미적분

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, 탄젠트 반각, 오일러) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
v t

수학에서 미적분은 양의 ^[1]변화 속도를 연구하는 미적분의 하위 분야이다.그것은 미적분학의 두 가지 전통적인 구분 중 하나이며, 다른 하나는 적분학, 즉 ^[2]곡선 아래 영역에 대한 연구입니다.

미적분학의 주요 연구 대상은 함수의 도함수, 미분과 같은 관련 개념, 그리고 그들의 응용이다.선택한 입력값에서 함수의 도함수는 해당 입력값 근처에서 함수의 변화율을 나타냅니다.미분을 찾는 과정을 미분이라고 한다.기하학적으로, 도함수는 도함수가 존재하고 그 점에 정의되어 있는 경우, 그 점에서의 도함수는 그 점의 함수의 그래프에 대한 접선의 기울기이다.단일 실변수의 실수값 함수의 경우, 한 점에서의 함수의 도함수는 일반적으로 그 점에서의 함수에 대한 최선의 선형 근사를 결정한다.

미적분과 적분은 미적분의 기본정리에 의해 연결되는데, 미적분은 적분의 역과정이다.

차별화는 거의 모든 양적 분야에 적용된다.물리학에서 시간에 대한 이동체 변위의 도함수는 물체의 속도이며, 시간에 대한 속도의 도함수는 가속도이다.시간에 대한 물체의 운동량의 도함수는 물체에 가해지는 힘과 같다; 이 도함수 문장의 재배열은 뉴턴의 운동 제2법칙과 관련된 유명한 F = ma 방정식으로 이어진다.화학반응의 반응속도는 유도체이다.운영 연구에서 파생상품은 자재를 수송하고 공장을 설계하는 가장 효율적인 방법을 결정합니다.

미분은 함수의 최대값과 최소값을 구하는 데 자주 사용됩니다.도함수를 포함하는 방정식은 미분 방정식이라고 불리며 자연 현상을 설명하는 데 기초적입니다.미분과 그 일반화는 복소해석, 함수해석, 미분기하학, 측도이론, 추상대수학과 같은 수학의 많은 분야에서 나타난다.

파생상품

접선의 f()){\displaystyle f())}의 지점에서 파생)={\displaystyle x=a}은 슬로프에(, f(를)){\displaystyle(a,f 것))}.[3] 위해서는 직감이 이, 한 먼절 알고를 찾는 것이 경사의 선형 방정식, 쓴 서식의 y)mx+b{\displaystyle.y=mx$+b$ 입니다.방정식의 기울기는 급경사이다.$임의$의 두 점을 선택하고$y의$를 x$(\displaystyle$ $x$$)$의 $변화$로 나누면 알 수 있습니다. 즉$,$ x(\$displaystyle {\text {}})$의 y $변화$의 ${\displaystyle \frac{기울기}{}}$ ${\displaystyle =}$ {\$text$${}}x$$}}$의 y $변화$입니다${\displaystyle .}$$style$ y$=-2x+13}$의 기울기는 ${\displaystyle -2}(\backslash$$displaystyle -2)$입니다(아래 다이어그램 참조).

${\displaystyle {{\text{}y}{\text{x}}}=superfrac {-6}{+3}=-2}$

${\displaystyle \frac{\text{간단히}}{}}$ 말하면 x$({$ in$$}}x}}})의 ${\displaystyle \frac{\text{y변화변화}}{}}$는 ${\displaystyle \frac{y}{}}$ y x$(\$ y$\}\})$로 표기되며,$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ $displaystyle${\$Delta$x$}$는 그리스 문자입니다.선형 방정식의 기울기는 일정하므로 경사가 어디에서나 동일하다는 것을 의미합니다.그러나 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2$({$ y$=x^{2$와 같은 많은 그래프는 경사가 다르다.즉, 더 이상 임의의 두 점을 선택하여 기울기를 계산할 수 없습니다.대신, 그래프의 기울기는 접선(^[a]특정 점에 '딱 닿은' 선)을 고려하여 계산할 수 있습니다.특정 점에서의 원곡선의 기울기는 해당 점에 대한 접선의 기울기와 같습니다.예를 들어 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2$({$의 경우 접선의 ${\displaystyle \mathrm{기울기}}$가 4({$displaystyle$ 4$})$이므로 x ${\displaystyle =}$2({$displaystyle$ x$=2})$에서 기울기는 4$({displaystyle$ 4$\})$입니다.

함수의 도함수는 단순히 이 ^[b]접선의 기울기가 됩니다.접선은 접선의 한 점에만 닿아도 두 점을 통과하는 선으로 근사할 수 있습니다.이것은 세컨트 회선이라고 불립니다.분할선이 통과하는 두 점이 서로 가까운 경우 분할선은 접선과 매우 유사하며 결과적으로 기울기도 매우 유사합니다.

보조선을 사용하면 기울기를 직접 계산할 수 있다는 장점이 있습니다.그래프상의${\displaystyle }$2개의 포인트($x$ ${\displaystyle ,f}$ (${\displaystyle x}$ )$$、 {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$($$x$ ,$$${\displaystyle f}$($x$ , f ( x + $and$ x )$$） $({\displaystyle }$ ( ( ( ($$x + $Delta x$, f ( x + \ $Delta$x )$$。여기서 ${\displaystyle \delta }$ ${\$ {\ {\ {\ ${\$ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$deldel$ \ $displaystyle$ \ $Delta$x )는$$ 작은 숫자입니다.$이$ 두 점을 지나는 선의 기울기는 이전과 같이 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$ y ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$x {\$displaystyle$}$$=$fr$ frac {\$Delta$ y} {\$Delta$ x$}$= fr frac {\Delta x} . ${\displaystyle \text{the}}$ the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the이것으로 알 수 있다.

${\displaystyle {\text{f}}=f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

${\displaystyle \delta }$x$(\displaystyle$ \$Delta$x)가$$ 0$(\displaystyle$ 0$)$에 가까워질수록 세컨트 라인의 기울기는 접선의 기울기에 점점 가까워집니다.이것은 정식으로 라고 쓰여 있다.

$\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

위 식은 '${\displaystyle \delta }$x \$displaystyle \Delta$x}가$$ 0에 가까워질수록 세컨트 라인의 기울기가 점점 더 특정 값에 가까워진다'를 의미합니다.접근 중인 값은 f$)$ {$displaystyle$ f$(x$의 도함수입니다. f$($ {$displaystyle$ $y=$$f($x$)\}$인 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{도함수}}{}}$는$displaystyle$과$displaystyle {dy}$로도 $쓸$수 있습니다.미미한 변화예를 들어 d $(\displaystyle$ dx$)$는 ^[c]x의 미세한 변화를 나타냅니다$$.요약하면 y ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ y =$f(x$인 경우${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ f$(x)}$의 도함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {frac}{dy}=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

그러한 제한이 ^[4][d]있는 한.따라서 우리는 함수의 도함수를 적절하게 정의하는데 성공했는데, 이는 '접선의 기울기'가 이제 정확한 수학적 의미를 가지고 있다는 것을 의미한다.위의 정의를 사용하여 함수를 미분하는 것을 제1원칙과의 미분이라고 합니다.다음은 첫 번째 원리와의 차이를 사용하여 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2({$displaystyle$ y$=x^{2})$의 도함수가 $({displaystyle 2x$$임$을 증명하는 것입니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{퇴적물의 일종}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta))-f())}{\Delta)}}\\&, =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac{{2(x+\Delta))^}-x^{2}}{\Delta)}}\\&,=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac{{2x^}+2x\Delta x+(\Delta))^{2}-x^{2}}{\Delta)}}\\&, =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac{2x\Delta x+(\Delta))^{2}}{\Delta)}}\\&amp을 말한다.=\lim_{\Delta)0}2x+\Delta x\\end{aligned}}$

${\displaystyle \delta }$x \ $displaystyle$\$Delta$x $appro$$$、 0 （ $displaystyle$ 0$）$ 、 $2{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \delta }$ x$$（ $displaystyle 2x$+ \ $Delta$x$$） 。${\displaystyle \frac{\mathrm{따라서}}{}}$ d y ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle 2}$x \ $displaystyle$\ $frac${$dy$} =$2x$입니다.이 증명은 d${\displaystyle \frac{(}{}}$n) ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle n^{}}$x ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$ -$$ { $displaystyle${$frac { d$ ($ax$^ { $n$} } { }}}} = $display$ $style$ a$$$}$$및{\displaystyle }$ n { $display style$ n$$}이 상수이면 $일반화$할 수 있습니다.이를 멱함수규칙이라고 합니다.$예$를 들어 ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$( 5 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}4}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5}$( ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x$$ ( \ $displaystyle$\$frac${ $d}$ ( 5 $x$^ { 4$$} ) =$$5 ( 4 ) x ^ { $3$}$$$=$5 ( 4 ) x ^ { 3 } = 5 ( 4 )x 。다항식 함수만큼 쉽게 구분할 수 없기 때문에 때때로 파생 함수를 찾기 위해서는 추가적인 기술이 필요합니다.이러한 기법에는 체인 규칙, 곱 규칙 및 몫 규칙이 포함됩니다.다른 기능은 전혀 차별화 할 수 없기 때문에 차별화라는 개념이 생겨났습니다.

함수의 도함수와 밀접하게 관련된 개념은 미분이다.x와 y가 실수 변수일 때, x에서 f의 도함수는 x에서 f의 그래프에 대한 접선의 기울기입니다. f의 소스와 대상은 1차원이기 때문에 f의 도함수는 실수입니다.x와 y가 벡터인 경우 f 그래프에 대한 최선의 선형 근사는 f가 한 번에 여러 방향으로 어떻게 변화하느냐에 따라 달라집니다.단일 방향으로 최고의 선형 근사는 것은 보통 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output .sfra .mw-parser-output 표시됩니다. 부분적인 파생물에 좌우된다.C.den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂y/∂x.모든 방향에서 동시에 f를 선형화하는 것을 전체 도함수라고 한다.

차별화 이력

접선의 의미에서 도함수의 개념은 매우 오래된 개념으로 유클리드(기원전 300년경), 아르키메데스(기원전 287년경–212년경), 페르가의 아폴로니우스(기원전 262~190년경)^[5]와 같은 그리스 기하학자들에게 친숙하다.아르키메데스는 또한 불가분성을 사용했지만, 이것들은 주로 도함수와 접선보다 영역과 부피를 연구하는 데 사용되었다.

천문학자이자 수학자인 아리아바타(^[6]476–550)가 달의 궤도를 연구하기 위해 극소수를 사용했을 때 변화의 속도를 연구하기 위해 극소수를 사용하는 것은 아마도 서기 500년 전에 인도 수학에서 발견될 수 있다.변화율을 계산하기 위해 무한소수를 사용하는 것은 바스카라 2세(114–1185)에 의해 크게 개발되었다; 사실, "롤의 정리"^[8]와 같은 그의 연구에서 미적분의 많은 핵심 개념들을 찾을 수 있다고 주장되어^[7] 왔다.

수학자 샤라프 알-던 알-투수(1135–1213)는 그의 방정식에 관한 논문에서 적절한 입방정식의 최대값을 구함으로써 일부 입방정식이 해를 가질 수 있는 조건을 확립했다.예를 들어, 그는 입방체² 축 – x의 최대값(양수 x의 경우)이³ x = 2a / 3일 때 발생한다는 것을 알아냈고, 이를 통해 등식² 축 = x³ + c는 c = 4a³ / 27일 때 정확히 하나의 양의 해와 0 < c < 4a³ / ^{[9][page needed]}27일 때마다 두 개의 양의 해를 갖는다는 결론을 내렸다.과학사학자 Roshdi ^{[9][page needed]}Rashed는 알-투시가 이 결과를 얻기 위해 입방체의 도함수를 사용했을 것이라고 주장했다.그러나 Rashed의 결론은 함수의 도함수를 ^{[9][page needed]}알 필요가 없는 다른 방법으로 결과를 얻을 수 있었다고 주장하는 다른 학자들에 의해 논쟁되어 왔다.

미적분의 현대적 발전은 보통 아이작 뉴턴 (1643–1727)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 (1646–1716)가 미분과 미분에 대한 독립적이고 통일된 접근을 제공했다고^[e] 여겨진다.그러나 그들에게 이 공로를 안겨준 핵심 통찰력은 미분과 적분 관련 미적분의 기본 정리였다: 이것은 이븐 알-헤이삼(알하젠)^[10] 시대 이후 유의하게 확장되지 않았던 영역과 ^[f]부피를 계산하는 가장 오래된 방법들이 되었다.도함수에 대한 그들의 아이디어로, 뉴턴과 라이프니츠는 피에르 드 페르마 (1607년-1665년), 아이작 바로 (1630년-1677년), 르네 데카르트 (1596년-1650년), 크리스티안 휘겐스 (1629년-1695년), 블레이즈 파스칼 (1662년)와 같은 수학자들의 중요한 초기 연구를 바탕으로 만들었다.페르마의 영향에 대해 뉴턴은 편지에서 "나는 페르마의 접선을 그리는 방식에서 이 방법의 힌트를 얻었고, 그것을 추상 방정식에 직접적, 역적으로 적용함으로써 그것을 ^[11]일반화했다"고 쓴 적이 있다.Isaac Barrow는 일반적으로 ^[12]파생상품의 초기 개발에 대한 공로를 인정받는다.그럼에도 불구하고, 뉴턴과 라이프니츠는 미분화의 역사에서 중요한 인물로 남아 있는데, 이는 뉴턴이 이론 물리학에 최초로 미분화를 적용한 반면 라이프니츠는 체계적으로 오늘날에도 여전히 사용되는 표기법의 대부분을 발전시켰기 때문이다.

17세기 이래로 많은 수학자들이 미분 이론에 기여해 왔다.19세기에 오귀스틴 루이 코시 (1789–1857), 베른하르트 리만 (1826–1866), 칼 바이어슈트라스 (1815–1897)와 같은 수학자들에 의해 미적분은 훨씬 더 엄격한 기초 위에 올려졌다.유클리드 공간과 복소평면으로 미분이 일반화 된 것도 이 시기였다.

파생상품의 적용

최적화

f가 δ(또는 오픈 인터벌)에서 미분 가능한 함수이고 x가 로컬 최대값 또는 로컬 최소값 f인 경우 x에서의 f의 도함수는 0입니다.f'(x) = 0인 점을 임계점 또는 정지점이라고 합니다(x에서 f의 값을 임계치라고 합니다).f가 모든 면에서 구별 가능하다고 가정하지 않는 경우, f가 구별되지 않는 지점도 임계점으로 지정된다.

f가 두 배 미분 가능한 경우, 반대로 f의 임계점 x는 x에서 f의 두 번째 도함수를 고려함으로써 분석할 수 있다.

• 양수일 경우 x는 로컬 최소값이다.
• 음수인 경우 x는 국소 최대값이다.
• 0이면 x는 국소 최소값이나 국소 최대값이 될 수 있습니다. (예를 들어, f(x) = x는³ x = 0에 임계점이 있지만, f(x) = ± x는⁴ x = 0에 임계점이 있고, 각각 최소값과 최대값이 있습니다.)

이것은 두 번째 미분 검정이라고 불립니다.첫 번째 파생 검정이라고 불리는 대안적 접근법은 임계점의 각 측면에서 f' 부호를 고려하는 것이다.

따라서 미분을 취하여 임계점을 해결하는 것은 종종 최적화에 유용할 수 있는 국소 최소값 또는 최대값을 찾는 간단한 방법입니다.극단값 정리에 따르면 닫힌 간격의 연속함수는 최소값과 최대값을 적어도 한 번 달성해야 한다.함수가 미분 가능한 경우 최소값과 최대값은 임계점 또는 끝점에서만 발생할 수 있습니다.

이것은 그래프 스케치에도 적용된다. 미분 가능한 함수의 국소 최소값과 최대값이 발견되면, 그래프의 대략적인 플롯은 임계점 사이에서 증가하거나 감소한다는 관찰로부터 얻을 수 있다.

고차원에서 스칼라 값 함수의 임계점은 구배가 0인 지점이다.두 번째 도함수 테스트는 임계점에서 함수의 두 번째 부분 도함수의 헤시안 행렬의 고유값을 고려하여 임계점을 분석하는 데 여전히 사용될 수 있다.모든 고유값이 양수이면 점이 로컬 최소값이 되고 음수이면 로컬 최대값이 됩니다.일부 양의 고유값과 일부 음의 고유값이 있는 경우 임계점은 "안장점"이라고 하며, 이러한 경우 중 어느 것도 유지되지 않으면(즉, 일부 고유값은 0) 테스트는 결정적이지 않은 것으로 간주한다.

변분법

최적화 문제의 한 가지 예는 곡선이 표면에도 존재해야 한다고 가정할 때 표면상의 두 점 사이의 최단 곡선을 찾는 것입니다.표면이 평면일 경우 가장 짧은 곡선은 선입니다.그러나 표면이 예를 들어 달걀 모양이라면 최단 경로는 즉시 명확하지 않습니다.이러한 경로를 측지학이라고 합니다변형 계산의 가장 근본적인 문제 중 하나는 측지학을 찾는 것입니다.또 다른 예는: 공간의 닫힌 곡선에서 가장 작은 면적 표면 채우기를 찾는 것입니다.이 표면은 최소 표면이라고 불리며, 변이의 미적분을 사용하여 찾을 수 있다.

물리

미적분은 물리학에서 매우 중요하다: 많은 물리적 과정은 미분 방정식이라고 불리는 도함수와 관련된 방정식으로 설명된다.물리학은 특히 시간이 지남에 따라 양이 변화하고 발전하는 방식에 관심을 가지고 있으며, "시간 파생"의 개념은 몇 가지 중요한 개념의 정확한 정의에 필수적입니다.특히, 물체의 위치의 시간 도함수는 뉴턴 물리학에서 중요하다.

• 속도는 물체의 변위(원래 위치로부터의 거리)의 미분이다.
• 가속도는 물체의 속도(시간에 관한)에 대한 파생물, 즉 물체의 위치에 대한 두 번째 파생물입니다.

예를 들어, 선에서 객체의 위치가 다음과 같이 지정되는 경우

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\!}$

그러면 물체의 속도는

${\displaystyle {x}(t)=x'(t)=-32t+16,\!}$

그리고 그 물체의 가속도는

${\displaystyle {x}(t)=x'(t)=-32,\!}$

항상 그렇지요.

미분 방정식

미분방정식은 함수의 집합과 그 도함수 간의 관계이다.상미분방정식은 한 변수의 함수를 해당 변수와 관련된 미분방정식이다.편미분방정식은 둘 이상의 변수의 함수와 그 편미분을 관련짓는 미분방정식이다.미분방정식은 자연과학, 수학적 모델링 및 수학 자체에서 자연적으로 발생한다.예를 들어, 가속도와 힘의 관계를 설명하는 뉴턴의 제2법칙은 상미분방정식이라고 할 수 있다.

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}.}$

하나의 공간 변수에서 열이 직선 막대를 통해 확산되는 방식을 설명하는 열 방정식은 편미분 방정식입니다.

${\displaystyle {\frac u} = \alpha {\frac ^{2}u} {\frac x^{2}}.}$

여기서 u(x,t)는 위치 x 및 시간 t에서의 막대 온도이고 α는 막대기를 통해 열이 얼마나 빨리 확산되는지에 따라 달라지는 상수입니다.

평균값 정리

평균값 정리는 도함수의 값과 원래 함수의 값 사이의 관계를 제공합니다.f(x)가 실수값 함수이고 a와 b가 a < b인 숫자일 경우, 평균값 정리는 경미한 가설 하에서 두 점(a, f(a)와 (b, f(b)) 사이의 기울기는 a와 b 사이의 어떤 점 c에 대한 탄젠트선의 기울기와 같다고 말한다.바꿔 말하면

${\displaystyle f'(c)=param frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

실제로, 평균값 정리가 하는 것은 함수의 도함수 측면에서 함수를 제어하는 것입니다.예를 들어, f의 도함수가 각 점에서 0이라고 가정합니다.즉, 접선이 모든 점에서 수평이므로 함수도 수평이어야 합니다.평균값 정리는 이것이 참이어야 한다는 것을 증명합니다.f 그래프에서 두 점 사이의 기울기는 f의 접선 중 하나의 기울기와 같아야 합니다.이러한 기울기는 모두 0이므로 그래프의 한 지점에서 다른 점으로 가는 선에도 기울기가 0이 됩니다.단, 함수는 상하로 이동하지 않기 때문에 반드시 수평선이어야 합니다.도함수에 대한 조건이 더 복잡할수록 원래 함수에 대한 정확도는 떨어지지만 여전히 유용한 정보를 얻을 수 있습니다.

테일러 다항식과 테일러 급수

도함수는 주어진 지점에서 함수의 가능한 최선의 선형 근사치를 제공하지만, 이것은 원래 함수와 매우 다를 수 있습니다.근사를 개선하는 한 가지 방법은 2차 근사를 취하는 것입니다.즉, x점에서₀ 실수값 함수 f(x)의 선형화는 선형 다항식 a + b(x₀ - x)이며, 2차 다항식 a + b(x₀ - x) + c(x - ²x₀)를 고려함으로써 더 나은 근사치를 얻을 수 있을 것이다.더 좋은 방법은 입방체 다항식 a + b(x₀ - x) + c(x - ²x₀) + d(x - ³x₀)일 수 있으며, 이 아이디어는 임의로 높은 차수의 다항식으로 확장될 수 있다.이러한 각 다항식에 대해 근사치를 최대한 좋게 하는 계수 a, b, c 및 d의 최선의 선택이 있어야 한다.

x₀ 근방에서 최선의 선택은 항상 f(x₀)이며, b의 경우 항상 f'(x₀)이다.c, d 및 고차 계수의 경우, 이러한 계수는 f'(x₀)/2의 높은 도함수에 의해 결정된다. c는 항상 f''(x₀)/3!이어야 한다.이 계수를 사용하면 Taylor 다항식이 f가 됩니다.차수 d의 테일러 다항식은 f에 가장 가까운 차수 d의 다항식이며, 그 계수는 위의 공식의 일반화에서 찾을 수 있다.테일러의 정리는 근사치가 얼마나 좋은지에 대한 정확한 경계를 제시한다.f가 d보다 작거나 같은 차수의 다항식이라면 d도의 테일러 다항식은 f와 같다.

테일러 다항식의 한계는 테일러 급수라고 불리는 무한 급수이다.Taylor 시리즈는 종종 원래 함수에 대한 매우 좋은 근사치입니다.Taylor 급수와 동일한 함수를 분석 함수라고 합니다.불연속부나 날카로운 모서리가 있는 함수는 해석할 수 없으며, 또한 해석할 수 없는 부드러운 함수도 존재한다.

암묵적 함수 정리

원과 같은 일부 자연 기하학적 모양은 함수의 그래프로 그릴 수 없습니다.예를 들어 f(x, y) = x² + y² - 1이면 f(x, y) = 0인 모든 쌍(x, y)의 집합입니다. 이 집합은 f의 0 집합이라고 하며, 포물선인 f의 그래프와 같지 않습니다.암묵적 함수 정리는 f(x, y) = 0과 같은 관계를 함수로 변환한다.f가 연속적으로 미분 가능한 경우, 대부분의 점 주변에서 f의 0 집합은 함께 붙여진 함수의 그래프처럼 보인다는 것을 나타냅니다.이것이 사실이 아닌 점은 f의 도함수 조건에 의해 결정된다.예를 들어, 원은 두 함수 ± δ1² - x의 그래프에서 함께 붙여넣을 수 있습니다. (-1, 0)과 (1, 0)을 제외한 원의 모든 점 근처에서 이 두 함수 중 하나는 원과 같은 그래프를 가집니다.(이 두 함수는 (-1, 0)과 (1, 0)도 충족하지만 암묵적 함수 정리에 의해 보장되지는 않습니다.)

함수의 암묵적 정리는 역함수 정리와 밀접하게 관련되어 있는데, 역함수 정리는 함수가 함께 붙여진 역함수의 그래프처럼 보일 때를 말한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 미분(계산)
• 수치미분
• 차별화 기술
• 미적분 목록
• 미분 표기법
• 수학 포털

메모들

레퍼런스

인용문

인용된 작품

• Berggren, J. L. (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat". Journal of the American Oriental Society. 110 (2): 304–309. doi:10.2307/604533. JSTOR 604533.

기타 소스

• J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. p. 1.