웰 준주문

수학에서, 특히 순서론, 또는 wqo은 quasi-ordering은 x0x1x2X{X\displaystyle}에서 나온 요소를,…{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots}의 어떤 무한 수열 나는 ≤ 증가하는 쌍 x)j(x_{j}}가 들어 있는 나는 &lwell-quasi-ordering.t;$j[\displaystyle$ i

동기

근거가 충분한 유도는 근거가 있는 관계가 있는 어떤 세트에도 사용할 수 있기 때문에 준주문이 근거가 있는 경우에 관심이 있다.(여기서 용어 남용에 의해 해당 엄격한 순서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nleqq }$ ${\displaystyle x}$ { x { x { x$${ x \$displaystyle x \$land y\$nleq$ x}이(가) 근거가$$ 충분한 관계인 경우 quasiorer $\le {\displaystyle }${\$displaystysty \$$land y\nleq$ x$}$이(가)라고$$ 한다.)그러나 근거가 충분한 준주문 등급은 특정 운영 하에서 폐쇄되지 않는다. 즉, 준주문을 사용하여 원래 집합에서 파생된 일련의 구조물에 새로운 준주문을 획득할 때 이 준주문 등급은 근거가 충분하지 않은 것으로 확인된다.원래의 잘 근거한 퀘이셔닝에 더 강력한 제약을 가함으로써, 우리는 우리가 도출한 퀘이셔닝이 아직 충분히 근거가 있음을 확신할 수 있기를 희망할 수 있다.

그 예로는 전원 세트 운영이 있다.Given a quasiordering ${\displaystyle \leq }$ for a set ${\displaystyle X}$ one can define a quasiorder ${\displaystyle \leq ^{+}}$ on ${\displaystyle X}$'s power set ${\displaystyle P(X)}$ by setting ${\displaystyle A\leq ^{+}B}$ if and only if for each element of ${\dis$$playstyle A}$ one can find some element of ${\displaystyle B}$ that is larger than it with respect to ${\displaystyle \leq }$. One can show that this quasiordering on ${\displaystyle P(X)}$ needn't be well-founded, but if one takes the original quasi-ordering to be a well-quasi-ordering, then it is.

형식 정의

A well-quasi-ordering on a set ${\displaystyle X}$ is a quasi-ordering (i.e., a reflexive, transitive binary relation) such that any infinite sequence of elements ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$ from ${\displaystyle X}$ contains an increasing pair ${\displaysty$< j ${\displaystyle i<j$와 함께 l $x_{i}\leq x_{j}.$세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 잘 주문되거나 곧 wqo인 것으로 알려졌다.

웰 부분 순서, 즉 wpo는 적절한 순서 관계인 wqo, 즉 대칭이다.

wqo를 정의하는 다른 방법들 중에서 하나는 무한히 감소하는 시퀀스($형식$ 0> x > $2$ >$⋯)$를 포함하지 않는 준순서나 쌍과 비할 수 없는 원소의 무한순서가 포함되어 있지 않다고 하는 것이다^[1]따라서 준순서(X, ≤)는 (X, <) 근거가 충분하고 무한한 반점이 없는 경우에만 wqo이다.

예

• ${\displaystyle (N\mathbb{}}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (\mathb {N} ,\leq )}$은$($는) 표준 순서가 있는 자연수 집합으로, 상당히 부분 순서(사실 순서가 잘 되어 있다.그러나${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (\mathb {Z} ,\leq )}$양수와 음의 정수의 집합은 근거가 부족하기 때문에 잘 준순서가 아니다(Pic.1 참조).
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\mathb {N}$, $)}$은$($는) 불분명한 자연수의 집합으로 잘 준순서가 아니다: 소수들은 무한 반차이다(Pic.2 참조).
• ${\displaystyle ({\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\le }$) ${\displaystyle (\mathb {N} ^{k},\leq$ $)\},$ $성분{\displaystyle }$ 순서별로 k ${\displaystyle k}$ 자연수$$($여기$서 k ${\\displaystyle k}$은 유한)의 벡터 집합은 잘 부분 순서(Dickson의 보조정리; Pic.3 참조)이다.보다 일반적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$이(가) 잘 준순서인 경우$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X^{}}$ k ,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$) ${\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})$ 또한 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty$ k$}$에 대해 잘 준순서가 된다$$$.$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 최소 두 개의 요소가 있는 임의의 유한 집합으로$$ 두십시오.The set ${\displaystyle X^{*}}$ of words over ${\displaystyle X}$ ordered lexicographically (as in a dictionary) is not a well-quasi-order because it contains the infinite decreasing sequence ${\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots }$. Similarly, ${\displaystyle X^{*}}$ ordered by 이전의 순서는 이 부분 순서에 대한 무한 반칙이기 때문에 접두사 관계는 잘 배열된 순서가 아니다.단, 부분관계로${\displaystyle {}^{}}$주문한$$X $display${\$displaystyle$ X$^{*}$은(X ${\displaystyle X}$에 원소가 하나만 있으면$$ 이 세 부분순서가 동일함)^[1]
• 보다 일반적으로${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\le }$) ${\displaystyle (X^{*},\leq$ $)\},$ 임베딩으로 정렬된 유한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}-$시퀀스$$ 집합은 $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle$(X$,\leq )}$이(가)가 잘 준주문된 경우에만 잘 준주문이다.$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$과(와) 길이가 같고$$ 용어로 지배하는$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 하위 집합을 찾아 시퀀스$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 시퀀스 $u{\displaystyle }$ ${\$displaystyle u}을(를) 포함시킨다는 점을 상기하십시오.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$=${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,=)}$이(가) 정렬되지 않은 집합인$$ 경우, $u{\displaystyle }$${\displaystyle v}$ v$${\$displaystyle$ $u}$이(가) $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 하위 집합인$$ 경우에만$$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ v {\displaystytyle v$}.$
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\le }$) ${\displaystyle (X^{\\omega }},\leq$ $)\},$ 임베딩으로$$정렬된 웰 준주문$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$에 대한 무한 시퀀스 집합은 일반적으로 잘 준주문이 아니다.즉, 히그만의 보조정리기는 무한 시퀀스로 이어지지 않는다.히그만의 보조정리기를 임의 길이의 순서로 일반화하기 위해 더 나은 준주문 순서가 도입되었다.
• wqo${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$의 요소에 의해 라벨이 붙은 노드가 있는 유한 나무 사이에 내장하는 것은 wqo (Kruskal의 트리 정리)이다$$.
• wqo${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$의 요소에 의해 라벨이 붙여진 노드가 있는 무한 나무 사이에 내장하는 것은 wqo (Nash-Williams의 정리)이다$$.
• 셀 수 있는 산재된 선형 순서 유형 사이에 삽입하는 것은 잘 준순서(Laver의 정리)이다.
• 셀 수 있는 부울 알헤브라스 사이에 끼워 넣는 것은 준주문이 잘 되어 있다.이것은 라버의 정리, 케토넨의 정리에서 따온 것이다.
• "그래프 마이너"라고 불리는 내장 개념에 의해 정렬된 유한 그래프(Robertson–)는 준주문형(Robertson-세이모어 정리).
• 유도 서브그래프 관계에 의해 정렬된 유한 나무 깊이의 그래프는 유도 서브그래프에 의해 정렬된 cographs와 마찬가지로 잘 준순서를 형성한다.^[2][3]

Wqo 대 웰 부분 주문

실제로 wqo의 한 조작자는 순서가 아닌 경우가 꽤 많으며(위의 예시 참조), 우리가 비대칭성을 요구하지 않으면 이론이 기술적으로 더^{[citation needed]} 부드러워지기 때문에 wqo를 기본 개념으로 하여 구축된다.한편, 밀너 1985에 따르면, 부분적인 명령보다는 준주문을 고려해서 일반성의 실질적인 이득을 얻는 것은 없다... 그렇게 하는 것이 더 편리하다.

wpo가 wqo이고 wqo가 wqo의 커널에 의해 유도된 동등성 등급 사이에 wpo를 발생시키는 것을 관찰한다.For example, if we order ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ by divisibility, we end up with ${\displaystyle n\equiv m}$ if and only if ${\displaystyle n=\pm m}$, so that ${\displaystyle (\mathbb {Z} , )\approx (\mathbb {N} , )}$.

무한 확장 기능

If ${\displaystyle (X,\leq )}$ is wqo then every infinite sequence ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,}$ contains an infinite increasing subsequence ${\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots }$ (with < < n < ${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }}$ .그러한 반복을 때로는 완벽이라고 부른다.이것은 램지 인수에 의해:()나는)나는{\displaystyle(x_{나는})_{나는}}어떤 순서 있길래, 지수의{\displaystyle 1세}저야)나는{\displaystyle x_{나는}}이 오른쪽 즉 허용되지 않거나 같음)더 큰 j{\displaystyle x_{j}}과 나는 &lt고 있으며 이러한 j{{\displaystyle 나는}집합을 고려해 증명할 수 있다.\d$isplaystyle$i$<j}.$I $displaystyle I}$이(가) 무한하다면 I ${\displaystyle I}$ -extracted$$ series는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) wqo라는 가정과 모순된다.따라서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 유한하며, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 어떤 인덱스보다 $큰{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$을(를) $가진{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle n_{}}${\$displaystystyle$x_{$n}$을(를)은 무한증분열 시작점으로 사용할 수 있다$$.

이와 같이 무한히 증가하는 부분들의 존재는 때때로 적절한 준주문을 위한 정의로 받아들여져 동등한 개념으로 이어진다.

wqos의 속성

• Given a quasiordering ${\displaystyle (X,\leq )}$ the quasiordering ${\displaystyle (P(X),\leq ^{+})}$ defined by ${\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b}$ is well-founded if and only if ${\displaystyle (X,\leq )$${}$은(는) wqo이다.^[4]
• quasoreding은 해당하는 부분 순서(${\displaystyle x}$~ y${\displaystyle }$⟺ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle x}$ ≤ x ${\displaystyle \le }$ x { x { x { x { x ${$ x\$displaysty x\iff x\leq y\land y\land$ y$\$leq x$\})$가 무한 내림차순 또는 반차순(위의 램지 인수를 사용하여 증명할 수 있다).
• Given a well-quasi-ordering ${\displaystyle (X,\leq )}$, any sequence of upward-closed subsets ${\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X}$ eventually stabilises (meaning there exists ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that ${\di$만약 ∀)Splaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots};부분 집합 S⊆ X{\displaystyle S\subseteq X}upward-closed, y∈ X, x ≤ y∧ x라고 불린다 ∈ S⇒는 y∈ S{\displaystyle \forall x,y\in X,x\leq y\wedge x\in S\Rightarrow y\in S}):가정의 반대 ∀ 나는 ∈ N,∃ j∈ N, j>나는,∃ x∈ Sj∖ S나는{\displaystyle \forall i\in\.매트$hbb {N} ,\exists j\in \mathb {N} ,j>i,\exists x\in S_{j}\setminus S_{i$ 무한 비반복적 부속물을 추출하여 모순에 도달한다.
• 잘 준주문$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$을(를) 할 경우$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$}$은$($는) $\le {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\leq }$에 대해 유한한 수의 최소 원소를 가지며$$, 그렇지 $않으면{\displaystyle }$ S ${\$cichain을 갖는다$$.

메모들

^ 여기서 x < y의 의미: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ 및 $y$ ${\displaystyle \nleqq }$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle y\nleq x.}$

참조

• Dickson, L. E. (1913). "Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with r distinct prime factors". American Journal of Mathematics. 35 (4): 413–422. doi:10.2307/2370405. JSTOR 2370405.
• Higman, G. (1952). "Ordering by divisibility in abstract algebras". Proceedings of the London Mathematical Society. 2: 326–336. doi:10.1112/plms/s3-2.1.326.
• Kruskal, J. B. (1972). "The theory of well-quasi-ordering: A frequently discovered concept". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 13 (3): 297–305. doi:10.1016/0097-3165(72)90063-5.
• Ketonen, Jussi (1978). "The structure of countable Boolean algebras". Annals of Mathematics. 108 (1): 41–89. doi:10.2307/1970929. JSTOR 1970929.
• Milner, E. C. (1985). "Basic WQO- and BQO-theory". In Rival, I. (ed.). Graphs and Order. The Role of Graphs in the Theory of Ordered Sets and Its Applications. D. Reidel Publishing Co. pp. 487–502. ISBN 90-277-1943-8.
• Gallier, Jean H. (1991). "What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γo? A survey of some results in proof theory". Annals of Pure and Applied Logic. 53 (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E.

참고 항목

• 보다 나은 준주문
• 프리웰오더링
• 순서가 좋은