กฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์
ขยายกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันไปยังวัตถุแข็ง
ส่วนหนึ่งของซีรีส์เรื่อง
กลศาสตร์คลาสสิก
เอฟ - ง พี ง ที {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}
กฎข้อที่สองของการเคลื่อนที่
สาขา
พื้นฐาน
สูตรการผลิต
หัวข้อหลัก
การหมุน
นักวิทยาศาสตร์

ในกลศาสตร์คลาสสิกกฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์เป็นสมการการเคลื่อนที่ซึ่งขยายกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันสำหรับอนุภาคจุดไปจนถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็ง[1] กฎ เหล่านี้ได้รับการกำหนดโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ประมาณ 50 ปีหลังจากที่ไอแซก นิวตันกำหนดกฎของเขา

ภาพรวม

กฎข้อแรกของออยเลอร์

กฎข้อแรกของออยเลอร์ระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงเส้น pของวัตถุแข็งจะเท่ากับผลลัพธ์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ: [2]

F ext = d p d t . {\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}

แรงภายในระหว่างอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุไม่ได้ส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เนื่องจากมีแรงที่เท่ากันและตรงกันข้าม ส่งผลให้ไม่มีผลกระทบสุทธิ[3]

โมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุแข็งคือผลคูณของมวลของวัตถุและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล v ซม . [1] [4] [5]

กฎข้อที่สองของออยเลอร์

กฎข้อที่สองของออยเลอร์ระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุม Lเกี่ยวกับจุดที่คงที่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (มักจะเป็นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ) เท่ากับผลรวมของโมเมนต์แรงภายนอก ( แรงบิด ) ที่กระทำต่อวัตถุนั้นMเกี่ยวกับจุดนั้น: [1] [4] [5]

M = d L d t . {\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}

โปรดทราบว่าสูตรข้างต้นใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ คำนวณ MและLเทียบกับกรอบเฉื่อยคงที่หรือกรอบที่ขนานกับกรอบเฉื่อยแต่คงที่ที่จุดศูนย์กลางมวล สำหรับวัตถุแข็งที่เคลื่อนที่และหมุนในสองมิติเท่านั้น สามารถแสดงได้ดังนี้: [6]

M = r c m × a c m m + I α , {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}

ที่ไหน:

  • r cmคือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุเทียบกับจุดที่โมเมนต์ถูกบวกกัน
  • a cmคือความเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ
  • mคือมวลของวัตถุ
  • αคือความเร่งเชิงมุมของวัตถุ และ
  • Iคือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล

ดูสมการของออยเลอร์ (พลศาสตร์ของวัตถุแข็ง)ด้วย

คำอธิบายและที่มา

การกระจายของแรงภายในในวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้นั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากันตลอดทั้งชิ้น กล่าวคือ แรงเครียดจะแตกต่างกันไปในแต่ละจุด การเปลี่ยนแปลงของแรงภายในทั่วทั้งวัตถุนี้ควบคุมโดยกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมซึ่งสำหรับการใช้งานที่ง่ายที่สุดนั้นใช้กับอนุภาคที่มีมวล แต่จะขยายออกไปในกลศาสตร์ต่อเนื่องไปยังวัตถุที่มีมวลกระจายอย่างต่อเนื่อง สำหรับวัตถุที่ต่อเนื่อง กฎเหล่านี้เรียกว่ากฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์ [ 7]

แรงรวมของวัตถุที่กระทำต่อวัตถุต่อเนื่องที่มีมวลm ความหนาแน่นของมวล ρและปริมาตรVคือปริมาตรอินทิกรัลที่รวมเข้ากับปริมาตรของวัตถุ:

F B = ∫ V b d m = ∫ V b ρ d V {\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}

โดยที่bคือแรงที่กระทำต่อวัตถุต่อหน่วยมวล ( มิติของความเร่ง เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า "แรงของวัตถุ") และdm = ρ dVคือองค์ประกอบมวลอนันต์ของวัตถุ

แรงของวัตถุและแรงสัมผัสที่กระทำต่อวัตถุทำให้เกิดโมเมนต์ ( แรงบิด ) ที่สอดคล้องกันของแรงเหล่านั้นเทียบกับจุดที่กำหนด ดังนั้น แรงบิดรวมที่ใช้Mเกี่ยวกับจุดกำเนิดจะกำหนดโดย

M = M B + M C {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}

โดยที่M BและM Cแสดงถึงโมเมนต์ที่เกิดจากแรงของวัตถุและแรงสัมผัส ตามลำดับ

ดังนั้น ผลรวมของแรงที่กระทำและแรงบิดทั้งหมด (เทียบกับจุดกำเนิดของระบบพิกัด) ที่กระทำกับวัตถุสามารถกำหนดให้เป็นผลรวมของปริมาตรและอินทิกรัลพื้นผิวได้ :

F = ∫ V a d m = ∫ V a ρ d V = ∫ S t d S + ∫ V b ρ d V {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}
M = M B + M C = ∫ S r × t d S + ∫ V r × b ρ d V . {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}

โดยที่t = t ( n )เรียกว่าแรงดึงพื้นผิวซึ่งรวมเข้ากับพื้นผิวของวัตถุ และnหมายถึงเวกเตอร์หน่วยปกติที่มีทิศทางออกสู่พื้นผิว S

ให้ระบบพิกัด( x1 , x2 , x3 )เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยโดยที่r เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคจุดในวัตถุต่อเนื่องเทียบกับจุดกำเนิดของระบบพิกัด และv = ⁠ดีอาร์-ดีทีเป็นเวกเตอร์ความเร็วของจุดนั้น

สัจพจน์หรือกฎข้อแรกของออยเลอร์ (กฎแห่งสมดุลของโมเมนตัมเชิงเส้นหรือสมดุลของแรง) ระบุว่าในกรอบเฉื่อย อัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงเส้นpของส่วนที่ไม่จำกัดของวัตถุต่อเนื่องจะเท่ากับแรงF ทั้งหมด ที่กระทำต่อส่วนนั้น และแสดงเป็น

d p d t = F d d t ∫ V ρ v d V = ∫ S t d S + ∫ V b ρ d V . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}

สัจพจน์หรือกฎข้อที่สองของออยเลอร์ (กฎสมดุลของโมเมนตัมเชิงมุมหรือสมดุลของแรงบิด) ระบุว่าในกรอบเฉื่อย อัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมLของส่วนที่ไม่จำกัดของวัตถุต่อเนื่องจะเท่ากับแรงบิดรวมMที่กระทำกับส่วนนั้น และแสดงเป็น

d L d t = M d d t ∫ V r × ρ v d V = ∫ S r × t d S + ∫ V r × b ρ d V . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}

โดยที่คือ ความเร็วปริมาตร และอนุพันธ์ของpและLคืออนุพันธ์ของวัสดุ v {\displaystyle \mathbf {v} } V {\displaystyle V}

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ abc McGill และ King (1995). Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics (3rd ed.) PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8-
  2. ^ สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็ง สืบค้นเมื่อ 2021-06-06
  3. ^ เกรย์, แกรี่ แอล.; คอสตานโซ, เพลชา (2010). วิศวกรรมกลศาสตร์: ไดนามิก . แม็กกรอว์ฮิลล์ISBN 978-0-07-282871-9-
  4. ^ ab กฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์. สืบค้นเมื่อ2009-03-30 .
  5. ^ ab Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particle and rigid bodies. Cambridge University Press. หน้า 355. ISBN 978-0-521-85811-3-
  6. ^ Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF) . Oxford University Press. หน้า 771 . สืบค้นเมื่อ2011-10-18 .
  7. ^ Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (ฉบับแก้ไข) Dover Publications. หน้า 27–28 ISBN 978-0-486-46290-5. เก็บถาวรจากแหล่งดั้งเดิม(PDF)เมื่อวันที่ 31 มี.ค. 2553
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler%27s_laws_of_motion&oldid=1149442597"