Тейлор қатары

Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.

Анықтама

$f(x)$ ${a}$ нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

$\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}$

$f$ функциясының $a$ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

Тейлор формуласы

Теорема:

• $f(x)$ $U(a,\epsilon )$ $a$ нүктесінің белгілі төңірегінде $n+1$ туындысы болсын
• Пусть $x\in U(a,\epsilon )$
• Пусть $p$ — кез келген оң сан,

онда: $x<a$ үшін $\exists$ нүктесі $\xi \in (x,a)$ немесе $x>a$ болғанда $\xi \in (a,x)$  :

$f(x)=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi )$

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары

f(x) = 1/(1 + x²) функциясының P_k Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.

Экспонента:

$\mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C}$

Натурал логарифм:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

Биномдық жіктеу:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін және барлық $~\alpha ,$ комплекс ан үшін, мұндағы

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!$

Жекеше түрі:

• квадраттық түбір:

${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ барлық $|x|<1\!$ үшін

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},$ барлық $|x|<1$ үшін

• Шекті геометриялық қатар:

${\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n},$ барлық $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}\!$ үшін

Тригонометриялық функциялар:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$

$\operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},$ барлық

$\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}},$ үшін, мұндағы $B_{2n}$ — Бернулли сандары

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ барлық $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

$\operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

Гиперболалық функция:

$\operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$

$\operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$

$\operatorname {th} \,\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ барлық $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$ үшін

$\operatorname {arsh} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

$\operatorname {arth} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін