이상(순서 이론)
Ideal (order theory) |
수학적 순서 이론에서 이상은 부분적으로 순서가 정해진 집합(포셋)의 특별한 부분집합이다.역사적으로 이 용어는 추상대수의 고리 이상 개념에서 유래되었지만, 이후 다른 개념으로 일반화되었다.이상들은 질서정연하고 격자 이론에 있어서 많은 건축에 있어서 매우 중요하다.
기본 정의
다음과 같은 조건이 유지된다면 부분적으로 주문한 집합(P, ≤)의 부분집합 I이 이상적이다.[1][2]
- 나는 비어있지 않다.
- P의 I와 y의 모든 x에 대해 y ≤ x는 y가 I에 있음을 암시한다(나는 하위 집합이다).
- 모든 x, y in I에는 x ≤ z와 y ≤ z와 같은 요소 z가 있다(나는 지시된 집합이다).
이것은 임의 포셋에 대한 이상을 정의하는 가장 일반적인 방법이지만, 원래는 격자 전용으로 정의되었다.이 경우 다음과 같은 동등한 정의를 내릴 수 있다: 격자(P, ≤)의 부분집합 I은 유한 결합(수퍼레마)에 따라 닫히는 하한 집합인 경우에만 이상적이다. 즉, 비고 모든 x, y의 경우 P의 원소 ∨ x도 I에 있다.[3]
원소 이상에 대한 이중 개념, 즉 ≤을 모두 뒤집고 과(와) displaystyle \ 을(를) 교환하여 얻은 개념은 필터다.
(와) 
어떤 저자들은 이상적인 용어를 낮은 집합(즉, 위의 조건 2만 포함)을 의미하는 데 사용하는 반면,[4][5] 다른 저자들은 이 약한 개념에 이상적인 용어를 사용한다.[6]정의가 약하면 포셋으로 보이는 격자의 이상은 결합 아래에서 닫히지 않기 때문에 반드시 격자의 이상이라고 할 수 없다.[6]위키피디아는 혼란을 피하기 위해 "이상/필터 (순서가론)"와 "하위/상위 세트"만 사용한다.
프링크 이상, 사이비 이상, 도일 사이비 이상 등은 격자 이상 개념의 다른 일반화다.
이상이나 필터가 전체 세트 P와 같지 않으면 적당하다고 한다.[3]
주어진 요소 p를 포함하는 가장 작은 이상은 주요한 이상이고 p는 이 상황에서 이상에 대한 주요 요소라고 한다.따라서 주체 p에 대한 주 이상 p 은(는) ↓ p = {x ∈ P x ≤ p}로 주어진다.
프라임 이상
이상에 대한 중요한 특별한 경우는 설정-이론적 보완이 필터인 이상(즉, 역순의 이상)에 의해 구성된다.그러한 이상을 프라임 이상이라고 한다.또한 우리는 이상과 필터가 비어있지 않도록 요구하기 때문에, 모든 주요한 이상은 반드시 적절하다는 것을 주목하라.선반에서 주요 이상은 다음과 같이 특징 지을 수 있다.
격자(P, ≤)의 부분집합 I은 다음과 같은 경우에 한하여 주요한 이상이다.
- 나는 P의 적절한 이상이다.
- P의 모든 원소 x와 y에 대해, I의 는 x ∈ I 또는 y ∈ I을 의미한다.
이것은 P \ I가 필터(이중적 의미에서도 prime이 된다)라고 말하는 것과 실제로 동등하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
완전한 격자로는 완전히 가장 이상적인 이상에 대한 추가 개념이 의미가 있다.임의의 집합 A의 충족(최소)이 I에 있을 때마다 A의 일부 요소도 I에 있는 추가 속성을 가진 적절한 이상 I로 정의된다.따라서 이것은 위의 조건을 무한대 만남으로 확장하는 특정한 원시적 이상일 뿐이다.
프라임 이상(primary idea)의 존재는 일반적으로 명백하지 않으며, ZF(Zermelo-Fraenkel set orse) 내에서 만족할 만한 양의 프라임 이상을 도출할 수 없는 경우가 많다(선택의 공리 없이 Zermelo-Fraenkel set 이론).이 문제는 다양한 주요 이상적 이론에서 논의되며, 이는 주요 이상을 필요로 하는 많은 적용에 필요하다.
최대 이상
이상 I는 적절하고 I의 엄격한 상위 집합인 적절한 이상 J가 없다면 최대값이다. 마찬가지로 F 필터는 적절하고 엄격한 상위 집합인 적절한 필터가 없으면 최대값이다.
포셋이 분배 격자일 때, 최대 이상과 필터는 반드시 가장 중요한 반면, 이 진술의 반대는 일반적으로 거짓이다.
막시멀 필터는 울트라필터라고 부르기도 하지만, 이 용어는 부울알헤브라를 위해 종종 예약되어 있는데, 여기서 최대필터(이상)는 부울대수의 각 원소 a에 대해 정확히 {a, aa} 원소의 하나를 포함하는 필터(이상)이다.부울 알헤브라스에서 원시 이상과 최대 이상이라는 용어가 일치하며, 원시 필터와 최대 필터라는 용어가 일치한다.
이상에 대한 최대성에 대한 또 다른 흥미로운 개념이 있다: 이상 I과 필터 F를 고려해서 나는 F와 분리된다.우리는 I를 포함하고 F와 분리되어 있는 모든 이상들 중에서 최대인 이상적인 M에 관심이 있다.분배 격자의 경우 그러한 M은 항상 주요한 이상이다.이 진술의 증거는 다음과 같다.
이상적인 M은 필터 F와의 절연성과 관련하여 최대치라고 가정한다.M이 prime이 아니라는 모순에 대해, 즉, a와 b의 한 쌍이 존재한다고 가정해 보자. 즉, m에는 b b가 있지만 m에는 a와 b가 없다.M의 모든 m에 대해 m ∨ a가 F에 없는 경우를 고려한다.이 형태의 모든 이항 결합 세트의 하향 폐쇄를 취함으로써 이상적인 N을 구성할 수 있다. 즉, 일부 m ∈ M에 대해서는 N = { x x ≤ m ∨ a. N이 확실히 M보다 큰 F로부터 이상적인 분리임을 쉽게 확인할 수 있다.그러나 이것은 M의 최대성 및 따라서 M이 원시적이지 않다는 가정과 모순된다.
다른 경우에는 M에 m with a가 F에 있는 m이 있다고 가정한다.이제 만약 M의 어떤 원소 n이 n ∨ b가 F에 있는 것과 같다면, 사람은 (m ∨ n) ∨ b와 (m ∨ n) ∨ a가 둘 다 F에 있다는 것을 알게 된다.그러나 그들의 만남은 F에 있고, 분배성에 의해, (m ∨ n) ∨ (a ∧ b)도 F에 있다.한편, 이러한 M 원소의 유한 결합은 분명히 M에 있으므로, n의 가정된 존재는 두 세트의 해체와 모순된다.따라서 M의 모든 원소 n은 F에 없는 b와 결합한다.결과적으로 F와 분리되는 동안 M보다 절대적으로 큰 이상을 얻기 위해 a 대신에 위의 구성을 적용할 수 있다.이것으로 증명이 끝났다.
그러나 일반적으로 이러한 의미에서 최대치인 이상 M이 존재하는지 여부는 명확하지 않다.그러나, 만약 우리가 세트 이론에서 선택의 공리를 가정한다면, 모든 분리 필터-이상-페어에 대한 M의 존재가 보여질 수 있다.고려된 순서가 부울대수인 특별한 경우, 이 정리를 부울 프라임 이상 정리라고 한다.그것은 선택의 공리보다 엄격히 약하며, 이상에 대한 많은 질서이론적 적용에 더 이상 필요한 것이 없다는 것이 밝혀졌다.
적용들
이상과 필터의 구성은 질서 이론의 많은 적용에서 중요한 도구다.
- 부울알헤브라에 대한 스톤의 표현 정리에서, 최대 이상(또는 부정 지도를 통해 동등하게, 초 여과기)은 토폴로지 공간의 점 집합을 얻기 위해 사용되며, 이 점들의 클론 집합은 원래의 부울 대수에 이형이다.
- 오더 이론은 포셋을 추가적인 완성 특성을 가진 포셋으로 바꾸기 위해 많은 완성 절차를 알고 있다.예를 들어, 주어진 부분 순서 P의 이상적인 완성은 부분집합에 의해 정렬된 P의 모든 이상들의 집합이다.이 시공은 P에 의해 발생되는 자유 dcpo를 산출한다.이상적인 완성에서 콤팩트한 경우에만 원형이므로 원래의 포셋은 콤팩트 원소로 구성된 서브 포셋으로 회수할 수 있다.게다가, 모든 대수 dcpo는 그것의 콤팩트한 요소들의 이상적인 완성으로 재구성될 수 있다.
역사
이상은 추상대수의 고리 이상에서 이름을 따온 마샬 H. 스톤에 의해 먼저 소개되었다.그가 이 용어를 채택한 이유는 부울알헤브라와 부울링의 범주의 이형성을 이용하여 두 개념은 실제로 일치하기 때문이다.
문학
이상과 필터는 질서 이론의 가장 기본적인 개념에 속한다.순서 이론과 격자 이론에 대해 주어진 입문서와 부울 프라임 이상 정리에 관한 문헌을 보라.
참고 항목
메모들
- ^ 테일러(1999), 페이지 141: "Poset X의 지시된 하위 부분집합을 이상이라고 부른다."
- ^ Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. p. 3. ISBN 0521803381.
- ^ 로슨(1998), 페이지 22
- ^ 스탠리(2002년), 페이지 100
- ^ a b Davey & Priestley 2002, 페이지 20, 44.
참조
- Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
- Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
- Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.
- Stanley, R.P. (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66351-9.
- Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, MR 1694820
