Охлюв на Паскал

Охлюв на Паскал е равнинна алгебрична крива от четвърти ред, която се задава с полярно уравнение $\rho =a\cos \varphi +l$ и декартово уравнение $(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=l^{2}(x^{2}+y^{2})$.

Кривата е симетрична спрямо абсцисата. В началото на координатната система точката от кривата е особена:

• изолирана точка при $a<l$; и две симетрично разположени инфлексни точки.
• рогова точка от първи род при $a=l$: тогава охлювът на Паскал се изражда в кардиоида.
• двойна точка при $a>l$: кривата се самопресича и има примка, нарича се трисектриса.

Охлювът на Паскал може да се построи геометрично по следния начин: дадена е окръжност и точка Р (без значение къде спрямо окръжността). Последователно се изчертават всички окръжности с центрове точки от окръжността, такива че минават през Р. Обвивката на тази фамилия окръжности е охлювът на Паскал. Кардиоидата се получава когато Р принадлежи на началната окръжност, а трисектриса с примка – когато Р е външна за окръжността.

Площта, ограничена от охлюва на Паскал, е $S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi l^{2}$, а дължината на кривата се изразява с елиптичен интеграл от втори род.

Кривата е обстойно изследвана от Етиен Паскал, баща на математика и философ Блез Паскал. Преди него е разглеждана и от немския ренесансов художник Албрехт Дюрер, в неговия труд „Underweysung der Messung“ (1525). Наречена е „охлюв на Паскал“ по предложение на Жил дьо Робервал.

Частни случаи на охлюва на Паскал: вдлъбнат охлюв, кардиоида и трисектриса

Източници

• „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
• „The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки

• ((en)) Информация за охлюва на Паскал, MathWorld Wolfram
• Интерактивна визуализация на охлюва на Паскал с Java аплет