Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje
sin
x
{\displaystyle \sin x}
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 i 13 . Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n +1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).U matematici , Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma . Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora . Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red , koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu .
Taylorov red za neku neprekidnu funkciju
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
⋯
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots }
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:
T
(
x
1
,
⋯
,
x
d
)
=
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
∂
n
1
∂
x
1
n
1
⋯
∂
n
d
∂
x
d
n
d
f
(
a
1
,
⋯
,
a
d
)
n
1
!
⋯
n
d
!
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
{\displaystyle T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}
U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:
T
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∇
f
(
a
)
T
(
x
−
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
T
∇
2
f
(
a
)
(
x
−
a
)
+
⋯
{\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }
gdje je
∇
f
(
a
)
{\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}
gradijent , a
∇
2
f
(
a
)
{\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}
Hesseova matrica .
Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.
Maclaurinov red za (1 − x )−1 je geometrijski red
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}
tako da Taylorov red za x −1 u a = 1
1
−
(
x
−
1
)
+
(
x
−
1
)
2
−
(
x
−
1
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}
Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1 − x ), gdje log označava prirodni logaritam :
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}
a odgovarajući Taylorov red za log(x ) u a = 1 je
(
x
−
1
)
−
(
x
−
1
)
2
2
+
(
x
−
1
)
3
3
−
(
x
−
1
)
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}
Taylorov red za eksponencijalnu funkciju
e
x
{\displaystyle e^{x}}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
1
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
1
+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
+
x
4
24
+
x
5
120
+
⋯
.
{\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}
Gornji izraz važi zato što je derivacija od e x e x e 0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n n ! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.
Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve
x
{\displaystyle x}
R
n
(
x
)
=
f
(
x
)
−
T
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}
Kada je
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
potencijalni red oko tačke
a
{\displaystyle a}
Također pogledajte: Spisak matematičkih redova Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni . Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni . Dvije gornje krive postavljene zajedno. Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente
x
{\displaystyle x\!}
Eksponencijalna funkcija :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}
Prirodni logaritam :
log
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
za
|
x
|
≤
1
,
x
≠
1
{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =1}
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
za
|
x
|
≤
1
,
x
≠
−
1
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}
Konačan geometrijski red :
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
za
x
≠
1
i
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }}x\not =1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
Beskonačan geometrijski red:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}
Varijante beskonačnih geometrijskih redova:
x
m
1
−
x
=
∑
n
=
m
∞
x
n
za
|
x
|
<
1
i
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }}|x|<1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
x
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }}|x|<1\!}
Kvadratni korijen :
1
+
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
n
!
2
4
n
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}
Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
za sve
|
x
|
<
1
i sve kompleksne
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }}|x|<1{\text{ i sve kompleksne }}\alpha \!}
sa općenitim binomnim koeficijentima
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
.
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}
Trigonometrijske funkcije :
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
za sve
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
za sve
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
gdje je B Bernoullijev broj .
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
za
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|\leq 1\!}
Hiperbolička funkcija :
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
−
z
3
3
+
2
15
z
5
−
17
315
z
7
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2}{15}}z^{5}-{\frac {17}{315}}z^{7}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
a
r
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ za }}|x|<1\!}
Lambertova W funkcija :
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
za
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ za }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}
Brojevi B k sumiranju pri razvijanju tan(x ) i tanh(x ) predstavljaju Bernoullijev broj . E k x ) je Eulerov broj .
Taylorov red na Wikimedia Commonsu