| dbo:abstract
|
- La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir la dimensió d'una dimensió fraccionaria (no-entera) per a un objecte fractal. (ca)
- Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li , i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí. (cs)
- في الرياضيات، بعد هاوسدورف هو عدد حقيقي مرتبط بفضاء متري. قُدم هذا المفهوم عام 1918 من طرف عالم الرياضيات فيليكس هاوسدورف. (ar)
- Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und Ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein, wie beispielsweise bei der Anwendung als fraktale Dimension. (de)
- In mathematics, Hausdorff dimension is a measure of roughness, or more specifically, fractal dimension, that was first introduced in 1918 by mathematician Felix Hausdorff. For instance, the Hausdorff dimension of a single point is zero, of a line segment is 1, of a square is 2, and of a cube is 3. That is, for sets of points that define a smooth shape or a shape that has a small number of corners—the shapes of traditional geometry and science—the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the usual sense of dimension, also known as the topological dimension. However, formulas have also been developed that allow calculation of the dimension of other less simple objects, where, solely on the basis of their properties of scaling and self-similarity, one is led to the conclusion that particular objects—including fractals—have non-integer Hausdorff dimensions. Because of the significant technical advances made by Abram Samoilovitch Besicovitch allowing computation of dimensions for highly irregular or "rough" sets, this dimension is also commonly referred to as the Hausdorff–Besicovitch dimension. More specifically, the Hausdorff dimension is a dimensional number associated with a metric space, i.e. a set where the distances between all members are defined. The dimension is drawn from the extended real numbers, , as opposed to the more intuitive notion of dimension, which is not associated to general metric spaces, and only takes values in the non-negative integers. In mathematical terms, the Hausdorff dimension generalizes the notion of the dimension of a real vector space. That is, the Hausdorff dimension of an n-dimensional inner product space equals n. This underlies the earlier statement that the Hausdorff dimension of a point is zero, of a line is one, etc., and that irregular sets can have noninteger Hausdorff dimensions. For instance, the Koch snowflake shown at right is constructed from an equilateral triangle; in each iteration, its component line segments are divided into 3 segments of unit length, the newly created middle segment is used as the base of a new equilateral triangle that points outward, and this base segment is then deleted to leave a final object from the iteration of unit length of 4. That is, after the first iteration, each original line segment has been replaced with N=4, where each self-similar copy is 1/S = 1/3 as long as the original. Stated another way, we have taken an object with Euclidean dimension, D, and reduced its linear scale by 1/3 in each direction, so that its length increases to N=SD. This equation is easily solved for D, yielding the ratio of logarithms (or natural logarithms) appearing in the figures, and giving—in the Koch and other fractal cases—non-integer dimensions for these objects. The Hausdorff dimension is a successor to the simpler, but usually equivalent, box-counting or Minkowski–Bouligand dimension. (en)
- La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal. La medida fue introducida hacia 1917 por Felix Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Abram Besicovitch, a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel.Cependant la dimension de Hausdorff d'un espace métrique quelconque peut ne pas être un entier naturel. (fr)
- In matematica, la dimensione di Hausdorff è una dimensione frattale. Fu introdotta nel 1918 dal matematico Felix Hausdorff. Molti degli strumenti tecnici usati per calcolare la dimensione di Hausdorff di insiemi molto irregolari sono stati sviluppati da Abram Samojlovič Bezicovič. Per questa ragione la dimensione di Hausdorff è talvolta menzionata come dimensione di Hausdorff-Besicovitch. Intuitivamente, la dimensione di un insieme (ad esempio, un sottoinsieme dello spazio euclideo) è il numero di parametri indipendenti necessari alla descrizione di un punto dell'insieme. Un concetto matematico che modella fedelmente questa idea ingenua è la dimensione topologica di un insieme. Ad esempio, un punto sul piano è descritto da due parametri indipendenti (le coordinate cartesiane del punto), così, in questo senso, il piano è bidimensionale. Come ci si aspetta, la dimensione topologica è sempre un numero naturale. Tuttavia, la dimensione topologica si comporta in modi del tutto inaspettati con determinati insiemi molto particolari come i frattali. Ad esempio l'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero, ma in un certo senso si comporta come uno spazio a dimensione superiore. La dimensione di Hausdorff offre un altro modo di definire la dimensione, che coinvolge la metrica. Per definire la dimensione di Hausdorff di X, dobbiamo considerare il numero N(r) delle palle di raggio massimo r necessarie a coprire completamente X. Chiaramente, diminuendo r, N(r) aumenta. Molto grossolanamente, se N(r) cresce allo stesso modo di 1/rd quando r viene ridotto fino a zero, allora diciamo che X ha dimensione d. In realtà la definizione rigorosa di dimensione di Hausdorff è qualcosa di tortuoso, poiché definisce in primo luogo un'intera famiglia di misure di copertura per X. Si scopre che la dimensione di Hausdorff raffina il concetto di dimensione topologica e la mette in relazione con altre proprietà dello spazio, come area o volume. Si dovrebbe porre attenzione sul fatto che esistono diverse nozioni di dimensione frazionaria, strettamente collegate. Ad esempio la dimensione di Minkowski-Bouligand generalizza l'idea di contare i quadrati di carta millimetrata nei quali può essere trovato un punto di X, al diminuire della dimensione dei quadrati. In molti casi queste nozioni coincidono, ma la relazione fra di esse è fortemente tecnica. (it)
- フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元（ハウスドルフじげん、英: Hausdorff dimension）は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、が有限な値をとり消えていないという条件に適合する、次元の概念の非整数値をとる一般化である。すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 0、線分のハウスドルフ次元は 1、正方形のハウスドルフ次元は 2、立方体のハウスドルフ次元は 3 である。つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。大幅な技術的進展がによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ–ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。 初等幾何学で用いられる通常のジョルダン測度（あるいはルベーグ測度）に関して、例えば正方形が二次元であるということは、その三次元より高次のジョルダン測度（つまり、体積および高次元体積）が 0 であり、二次元ジョルダン測度（面積）が正の値を持つ（さらに一次元および零次元のジョルダン測度は形式的に ∞ となる）ということを本質的に表している。d-次元実内積空間 Rd の d-次元ジョルダン測度は、部分集合 S に対して、S の球体による充填近似が定める内測度と、球体被覆による近似の定める外測度の一致するとき、その一致する値として定義されるのであった（あるいはルベーグ測度は外測度のみを利用して構成される）が、（定数因子の違いを除けば）d-次元ジョルダン測度は一次元ジョルダン測度（長さ）の d 個の直積と本質的に同じであり、d-次元球（あるいは立方体）の d-次元体積は本質的に半径の d-乗である。ハウスドルフ次元は、これらの事実を抽象化して、台となる空間を一般の距離空間とし、部分集合の一次元ハウスドルフ測度を距離球体被覆による近似の下限として定まる外測度、また非整数値の d に対する d-次元距離球体のハウスドルフ測度を一次元測度の d-乗（の適当な定数倍）となるように定める。ジョルダン測度の場合と同じく、部分集合 S の d-次元ハウスドルフ測度は次元 d が大きければほとんどすべてに対して零であり、零でなくなるようなギリギリ小さい値として S のハウスドルフ次元を定めるのである。 ハウスドルフ次元は、ボックスカウンティング次元（）のより単純だがふつうは同値な後継である。 (ja)
- 기하학에서 하우스도르프 차원(영어: Hausdorff dimension)은 거리 공간의 부분집합의 차원을 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다. (ko)
- Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. (pl)
- In de wiskunde is de hausdorff-dimensie, of hausdorff-besikovitsj-dimensie, een niet-negatief reëel getal of eventueel oneindig (uitgebreid reëel getal). De hausdorff-dimensie veralgemeent het begrip dimensie van een reële vectorruimte en kent aan elke metrische ruimte een dimensie toe. Daarmee krijgen bijvoorbeeld ook fractalen een dimensie, zij het niet een geheel getal. Voor gewone objecten als een punt, een lijn of een vlak komt de hausdorff-dimensie overeen met de gebruikelijke dimensie. Er zijn echter vele onregelmatige verzamelingen die niet een gewone dimensie hebben, maar wel een niet-geheeltallige hausdorff-dimensie. Het begrip werd in 1918 geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Felix Hausdorff. Veel van de technische ontwikkelingen die worden gebruikt om de hausdorff-dimensie voor zeer onregelmatige-verzamelingen te berekenen, werden ontwikkeld door Abram Besikovitsj. (nl)
- Existem muitas abordagens sobre dimensões fractais de imagens e/ou objetos, entre estas a Dimensão de Hausdorff, considera-se a mais utilizada. Ela foi apresentada em 1918 pelo matemático Felix Hausdorff. Os fractais devido as suas formas geométricas não são classificados segundo a geometria euclidiana. As estimativas encontradas pela dimensão fractal podem assim determinar as complexidades dos objetos fractais. Estas podem ser aplicadas nas mais diversas situações. Portanto, através das comparações experimentais, entre fractais e formas geométricas, é possível realizar estudos no sentido de encontrar técnicas diversas baseadas em resultados experimentais. Para determinar a dimensão de Hausdorff, divide-se uma linha em partes iguais onde , assim, é sabido que o tamanho dos fragmentos de reta são . Ao se dividir os lados de um quadrado em partes iguais, dividimos o quadrado em em partes iguais. Analogamente, ao se dividir as arestas de um cubo em partes iguais, dividimos o cubo em partes iguais. Generalizando, se tivermos um hipercubo de dimensões, este poderá ser dividido em partes iguais ao se dividir a aresta em partes iguais. Assim fica demonstrado que na geometria convencional a dimensão é igual ao valor do expoente de n. Logo, podemos afirmar que , onde o segmento pode ser afirmado comprimento da linha, e é definido como o número das partes em que a linha pode ser dividida numa iteração da construção do fractal, assim, será o comprimento do segmento na iteração , onde . Logo, a dimensão do fractal chamada será definida ao aplicarmos o logarítmo a ambos membros, ou seja: Portanto, é a Dimensão de Hausdorff. (pt)
- Hausdorffdimension är en matematisk definition på dimension. Vissa fraktala mängder kommer med denna definition inte att ha en dimension som är ett heltal, utan alla reella tal större än eller lika med 0 är tänkbara värden på dimensionen hos en mängd. (sv)
- Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень. (uk)
- Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём.Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом. (ru)
- 豪斯多夫维数又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维数（英語：Hausdorff-Besicovitch Dimension）或分形维数，它是由德國数学家豪斯多夫（Felix Hausdorff）于1918年引入的。通过豪斯多夫维数可以定義任意度量空間的子集之維數，包括像是分形（Fractal）等复杂的集合。对于简单的几何形狀比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维数等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维数不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir la dimensió d'una dimensió fraccionaria (no-entera) per a un objecte fractal. (ca)
- Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li , i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí. (cs)
- في الرياضيات، بعد هاوسدورف هو عدد حقيقي مرتبط بفضاء متري. قُدم هذا المفهوم عام 1918 من طرف عالم الرياضيات فيليكس هاوسدورف. (ar)
- Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und Ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein, wie beispielsweise bei der Anwendung als fraktale Dimension. (de)
- La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal. La medida fue introducida hacia 1917 por Felix Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Abram Besicovitch, a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal. (es)
- 기하학에서 하우스도르프 차원(영어: Hausdorff dimension)은 거리 공간의 부분집합의 차원을 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다. (ko)
- Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. (pl)
- Hausdorffdimension är en matematisk definition på dimension. Vissa fraktala mängder kommer med denna definition inte att ha en dimension som är ett heltal, utan alla reella tal större än eller lika med 0 är tänkbara värden på dimensionen hos en mängd. (sv)
- Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень. (uk)
- Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём.Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом. (ru)
- 豪斯多夫维数又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维数（英語：Hausdorff-Besicovitch Dimension）或分形维数，它是由德國数学家豪斯多夫（Felix Hausdorff）于1918年引入的。通过豪斯多夫维数可以定義任意度量空間的子集之維數，包括像是分形（Fractal）等复杂的集合。对于简单的几何形狀比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维数等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维数不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。 (zh)
- In mathematics, Hausdorff dimension is a measure of roughness, or more specifically, fractal dimension, that was first introduced in 1918 by mathematician Felix Hausdorff. For instance, the Hausdorff dimension of a single point is zero, of a line segment is 1, of a square is 2, and of a cube is 3. That is, for sets of points that define a smooth shape or a shape that has a small number of corners—the shapes of traditional geometry and science—the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the usual sense of dimension, also known as the topological dimension. However, formulas have also been developed that allow calculation of the dimension of other less simple objects, where, solely on the basis of their properties of scaling and self-similarity, one is led to the conclusion that part (en)
- En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. (fr)
- In matematica, la dimensione di Hausdorff è una dimensione frattale. Fu introdotta nel 1918 dal matematico Felix Hausdorff. Molti degli strumenti tecnici usati per calcolare la dimensione di Hausdorff di insiemi molto irregolari sono stati sviluppati da Abram Samojlovič Bezicovič. Per questa ragione la dimensione di Hausdorff è talvolta menzionata come dimensione di Hausdorff-Besicovitch. (it)
- In de wiskunde is de hausdorff-dimensie, of hausdorff-besikovitsj-dimensie, een niet-negatief reëel getal of eventueel oneindig (uitgebreid reëel getal). De hausdorff-dimensie veralgemeent het begrip dimensie van een reële vectorruimte en kent aan elke metrische ruimte een dimensie toe. Daarmee krijgen bijvoorbeeld ook fractalen een dimensie, zij het niet een geheel getal. (nl)
- フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元（ハウスドルフじげん、英: Hausdorff dimension）は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、が有限な値をとり消えていないという条件に適合する、次元の概念の非整数値をとる一般化である。すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 0、線分のハウスドルフ次元は 1、正方形のハウスドルフ次元は 2、立方体のハウスドルフ次元は 3 である。つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。大幅な技術的進展がによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ–ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。 ハウスドルフ次元は、ボックスカウンティング次元（）のより単純だがふつうは同値な後継である。 (ja)
- Existem muitas abordagens sobre dimensões fractais de imagens e/ou objetos, entre estas a Dimensão de Hausdorff, considera-se a mais utilizada. Ela foi apresentada em 1918 pelo matemático Felix Hausdorff. Para determinar a dimensão de Hausdorff, divide-se uma linha em partes iguais onde , assim, é sabido que o tamanho dos fragmentos de reta são . Ao se dividir os lados de um quadrado em partes iguais, dividimos o quadrado em em partes iguais. Analogamente, ao se dividir as arestas de um cubo em partes iguais, dividimos o cubo em partes iguais. Portanto, é a Dimensão de Hausdorff. (pt)
|
