리 위에서 왜 물체의 위치를 바꾸는 보수적인 힘에 의해 행해지는 일이 경로에 독립적인지에 대한 설명을 제공합니다. 먼저 헬름홀츠 정리의 상관 관계이자 특별한 경우인 렘마 2-2를 소개합니다.

보조 2-2.^[5]^[6] $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ⊆ R 3 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb$ {R} ^{3}}를 라멜라 $벡터장$ F와 조각별 $매끄러운 고리 c$ 를 갖는 열린 부분집합이라고 하자: [0, 1] → U. 호모토피 H가 존재하는 $경우$ 점 p ∈ U를 다음과 같이 고정합니다: [0, 1] × [0, 1] → U.

[SC0] 조각처럼 매끄럽고
[SC1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ for all $s \in [0, 1]$ .

그리고나서,

\int_{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0

위의 보조정리 2-2는 정리 2-1로부터 이어집니다. 보조정리 2-2에서는 [SC0]에서 [SC3]을 만족하는 $H$ 의 존재가 중요합니다. 문제는 임의의 루프에 대해 이러한 호모토피를 취할 수 있는지 여부입니다. $U$ 가 단순히 연결되어 있으면, 그러한 $H$ 가 존재합니다. 단순히 연결된 공간의 정의는 다음과 같습니다.

정의 2-2(단순히 연결된 공간).^[5]^[6] $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ⊆ $Rn {\displaystyle$ M $\subseteq \mathbb$ {R} ^{n}}이 비어 있지 않고 경로 연결되어 있다고 가정합니다. 어떤 연속적인 고리에 대하여 $c : [0,$ 1] $\to$ $M$ 이 연속적인 관형 호모토피 H: [0, 1] × [0, 1] $\to$ c에서 고정점 p $\in$ c까지 M이 존재하는 경우에만 $M$ 을 단순 연결이라고 합니다. 즉,

[SC0'] $그$ 는 계속해서,
[SC1] $H (t, 0) = c (t)$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ for all $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ for all $s \in [0, 1]$ .

M이 단순히 연결되어 있다면 "보수적인 힘은 물체의 위치를 바꾸는 일은 경로에 무관하다"는 주장이 곧바로 뒤따르는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 단순 연결은 [SC1-3]을 만족하는 연속 호모토피의 존재만을 보장한다는 것을 기억하십시오. 대신 이러한 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 호모토피를 찾습니다.

다행히 규칙성의 차이는 휘트니의 근사 정리에 의해 해결됩니다.^[6]^{: 136, 421}^[11] 즉, 연속적인 호모토피를 찾을 수 있지만 그 위에서 적분할 수 없는 가능성은 실제로 고등 수학의 혜택으로 제거됩니다. 따라서 다음과 같은 정리를 얻을 수 있습니다.

정리 2-2.^[5]^[6] $U$ ⊆ R 3 ${\displaystyle$ U $\subseteq \mathbb$ {R} ^{3}}이 열려 있고 비회전 $벡터장$ F로 간단히 연결되어 있다고 가정합니다. 모든 조각별 매끄러운 루프에 대해 $c :$ [ $0,$ 1] → $U$

\int_{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0

맥스웰 방정식

전자기력 물리학에서 스톡스의 정리는 맥스웰-패러데이 방정식과 맥스웰-암페어 방정식의 미분 형식과 이 방정식들의 적분 형식의 동등성에 대한 정당성을 제공합니다. 패러데이 법칙의 경우 스토크스의 정리는 전기장 $\mathbf {E}$ ${\$ 에 적용됩니다 $\mathbf {E}$

\point_{\partial \Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\int_{\Sigma}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .

암페어의 법칙에서 스톡스의 정리는 자기장 $\mathbf {B}$ ${\$ 에 적용됩니다 $\mathbf {B}$

\point_{\partial \Sigma}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\int_{\Sigma}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .

메모들

^ $\Sigma =\psi (D)$ $\Sigma =\psi (D)$ $ψ$ ( $D)$ {\displaystyle \Si $\Sigma =\psi (D)$ m $\Sigma =\psi (D)$ \psi (D)}은 $\Sigma =\psi (D)$ psi {\displaysty $\Sigma =\psi (D)$ e \ψ}별로 D {\displaystyle D}의 이미지 $\psi$ 집합을 나타냅니다.
^ $\Gamma$ $루프 γ$ ${\$ displaystyle \ $}$ 이 $\Gamma$ 가) $\Gamma$ ${\$ displaystyle \gamma}과 $\psi$ 와) 잘 $상호$ 작용하지 않는 $\Gamma$ 경우 $\Gamma$ {\displaystyle \gamma}은(는) 조던 $\gamma$ 이 아닐 수 있습니다. $그럼$ 에도 불 $\Gamma$ 하고 $\Gamma$ γ {\displaystyle \Gamma}은(는) 항상 루프이며 위상적으로는 셀 수 없이 많은 조던 곡선의 연결된 합이므로 적분이 잘 정의됩니다.
^ 이 글에서. ${\displaystyle \mathbf {e}_{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{v}={\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}}.$ 벡터 분석에 관한 일부 교과서에서는 이러한 것들이 다른 것들에 할당되어 있습니다. 예를 들어, 일부 교과서의 표기법에서 { $e u v,$ e $}$ 는 각각 다음 { $t u v,$ t $}$ 를 의미할 수 있습니다. 그러나 이 기사에서는 이 두 가지는 완전히 다른 것입니다. $\mathbf {t}_{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial u}}\,\mathbf {t}_{v}={\frac {1}{h_{v}}{\partial \varphi}{\partial v}}$ 여기서, $h_{u}=\left\ {\frac {\partial \varphi}{\partial u}\right\,h_{v}=\left\ {\frac {\partial \varphi}{\partial v}\right\,$ $그리고$ "‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \cdot \ }"은 유클리드 표준을 나타냅니다.
^ 모든 ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ∈ $Rn {\displaystyle {\textbf {$ a}}, ${\textbf {$ b}}\in $\mathbb {$ R ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ n}에 대하여 $A;n\times n$ $A;n\times n$ $A;n\times n$ 에 $,$ n × n ${\displaystyle A;n\$ times n} 제곱 행렬, ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ $AB$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ = a T a {\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textb ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b} ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ 따라서 ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ A ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ = b ⋅ A {\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\text ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ f {b}={\textbf {b}\cdot A^{\mathsf {T}{\textbf {a}}}.
^ 이 글에서. $\mathbf {e}_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{2}={\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{3}={\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix}$ 벡터 분석에 관한 일부 교과서에서는 이러한 것들이 다른 것들에 할당되어 있습니다.
^ 정리 2-1의 의미로 호모토피와 호모토피라는 용어를 사용하는 교과서가 존재합니다.^[5] 실제로 이것은 보수 세력의 특정 문제에 매우 편리합니다. 그러나, 호모토피의 두 가지 사용 모두 충분히 자주 나타나서 명확하게 하기 위해서는 일종의 용어가 필요하며, 여기서 채택된 "관형 호모토피"라는 용어는 이를 위해 충분히 유용합니다.

참고문헌

^ Stewart, James (2012). Calculus – Early Transcendentals (7th ed.). Brooks/Cole Cengage Learning. p. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ 나가요시 이와호리 외.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou(jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1](Written in Japanese)
^ ^a ^b 후지모토 아츠오 "벡터-카이-세키 겐다이-가쿠 레쿠차즈. C(1)" 바이-푸-칸(jp)(1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (일본어로 작성)
^ Griffiths, David (2013). Introduction to Electrodynamics. Pearson. p. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Conlon, Lawrence (2008). Differentiable Manifolds. Modern Birkhauser Classics. Boston: Birkhaeuser.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Lee, John M. (2002). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer.
^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.
^ ^a ^b Robert Scheichl, University of Bath mathematics 과정 강의 노트 [3]
^ Colley, Susan Jane (2002). Vector Calculus (4th ed.). Boston: Pearson. pp. 500–3.
^ Edwards, Harold M. (1994). Advanced Calculus: A Differential Forms Approach. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
^ L. S. Pontryagin, Smooth 매니폴드들과 호모토피 이론에서의 그들의 응용, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathemathematical Society, Providence, R.I., 1959, pp. 1–114. MR0115178 (22 #5980 [4]). 정리 7과 8을 참조하십시오.

[imgg-7] $\Sigma =\psi (D)$ $\Sigma =\psi (D)$ $ψ$ ( $D)$ {\displaystyle \Si $\Sigma =\psi (D)$ m $\Sigma =\psi (D)$ \psi (D)}은 $\Sigma =\psi (D)$ psi {\displaysty $\Sigma =\psi (D)$ e \ψ}별로 D {\displaystyle D}의 이미지 $\psi$ 집합을 나타냅니다.

[cgamma-8] $\Gamma$ $루프 γ$ ${\$ displaystyle \ $}$ 이 $\Gamma$ 가) $\Gamma$ ${\$ displaystyle \gamma}과 $\psi$ 와) 잘 $상호$ 작용하지 않는 $\Gamma$ 경우 $\Gamma$ {\displaystyle \gamma}은(는) 조던 $\gamma$ 이 아닐 수 있습니다. $그럼$ 에도 불 $\Gamma$ 하고 $\Gamma$ γ {\displaystyle \Gamma}은(는) 항상 루프이며 위상적으로는 셀 수 없이 많은 조던 곡선의 연결된 합이므로 적분이 잘 정의됩니다.

[orf2-12] 이 글에서. ${\displaystyle \mathbf {e}_{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{v}={\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}}.$ 벡터 분석에 관한 일부 교과서에서는 이러한 것들이 다른 것들에 할당되어 있습니다. 예를 들어, 일부 교과서의 표기법에서 { $e u v,$ e $}$ 는 각각 다음 { $t u v,$ t $}$ 를 의미할 수 있습니다. 그러나 이 기사에서는 이 두 가지는 완전히 다른 것입니다. $\mathbf {t}_{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial u}}\,\mathbf {t}_{v}={\frac {1}{h_{v}}{\partial \varphi}{\partial v}}$ 여기서, $h_{u}=\left\ {\frac {\partial \varphi}{\partial u}\right\,h_{v}=\left\ {\frac {\partial \varphi}{\partial v}\right\,$ $그리고$ "‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \cdot \ }"은 유클리드 표준을 나타냅니다.

[naiseki-13] 모든 ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ∈ $Rn {\displaystyle {\textbf {$ a}}, ${\textbf {$ b}}\in $\mathbb {$ R ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ n}에 대하여 $A;n\times n$ $A;n\times n$ $A;n\times n$ 에 $,$ n × n ${\displaystyle A;n\$ times n} 제곱 행렬, ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ $AB$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ = a T a {\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textb ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b} ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ 따라서 ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ A ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ = b ⋅ A {\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\text ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ f {b}={\textbf {b}\cdot A^{\mathsf {T}{\textbf {a}}}.

[orf3-14] 이 글에서. $\mathbf {e}_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{2}={\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix}},\mathbf{e}_{3}={\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix}$ 벡터 분석에 관한 일부 교과서에서는 이러한 것들이 다른 것들에 할당되어 있습니다.

[TLH-16] 정리 2-1의 의미로 호모토피와 호모토피라는 용어를 사용하는 교과서가 존재합니다.^[5] 실제로 이것은 보수 세력의 특정 문제에 매우 편리합니다. 그러나, 호모토피의 두 가지 사용 모두 충분히 자주 나타나서 명확하게 하기 위해서는 일종의 용어가 필요하며, 여기서 채택된 "관형 호모토피"라는 용어는 이를 위해 충분히 유용합니다.

[1] Stewart, James (2012). Calculus – Early Transcendentals (7th ed.). Brooks/Cole Cengage Learning. p. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.

[iwahori-2] 나가요시 이와호리 외.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou(jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1](Written in Japanese)

[fujimno-3] 후지모토 아츠오 "벡터-카이-세키 겐다이-가쿠 레쿠차즈. C(1)" 바이-푸-칸(jp)(1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (일본어로 작성)

[4] Griffiths, David (2013). Introduction to Electrodynamics. Pearson. p. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.

[DTPO-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Conlon, Lawrence (2008). Differentiable Manifolds. Modern Birkhauser Classics. Boston: Birkhaeuser.

[lee-6] Lee, John M. (2002). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer.

[Jame-9] Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.

[bath-10] Robert Scheichl, University of Bath mathematics 과정 강의 노트 [3]

[11] Colley, Susan Jane (2002). Vector Calculus (4th ed.). Boston: Pearson. pp. 500–3.

[15] Edwards, Harold M. (1994). Advanced Calculus: A Differential Forms Approach. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.

[ptr-17] L. S. Pontryagin, Smooth 매니폴드들과 호모토피 이론에서의 그들의 응용, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathemathematical Society, Providence, R.I., 1959, pp. 1–114. MR0115178 (22 #5980 [4]). 정리 7과 8을 참조하십시오.

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목차

정리

증명

기초 증명

기초 증명의 첫 번째 단계(적분의 모수화)

기본 증명의 두 번째 단계(풀백 정의)

기초 증명의 세 번째 단계(두 번째 방정식)

기초 증명의 네 번째 단계(Green's theorem으로 축소)

미분 형식을 통한 증명

적용들

비회전장

헬름홀츠의 정리

헬름홀츠 정리의 증명

보수세력

맥스웰 방정식

메모들

참고문헌