กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

ส่วนหนึ่งของซีรีส์เรื่อง
กลศาสตร์คลาสสิก
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ กฎข้อที่สองของการเคลื่อนที่
ประวัติศาสตร์ ไทม์ไลน์ หนังสือเรียน
สาขา สมัครแล้ว สวรรค์ ต่อเนื่อง ไดนามิก จลนศาสตร์ จลนพลศาสตร์ สถิติ กลศาสตร์สถิติ
พื้นฐาน การเร่งความเร็ว โมเมนตัมเชิงมุม คู่ หลักการของดาล็องแบร์ พลังงาน จลนศาสตร์ ศักยภาพ บังคับ กรอบอ้างอิง กรอบอ้างอิงเฉื่อย แรงกระตุ้น ความเฉื่อย  / โมเมนต์ความเฉื่อย มวล พลังงานกล งานช่างกล ช่วงเวลา โมเมนตัม ช่องว่าง ความเร็ว เวลา แรงบิด ความเร็ว งานเสมือนจริง
สูตรการผลิต กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ กลศาสตร์ลากรองจ์ กลศาสตร์แฮมิลตัน กลศาสตร์รูเธียน สมการแฮมิลตัน–จาโคบี สมการการเคลื่อนที่ของ Appell กลศาสตร์ของ Koopman–von Neumann
หัวข้อหลัก การลดแรงสั่นสะเทือน การเคลื่อนย้าย สมการการเคลื่อนที่ กฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์ พลังสมมติ แรงเสียดทาน ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก Inertial / Non-inertial reference frame Mechanics of planar particle motion Motion (linear) Newton's law of universal gravitation Newton's laws of motion Relative velocity Rigid body dynamics Euler's equations Simple harmonic motion Vibration
Rotation Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational frequency Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Scientists Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Poisson Hamilton Jacobi Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Physics portal  Category
v t e

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเป็นกฎทางฟิสิกส์ สาม ข้อที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุและแรงที่กระทำต่อวัตถุ กฎเหล่านี้ซึ่งเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ของนิวตันสามารถสรุปได้ดังนี้:

1. วัตถุจะคงอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ยกเว้นในกรณีที่มีแรงมากระทำ
2. ในขณะใดๆ ของเวลา แรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุจะเท่ากับความเร่ง ของวัตถุ คูณด้วยมวล หรือกล่าวได้อย่างเท่าเทียมกันคือ อัตรา การเปลี่ยนแปลงของ โมเมนตัม ของวัตถุ ตามเวลา
3. หากวัตถุสองชิ้นออกแรงซึ่งกันและกัน แรงเหล่านี้จะมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม^{[1] [2]}

กฎการเคลื่อนที่ทั้งสามข้อนี้ถูกระบุครั้งแรกโดยไอแซก นิวตันในPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ ) ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1687 ^[3]นิวตันใช้กฎเหล่านี้เพื่อตรวจสอบและอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุและระบบทางกายภาพมากมาย ในช่วงเวลาตั้งแต่นิวตันเป็นต้นมา ข้อมูลเชิงลึกใหม่ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องพลังงานได้สร้างสาขาของกลศาสตร์คลาสสิกขึ้นบนรากฐานของเขา ข้อจำกัดของกฎของนิวตันยังถูกค้นพบอีกด้วย ทฤษฎีใหม่ๆ มีความจำเป็นเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงมาก ( ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ ) มีมวลมาก ( ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป ) หรือมีขนาดเล็กมาก ( กลศาสตร์ควอนตัม )

กฎของนิวตันมักระบุในรูปของมวลจุดหรืออนุภาคนั่นคือ วัตถุที่มีปริมาตรเล็กน้อย นี่เป็นการประมาณที่สมเหตุสมผลสำหรับวัตถุจริงเมื่อสามารถละเลยการเคลื่อนที่ของส่วนภายในได้ และเมื่อระยะห่างระหว่างวัตถุมีขนาดใหญ่กว่าขนาดของแต่ละส่วนมาก ตัวอย่างเช่น โลกและดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ว่าเป็นวัตถุคล้ายจุดเมื่อพิจารณาวงโคจรของวัตถุแรกรอบวัตถุที่สอง แต่โลกไม่ใช่วัตถุคล้ายจุดเมื่อพิจารณากิจกรรมบนพื้นผิว^{[หมายเหตุ 1]}

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่หรือจลนศาสตร์นั้นอิงตามแนวคิดในการระบุตำแหน่งโดยใช้พิกัดตัวเลข การเคลื่อนที่นั้นแสดงโดยตัวเลขเหล่านี้ที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา วิถีการเคลื่อนที่นั้นแสดงโดยฟังก์ชันที่กำหนดค่าพิกัดตำแหน่งทั้งหมดให้กับค่าของตัวแปรเวลาแต่ละค่า กรณีที่ง่ายที่สุดคือแบบมิติเดียว นั่นคือ เมื่อวัตถุถูกบังคับให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงเท่านั้น ตำแหน่งของวัตถุนั้นสามารถระบุได้ด้วยตัวเลขตัวเดียว ซึ่งระบุว่าวัตถุนั้นอยู่ที่ใดเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิงที่เลือกไว้ ตัวอย่างเช่น วัตถุอาจสามารถเลื่อนไปตามเส้นทางที่วิ่งจากซ้ายไปขวาได้อย่างอิสระ ดังนั้นตำแหน่งของวัตถุจึงสามารถระบุได้ด้วยระยะห่างจากจุดศูนย์หรือจุดกำเนิด ที่สะดวก โดยตัวเลขติดลบนั้นระบุตำแหน่งทางด้านซ้าย และตัวเลขติดลบนั้นระบุตำแหน่งทางด้านขวา หากตำแหน่งของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลาดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลาตั้งแต่ถึงคือ^[6]ในที่นี้ อักษรกรีก( เดลต้า ) ถูกใช้ตามประเพณีเพื่อหมายถึง "การเปลี่ยนแปลงใน" ความเร็วเฉลี่ยที่เป็นบวกหมายความว่าพิกัดตำแหน่งจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่เป็นปัญหา ความเร็วเฉลี่ยที่เป็นลบหมายถึงการลดลงสุทธิในช่วงเวลานั้น และความเร็วเฉลี่ยที่เป็นศูนย์หมายความว่าวัตถุสิ้นสุดช่วงเวลาในตำแหน่งเดียวกับที่เริ่มต้นแคลคูลัสให้ค่าเฉลี่ยในการกำหนด ความเร็ว ชั่วขณะซึ่งเป็นการวัดความเร็วและทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง แทนที่จะเป็นช่วงเวลาหนึ่ง สัญกรณ์อย่างหนึ่งสำหรับความเร็วชั่วขณะคือแทนที่ด้วยสัญลักษณ์เช่นซึ่งแสดงว่าความเร็วชั่วขณะคืออนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลา โดยคร่าวๆ แล้วอาจคิดได้ว่าเป็นอัตราส่วนระหว่างการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งที่เล็กน้อยมากกับช่วงเวลาที่เล็กน้อยมากที่เกิดขึ้น^[7]อย่างระมัดระวังมากขึ้น ความเร็วและอนุพันธ์อื่นๆ ทั้งหมดสามารถกำหนดได้โดยใช้แนวคิดของขีดจำกัด^[6]ฟังก์ชันมีขีดจำกัดที่ค่าอินพุตที่กำหนดหากความแตกต่างระหว่างและสามารถทำให้เล็กได้ตามอำเภอใจโดยเลือกอินพุตที่ใกล้เคียงกับ เพียงพอมีคนเขียนว่าความเร็วทันทีสามารถกำหนดได้ว่าเป็นขีดจำกัดของความเร็วเฉลี่ยเมื่อช่วงเวลาลดลงเหลือศูนย์: ความเร่งเท่ากับความเร็วเมื่อความเร็วเท่ากับตำแหน่ง: เป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา^{[หมายเหตุ 2]}ความเร่งสามารถกำหนดได้เช่นกันว่าเป็นขีดจำกัด: ดังนั้น ความเร่งคือ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d}$$${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$${\displaystyle ds}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$$${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง^[7]มักเขียนเป็น.${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

ตำแหน่งเมื่อคิดว่าเป็นการเคลื่อนตัวจากจุดกำเนิด จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง^{[9] : 1}ความเร็วและความเร่งก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของพีชคณิตเวกเตอร์ช่วยให้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ในสองมิติ สามมิติ หรือมากกว่านั้นได้ เวกเตอร์มักแสดงด้วยลูกศร เช่นหรือแบบอักษรตัวหนา เช่นมักแสดงเวกเตอร์เป็นลูกศร โดยทิศทางของเวกเตอร์คือทิศทางของลูกศร และขนาดของเวกเตอร์แสดงด้วยความยาวของลูกศร ในเชิงตัวเลข เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นรายการได้ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ความเร็วของวัตถุอาจเป็นซึ่งระบุว่าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3 เมตรต่อวินาทีตามแกนนอนและ 4 เมตรต่อวินาทีตามแกนตั้ง การเคลื่อนที่แบบเดียวกันที่อธิบายในระบบพิกัด ที่แตกต่างกัน จะแสดงด้วยตัวเลขที่แตกต่างกัน และพีชคณิตเวกเตอร์สามารถใช้ในการแปลระหว่างทางเลือกเหล่านี้ได้^{[9] : 4}${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle {\bf {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

การศึกษาเกี่ยวกับกลศาสตร์มีความซับซ้อนเนื่องจากคำที่คุ้นเคย เช่นพลังงานถูกใช้ในความหมายเชิงเทคนิค^[10]ยิ่งไปกว่านั้น คำที่มีความหมายเหมือนกันในคำพูดในชีวิตประจำวันนั้นไม่เป็นเช่นนั้นในฟิสิกส์ตัวอย่างเช่นแรงไม่เหมือนกับกำลังหรือแรงกดดัน และ มวลมีความหมายต่างจากน้ำหนัก[ ^{11] [12] : 150}แนวคิดทางฟิสิกส์เกี่ยวกับแรงทำให้แนวคิดเกี่ยวกับแรงผลักหรือแรงดึงในชีวิตประจำวันกลายเป็นแนวคิดเชิงปริมาณ แรงในกลศาสตร์นิวตันมักเกิดจากสายและเชือก แรงเสียดทาน แรงของกล้ามเนื้อ แรงโน้มถ่วง และอื่นๆ เช่นเดียวกับการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์

กฎข้อแรกของนิวตันแปลมาจากภาษาละตินว่า

วัตถุทุกชิ้นจะคงอยู่ในสภาพอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง ยกเว้นในกรณีที่ถูกบังคับให้เปลี่ยนสถานะนั้นโดยแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้น^{[หมายเหตุ 3]}

กฎข้อแรกของนิวตันแสดงให้เห็นหลักการของความเฉื่อยซึ่งก็คือ พฤติกรรมตามธรรมชาติของวัตถุคือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ของวัตถุจะรักษาสภาพเดิมเอาไว้ แต่แรงภายนอกสามารถรบกวนสิ่งนี้ได้

ความเข้าใจในสมัยใหม่เกี่ยวกับกฎข้อแรกของนิวตันก็คือ ไม่มีผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคนใดมีสิทธิพิเศษเหนือผู้อื่น แนวคิดของผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทำให้แนวคิดในชีวิตประจำวันเกี่ยวกับการไม่รู้สึกถึงผลของการเคลื่อนที่กลายเป็นเรื่องเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น บุคคลที่ยืนอยู่บนพื้นและมองดูรถไฟแล่นผ่านไปเป็นผู้สังเกตการณ์เฉื่อย หากผู้สังเกตการณ์บนพื้นเห็นว่ารถไฟเคลื่อนที่อย่างราบรื่นเป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ผู้โดยสารที่นั่งอยู่บนรถไฟก็จะเป็นผู้สังเกตการณ์เฉื่อยด้วยเช่นกัน นั่นคือผู้โดยสารรถไฟ จะไม่ รู้สึกถึงการเคลื่อนที่ หลักการที่แสดงโดยกฎข้อแรกของนิวตันก็คือ ไม่มีทางที่จะบอกได้ว่าผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคนใด "กำลังเคลื่อนที่" จริงๆ และคนใด "กำลังยืนนิ่ง" จริงๆ สถานะการหยุดนิ่งของผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งคือสถานะการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในแนวตรงของผู้สังเกตการณ์อีกคน และไม่มีการทดลองใดที่จะตัดสินว่ามุมมองใดมุมมองหนึ่งถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง ไม่มีมาตรฐานที่แน่นอนของการหยุดนิ่ง^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9}นิวตันเองเชื่อว่าอวกาศและเวลาสัมบูรณ์มีอยู่จริง แต่การวัดอวกาศหรือเวลาที่เข้าถึงเพื่อทดลองได้นั้นเป็นเพียงการวัดแบบสัมพัทธ์เท่านั้น^[19]

การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของวัตถุจะแปรผันตามแรงที่กระทำ และเกิดขึ้นในทิศทางของเส้นตรงที่แรงกระทำ^{[14] : 114}

โดย "การเคลื่อนที่" นิวตันหมายถึงปริมาณที่ปัจจุบันเรียกว่าโมเมนตัมซึ่งขึ้นอยู่กับปริมาณของสสารที่มีอยู่ในวัตถุ ความเร็วที่วัตถุนั้นเคลื่อนที่ และทิศทางที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่^[20]ในสัญกรณ์สมัยใหม่ โมเมนตัมของวัตถุเป็นผลคูณของมวลและความเร็ว โดยที่ปริมาณทั้งสามสามารถเปลี่ยนแปลงได้เมื่อเวลาผ่านไป กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบสมัยใหม่ระบุว่าอนุพันธ์ของโมเมนตัมตามเวลาคือแรง: หากมวลไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา อนุพันธ์จะกระทำกับความเร็วเท่านั้น ดังนั้น แรงจึงเท่ากับผลคูณของมวลและอนุพันธ์ของเวลาของความเร็ว ซึ่งก็คือความเร่ง: ^[21] เนื่องจากความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งเทียบกับเวลา จึงเขียนเป็นสมการได้เช่นกัน$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

แรงที่กระทำต่อวัตถุจะรวมกันเป็นเวกเตอร์ดังนั้นแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุจึงขึ้นอยู่กับทั้งขนาดและทิศทางของแรงแต่ละแรง เมื่อแรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน วัตถุจะไม่เร่งความเร็ว และจะเรียกว่าอยู่ในภาวะสมดุลเชิงกลสถานะสมดุลเชิงกลจะเสถียรก็ต่อเมื่อตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย วัตถุจะยังคงอยู่ใกล้ภาวะสมดุลนั้น มิฉะนั้น ภาวะสมดุลจะไม่เสถียร

การแสดงภาพแรงที่กระทำร่วมกันโดยทั่วไปคือแผนภาพของวัตถุอิสระซึ่งแสดงวัตถุที่สนใจและแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นโดยอิทธิพลจากภายนอก^[22]ตัวอย่างเช่น แผนภาพของวัตถุอิสระที่เป็นบล็อกวางอยู่บนระนาบเอียงสามารถแสดงการรวมกันของแรงโน้มถ่วงแรง "ปกติ" แรงเสียดทาน และแรงตึงของเส้น^{[หมายเหตุ 4]}

กฎข้อที่สองของนิวตันบางครั้งนำเสนอเป็นคำจำกัดความของแรง กล่าวคือ แรงคือสิ่งที่มีอยู่เมื่อผู้สังเกตเฉื่อยเห็นวัตถุกำลังเร่งความเร็ว เพื่อให้สิ่งนี้เป็นมากกว่าการซ้ำคำ — ความเร่งหมายถึงแรง แรงหมายถึงความเร่ง — จะต้องมีคำกล่าวอื่นเกี่ยวกับแรงด้วย ตัวอย่างเช่น อาจระบุสมการที่ให้รายละเอียดของแรง เช่นกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน การแทรกนิพจน์ดังกล่าวลงในกฎข้อที่สองของนิวตัน จะทำให้สามารถเขียนสมการที่มีกำลังทำนายได้^{[หมายเหตุ 5]}กฎข้อที่สองของนิวตันยังถือเป็นการกำหนดโปรแกรมการวิจัยทางฟิสิกส์ โดยระบุว่าเป้าหมายที่สำคัญของวิชานี้คือการระบุแรงที่มีอยู่ในธรรมชาติและจัดทำรายการองค์ประกอบของสสาร^{[14] : 134  [25] : 12-2}${\displaystyle \mathbf {F} }$

การกระทำทุกอย่างย่อมมีปฏิกิริยาที่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นเสมอ หรือการกระทำซึ่งกันและกันของสองวัตถุนั้นย่อมเท่าเทียมกันและมุ่งไปที่ส่วนที่ตรงกันข้ามกัน^{[14] : 116}

การอธิบายกฎข้อที่สามอย่างสั้นเกินไป เช่น "การกระทำเท่ากับปฏิกิริยา " อาจทำให้เกิดความสับสนในหมู่คนรุ่นต่อรุ่นได้ "การกระทำ" และ "ปฏิกิริยา" ใช้กับวัตถุที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ลองนึกถึงหนังสือที่วางอยู่บนโต๊ะ แรงโน้มถ่วงของโลกจะดึงหนังสือลงมา "ปฏิกิริยา" ต่อ "การกระทำ" นั้นไม่ใช่แรงพยุงจากโต๊ะที่ยึดหนังสือไว้ แต่เป็นแรงดึงดูดของหนังสือที่กระทำกับโลก^{[หมายเหตุ 6]}

กฎข้อที่สามของนิวตันเกี่ยวข้องกับหลักการพื้นฐานกว่า นั่นคือการอนุรักษ์โมเมนตัมกฎข้อหลังยังคงเป็นจริงแม้ในกรณีที่คำกล่าวของนิวตันไม่เป็นจริง เช่น เมื่อสนามแรงและวัตถุมีโมเมนตัม และเมื่อโมเมนตัมถูกกำหนดอย่างถูกต้อง ในกลศาสตร์ควอนตัมเช่นกัน^{[หมายเหตุ 7]}ในกลศาสตร์นิวตัน หากวัตถุสองชิ้นมีโมเมนตัมและตามลำดับ โมเมนตัมรวมของคู่วัตถุคือและอัตราการเปลี่ยนแปลงของคือตามกฎข้อที่สองของนิวตัน เทอมแรกคือแรงรวมที่กระทำต่อวัตถุชิ้นแรก และเทอมที่สองคือแรงรวมที่กระทำต่อวัตถุชิ้นที่สอง หากวัตถุทั้งสองแยกจากอิทธิพลภายนอก แรงเดียวที่กระทำต่อวัตถุชิ้นแรกก็คือแรงจากวัตถุชิ้นที่สอง และในทางกลับกัน ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน แรงเหล่านี้มีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นเมื่อนำมารวมกันจึงหักล้างกัน และมีค่าคงที่ อีกทางหนึ่ง หากทราบว่าค่าคงที่ ก็จะสรุปได้ว่าแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

แหล่งข้อมูลต่างๆ เสนอให้ยกระดับแนวคิดอื่นๆ ที่ใช้ในกลศาสตร์คลาสสิกให้เทียบเท่ากับกฎของนิวตัน ตัวอย่างเช่น ในกลศาสตร์ของนิวตัน มวลรวมของวัตถุที่เกิดจากการรวมวัตถุขนาดเล็กสองชิ้นเข้าด้วยกันคือผลรวมของมวลแต่ละชิ้นของวัตถุนั้นๆแฟรงก์ วิลเซกเสนอให้ดึงความสนใจไปที่สมมติฐานนี้โดยกำหนดให้เป็น "กฎข้อที่ศูนย์ของนิวตัน" ^[33]อีกหนึ่งตัวอย่างที่เข้าข่าย "กฎข้อที่ศูนย์" คือข้อเท็จจริงที่ว่าวัตถุจะตอบสนองต่อแรงที่กระทำต่อวัตถุในขณะนั้นในทุกช่วงเวลา^[34 ] ในทำนองเดียวกัน แนวคิดที่ว่าแรงรวมกันเป็นเวกเตอร์เหมือนกัน (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ปฏิบัติตามหลักการซ้อนทับ ) และแนวคิดที่ว่าแรงเปลี่ยนพลังงานของวัตถุ ต่างก็ได้รับการอธิบายว่าเป็น "กฎข้อที่สี่" ^{[หมายเหตุ 8]}

การศึกษาพฤติกรรมของวัตถุมวลโดยใช้กฎของนิวตันเรียกว่ากลศาสตร์ของนิวตัน ตัวอย่างปัญหาบางส่วนในกลศาสตร์ของนิวตันมีความน่าสนใจเป็นพิเศษด้วยเหตุผลเชิงแนวคิดหรือทางประวัติศาสตร์

หากวัตถุตกลงมาจากที่หยุดนิ่งใกล้พื้นผิวโลก เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ วัตถุจะเร่งความเร็วด้วยอัตราคงที่ ซึ่งเรียกว่าการตกอิสระความเร็วที่ได้มาระหว่างการตกอิสระจะแปรผันตามเวลาที่ผ่านไป และระยะทางที่เคลื่อนที่ได้จะแปรผันตามกำลังสองของเวลาที่ผ่านไป^[39]ที่สำคัญ ความเร่งจะเท่ากันสำหรับวัตถุทั้งหมด โดยไม่ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุ ซึ่งสืบเนื่องมาจากการรวมกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันกับกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของเขา กฎหลังระบุว่า ขนาดของแรงโน้มถ่วงจากโลกที่กระทำกับวัตถุคือ โดยที่คือ มวลของวัตถุที่ตกลงมาคือ มวลของโลกคือ ค่าคงที่ของนิวตัน และคือ ระยะทางจากศูนย์กลางของโลกไปยังตำแหน่งของวัตถุ ซึ่งเกือบจะเท่ากับรัศมีของโลก เมื่อกำหนดให้เท่ากับมวลของวัตถุจะถูกหักล้างจากทั้งสองด้านของสมการ เหลือเพียงความเร่งที่ขึ้นอยู่กับ, , และและ ซึ่งสามารถถือเป็นค่าคงที่ได้ ค่าความเร่งเฉพาะนี้โดยทั่วไปแสดงเป็นดังนี้:$${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

หากวัตถุไม่ได้หลุดจากจุดหยุดนิ่ง แต่กลับถูกปล่อยขึ้นด้านบนและ/หรือแนวนอนด้วยความเร็วที่ไม่เป็นศูนย์ การตกอิสระจะ กลายเป็นการ เคลื่อนที่ของวัตถุ [ ^40]เมื่อละเลยแรงต้านอากาศ วัตถุจะเคลื่อนที่ตาม วิถีโค้งรูป พาราโบลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงส่งผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวตั้งของวัตถุ ไม่ใช่ในแนวนอน ที่จุดสูงสุดของวิถีของวัตถุ ความเร็วในแนวตั้งจะเป็นศูนย์ แต่ความเร่งจะลดลง ซึ่งเป็นเช่นนี้ตลอดเวลา การตั้งเวกเตอร์ที่ไม่ถูกต้องให้เท่ากับศูนย์เป็นความสับสนทั่วไปในหมู่นักศึกษาฟิสิกส์^[41]${\displaystyle g}$

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ แรงที่กระทำต่อวัตถุจะเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่แต่ความเร็วไม่เปลี่ยน สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีรัศมีด้วยความเร็วคงที่ ความเร่งของวัตถุจะมีขนาดและมุ่งไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม^{[หมายเหตุ 9]}แรงที่จำเป็นในการรักษาความเร่งนี้ ซึ่งเรียกว่าแรงสู่ศูนย์กลางจึงมุ่งไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมด้วยและมีขนาด วงโคจรหลายวงเช่น วงโคจรของดวงจันทร์ที่โคจรรอบโลก สามารถประมาณได้ด้วยการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ในกรณีดังกล่าว แรงสู่ศูนย์กลางคือแรงโน้มถ่วง และตามกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน มีขนาดโดยที่คือมวลของวัตถุที่มีขนาดใหญ่กว่าที่โคจรอยู่ ดังนั้น มวลของวัตถุจึงคำนวณได้จากการสังเกตวัตถุอื่นที่โคจรอยู่รอบ ๆ^{[43] : 130}${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$${\displaystyle mv^{2}/r}$${\displaystyle GMm/r^{2}}$${\displaystyle M}$

ลูกปืนใหญ่ของนิวตันเป็นการทดลองทางความคิดที่สอดแทรกระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ลูกปืนใหญ่ที่กระเด็นออกจากขอบหน้าผาสูงเพียงเล็กน้อยจะตกลงพื้นในเวลาเดียวกับที่ตกลงมาจากจุดหยุดนิ่ง เนื่องจากแรงโน้มถ่วงมีผลต่อโมเมนตัมของลูกปืนใหญ่ในทิศทางลงเท่านั้น และผลของลูกปืนใหญ่จะไม่ลดลงหากเคลื่อนที่ในแนวนอน หากลูกปืนใหญ่ถูกยิงด้วยความเร็วแนวนอนเริ่มต้นที่สูงกว่า ลูกปืนใหญ่จะเคลื่อนที่ได้ไกลขึ้นก่อนที่จะตกถึงพื้น แต่ก็ยังคงตกถึงพื้นในเวลาเท่ากัน อย่างไรก็ตาม หากลูกปืนใหญ่ถูกยิงด้วยความเร็วเริ่มต้นที่สูงกว่า ความโค้งของโลกก็จะมีนัยสำคัญ พื้นดินจะโค้งออกจากลูกปืนใหญ่ที่ตกลงมา ลูกปืนใหญ่ที่เร็วมากจะตกลงมาจากวิถีเส้นตรงเฉื่อยในอัตราเดียวกับที่โลกโค้งออกจากด้านล่าง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลูกปืนใหญ่จะโคจรอยู่ในวงโคจร (โดยจินตนาการว่าไม่ได้ถูกแรงต้านอากาศหรือสิ่งกีดขวางทำให้ช้าลง) ^[44]

พิจารณาวัตถุที่มีมวลที่สามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน และสมมุติว่ามีจุดสมดุลอยู่ที่ตำแหน่งนั่นคือ ที่แรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุคือเวกเตอร์ศูนย์ และตามกฎข้อที่สองของนิวตัน วัตถุจะไม่เร่งความเร็ว หากแรงที่กระทำต่อวัตถุแปรผันตามการกระจัดจากจุดสมดุล และมีทิศทางไปยังจุดสมดุล วัตถุจะเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเมื่อเขียนแรงเป็นกฎข้อที่สองของนิวตันจะกลายเป็น สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีคำตอบ โดยที่ความถี่เท่ากับและค่าคงที่และสามารถคำนวณได้โดยทราบตำแหน่งและความเร็วของวัตถุในเวลาที่กำหนดเช่น${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F=-kx}$$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$$${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t=0}$

เหตุผลหนึ่งที่ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างที่สำคัญในเชิงแนวคิดก็คือ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับระบบจำนวนมากที่อยู่ใกล้จุดสมดุลเชิงกลที่เสถียร^{[หมายเหตุ 10]}ตัวอย่างเช่นลูกตุ้มมีจุดสมดุลที่เสถียรในแนวตั้ง หากไม่เคลื่อนที่ ลูกตุ้มจะยังคงอยู่ที่นั่น และหากถูกผลักเล็กน้อย ลูกตุ้มจะแกว่งไปมา หากไม่นับแรงต้านอากาศและแรงเสียดทานในแกนหมุน แรงที่กระทำต่อลูกตุ้มคือแรงโน้มถ่วง และกฎข้อที่สองของนิวตันจะกลายเป็นโดยที่คือความยาวของลูกตุ้ม และคือมุมของลูกตุ้มจากแนวตั้ง เมื่อมุมมีค่าน้อยไซน์ของจะเกือบเท่ากับ(ดูอนุกรมเทย์เลอร์ ) ดังนั้นนิพจน์นี้จึงลดรูปเป็นสมการสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบง่ายที่มีความถี่$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอาจถูกทำให้ลดทอนลงได้โดยมักจะเกิดจากแรงเสียดทานหรือแรงต้านหนืด ซึ่งในกรณีนี้ พลังงานจะไหลออกจากออสซิลเลเตอร์ และแอมพลิจูดของการสั่นจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามารถขับเคลื่อนด้วยแรงที่กระทำ ซึ่งอาจนำไปสู่ปรากฏการณ์ของการสั่นพ้องได้ [ ^46]

ฟิสิกส์ของนิวตันถือว่าสสารไม่ได้ถูกสร้างหรือทำลาย แม้ว่าจะจัดเรียงใหม่ได้ก็ตาม อาจเป็นกรณีที่วัตถุที่น่าสนใจได้รับหรือสูญเสียมวลเนื่องจากสสารถูกเพิ่มหรือลบออกจากมัน ในสถานการณ์เช่นนี้ กฎของนิวตันสามารถนำไปใช้กับชิ้นส่วนของสสารแต่ละชิ้นได้ โดยติดตามว่าชิ้นส่วนใดเป็นของวัตถุที่น่าสนใจเมื่อเวลาผ่านไป ตัวอย่างเช่น หากจรวดที่มีมวลเคลื่อนที่ด้วยความเร็วผลักสสารด้วยความเร็วสัมพันธ์กับจรวด แรงภายนอกสุทธิ (เช่น แรงดึงดูดของดาวเคราะห์) อยู่ ที่ใด^{[23] : 139}${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$${\displaystyle \mathbf {F} }$

นักฟิสิกส์พัฒนาแนวคิดเรื่องพลังงานขึ้นภายหลังยุคของนิวตัน แต่แนวคิดดังกล่าวได้กลายเป็นส่วนหนึ่งที่แยกจากกันไม่ได้ของสิ่งที่เรียกว่าฟิสิกส์ "นิวตัน" พลังงานสามารถจำแนกได้อย่างกว้างๆ เป็นพลังงานจลน์ซึ่งเกิดจากการเคลื่อนไหวของวัตถุ และศักย์ ซึ่ง เกิดจากตำแหน่งของวัตถุเมื่อเทียบกับวัตถุอื่นพลังงานความร้อนซึ่งเป็นพลังงานที่ถ่ายเทโดยการไหลของความร้อน เป็นพลังงานจลน์ประเภทหนึ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวในระดับมหภาคของวัตถุ แต่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวของอะตอมและโมเลกุลที่วัตถุนั้นสร้างขึ้น ตามทฤษฎีบทงาน-พลังงานเมื่อแรงกระทำต่อวัตถุในขณะที่วัตถุนั้นเคลื่อนที่ไปตามเส้นแรง แรงนั้นก็จะกระทำต่อวัตถุ และปริมาณงานที่เกิดขึ้นจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของวัตถุ^{[หมายเหตุ 11]}ในกรณีที่น่าสนใจหลายกรณี งานสุทธิที่เกิดจากแรงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในวงปิด — เริ่มต้นจากจุดหนึ่ง เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางบางเส้นทาง และกลับสู่จุดเริ่มต้น — จะเป็นศูนย์ หากเป็นเช่นนี้ แรงสามารถเขียนในรูปของความชันของฟังก์ชันที่เรียกว่าศักย์สเกลาร์ได้ : ^{[42] : 303} สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับแรงหลายอย่างรวมถึงแรงของแรงโน้มถ่วง แต่ไม่ใช่สำหรับแรงเสียดทาน อันที่จริง ปัญหาเกือบทั้งหมดในตำราเรียนกลศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงเสียดทานสามารถแสดงได้ในลักษณะนี้^{[45] : 19}ความจริงที่ว่าแรงสามารถเขียนได้ในลักษณะนี้สามารถเข้าใจได้จากการอนุรักษ์พลังงานหากไม่มีแรงเสียดทานที่จะกระจายพลังงานของร่างกายให้เป็นความร้อน พลังงานของร่างกายจะแลกเปลี่ยนระหว่างรูปแบบศักย์และจลน์ (ที่ไม่ใช่ความร้อน) ในขณะที่ปริมาณทั้งหมดยังคงเท่าเดิม พลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้นซึ่งเกิดขึ้นเมื่อแรงสุทธิที่มีต่อร่างกายเร่งความเร็วให้สูงขึ้น จะต้องมาพร้อมกับการสูญเสียพลังงานศักย์ ดังนั้น แรงสุทธิที่มีต่อร่างกายจึงถูกกำหนดโดยลักษณะที่พลังงานศักย์ลดลง$${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

วัตถุแข็งคือวัตถุที่มีขนาดใหญ่เกินกว่าจะละเลยได้ และยังคงรูปร่างเดิมไว้ตามกาลเวลา ในกลศาสตร์ของนิวตัน การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งมักเข้าใจโดยแยกการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ของวัตถุ และการเคลื่อนที่รอบจุดศูนย์กลางมวล

ลักษณะสำคัญของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ขยายออกไปสามารถเข้าใจได้โดยจินตนาการถึงมวลของวัตถุที่รวมตัวอยู่ที่จุดเดียวซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของวัสดุของวัตถุนั้น สำหรับวัตถุที่มีลักษณะคล้ายจุดซึ่งมีมวลอยู่ที่ตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่ซึ่งก็คือมวลรวมของวัตถุนั้น ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกสุทธิ จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง สิ่งนี้ใช้ได้กับการชนกันระหว่างวัตถุสองชิ้น^[49]หากแรงภายนอกรวมไม่เป็นศูนย์ จุดศูนย์กลางมวลจะเปลี่ยนความเร็วเหมือนกับว่าเป็นวัตถุจุดที่มีมวลซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแรงภายในจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งก็คือแรงที่วัตถุกระทำต่อกัน จะเกิดขึ้นเป็นคู่ที่สมดุลตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ในระบบของวัตถุสองชิ้น โดยชิ้นหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกชิ้นมาก จุดศูนย์กลางมวลจะตรงกับตำแหน่งของวัตถุที่มีมวลมากกว่าโดยประมาณ^{[18] : 22–24}${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

เมื่อนำกฎของนิวตันมาใช้กับวัตถุที่ขยายออกซึ่งหมุนอยู่ กฎดังกล่าวจะนำไปสู่ปริมาณใหม่ที่คล้ายคลึงกันกับปริมาณที่อ้างถึงในกฎเดิม มวลที่คล้ายคลึงกันคือโมเมนต์ของความเฉื่อยโมเมนตัมที่เทียบเท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมและแรงที่เทียบเท่ากับแรง บิด

โมเมนตัมเชิงมุมจะคำนวณตามจุดอ้างอิง^[50]หากเวกเตอร์การกระจัดจากจุดอ้างอิงไปยังวัตถุคือและวัตถุมีโมเมนตัมดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุเทียบกับจุดนั้นคือ โดยใช้ผลคูณไขว้ ของเวก เตอร์การหาอนุพันธ์ตามเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมจะได้เทอมแรกหายไปเนื่องจากและชี้ไปในทิศทางเดียวกัน เทอมที่เหลือคือแรงบิดเมื่อแรงบิดเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่ เช่นเดียวกับเมื่อแรงเป็นศูนย์ โมเมนตัมจะคงที่^{[18] : 14–15}แรงบิดสามารถหายไปได้แม้ว่าแรงจะไม่เป็นศูนย์ก็ตาม หากวัตถุตั้งอยู่ที่จุดอ้างอิง ( ) หรือหากแรงและเวกเตอร์การกระจัดมีทิศทางไปตามเส้นตรงเดียวกัน${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m\mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

โมเมนตัมเชิงมุมของมวลจุดรวม และของวัตถุที่ขยายออก จะหาได้จากการรวมส่วนร่วมจากจุดแต่ละจุด วิธีนี้ช่วยให้สามารถระบุลักษณะการหมุนของวัตถุรอบแกนได้ โดยการรวมโมเมนตัมเชิงมุมของชิ้นส่วนแต่ละชิ้นเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับแกนที่เลือก รูปร่างของวัตถุ และอัตราการหมุน^{[18] : 28}

กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันระบุว่าวัตถุใดๆ จะดึงดูดวัตถุอื่นๆ ไปตามเส้นตรงที่เชื่อมวัตถุทั้งสองเข้าด้วยกัน ขนาดของแรงดึงดูดจะแปรผันตามผลคูณของมวลของวัตถุทั้งสอง และแปรผกผันตามกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง การหารูปร่างของวงโคจรที่กฎแรงกำลังสองผกผันจะสร้างขึ้นนั้นเรียกว่าปัญหาเคปเลอร์ปัญหาเคปเลอร์สามารถแก้ไขได้หลายวิธี รวมทั้งการพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ลาปลาซ–รุงเง–เลนซ์คงที่^[51]หรือการใช้การแปลงทวิภาคีกับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสองมิติ^[52]ไม่ว่าจะแก้ปัญหาด้วยวิธีใด ผลลัพธ์ก็คือวงโคจรจะเป็นภาคตัดกรวยนั่นคือวงรี (รวมถึงวงกลม) พาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร และประเภทของภาคตัดกรวยจึงถูกกำหนดโดยพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่โคจรอยู่ ดาวเคราะห์ไม่มีพลังงานเพียงพอที่จะหลุดพ้นจากดวงอาทิตย์ ดังนั้นวงโคจรของดาวเคราะห์จึงเป็นรูปวงรีโดยประมาณ แต่เนื่องจากดาวเคราะห์ดึงดูดซึ่งกันและกัน วงโคจรจริงจึงไม่ใช่รูปกรวยที่แท้จริง

หากเพิ่มมวลที่สามเข้าไป ปัญหาเคปเลอร์จะกลายเป็นปัญหาสามวัตถุ ซึ่งโดยทั่วไปไม่มีคำตอบที่แน่นอนในรูปแบบปิดนั่นคือ ไม่มีทางที่จะเริ่มต้นจากสมการเชิงอนุพันธ์ที่นัยโดยกฎของนิวตัน และหลังจากลำดับจำกัดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานแล้ว ก็จะได้สมการที่แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสามในช่วงเวลาหนึ่ง^{[53] [54]} วิธีเชิงตัวเลขสามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์แม้ว่าจะเป็นเพียงค่าประมาณก็ตามสำหรับปัญหาสามวัตถุ^[55]ตำแหน่งและความเร็วของวัตถุสามารถเก็บไว้ในตัวแปรภายในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ กฎของนิวตันใช้เพื่อคำนวณว่าความเร็วจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรในช่วงเวลาสั้นๆ และเมื่อทราบความเร็วแล้ว ก็สามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งในช่วงเวลาดังกล่าวได้ กระบวนการนี้จะวนซ้ำเพื่อคำนวณเส้นทางของวัตถุโดยประมาณ โดยทั่วไป ยิ่งช่วงเวลาสั้นเท่าไร การประมาณก็จะแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น^[56]

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันอนุญาตให้เกิดความโกลาหลได้^{[57] [58]}กล่าวคือ ในแง่คุณภาพ ระบบทางฟิสิกส์ที่ปฏิบัติตามกฎของนิวตันสามารถแสดงการพึ่งพาที่ละเอียดอ่อนต่อเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบได้ การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยของตำแหน่งหรือความเร็วของส่วนหนึ่งของระบบอาจทำให้ระบบทั้งหมดมีพฤติกรรมที่แตกต่างไปอย่างสิ้นเชิงภายในเวลาอันสั้น ตัวอย่างที่น่าสังเกตได้แก่ ปัญหาสามวัตถุลูกตุ้มคู่บิลเลียดไดนามิกและปัญหาแฟร์มี–ปาสตา–อูลัม–ซิงโก

กฎของนิวตันสามารถนำไปใช้กับของไหล ได้ โดยพิจารณาว่าของไหลประกอบด้วยชิ้นส่วนเล็กๆ น้อยๆ ซึ่งแต่ละชิ้นจะออกแรงต่อชิ้นส่วนข้าง เคียง สมการโมเมนตัมของออยเลอร์เป็นการแสดงออกถึงกฎข้อที่สองของนิวตันที่ปรับให้เข้ากับพลศาสตร์ของไหล^{[59] [60]}ของไหลอธิบายโดยสนามความเร็ว กล่าวคือ ฟังก์ชันที่กำหนดเวกเตอร์ความเร็วให้กับแต่ละจุดในอวกาศและเวลา วัตถุขนาดเล็กที่ถูกพัดพาไปด้วยของไหลสามารถเปลี่ยนความเร็วได้ด้วยเหตุผลสองประการ ประการแรก เนื่องจากสนามความเร็วที่ตำแหน่งของวัตถุนั้นเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา และประการที่สอง เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งใหม่ที่สนามความเร็วมีค่าที่แตกต่างกัน ดังนั้น เมื่อกฎข้อที่สองของนิวตันถูกนำไปใช้กับของไหลส่วนที่เล็กมากๆ ความเร่งจะมีสองเทอม ซึ่งเป็นการรวมกันที่เรียกว่าอนุพันธ์ทั้งหมดหรืออนุพันธ์ของสสารมวลของส่วนที่เล็กมากๆ ขึ้นอยู่กับความหนาแน่น ของของไหล และจะมีแรงสุทธิกระทำต่อวัตถุนั้นหากแรงดันของของไหลเปลี่ยนแปลงไปจากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง ดังนั้น จึงกลายเป็น โดยที่คือ ความหนาแน่นเป็นความดัน และเป็นตัวแทนของอิทธิพลภายนอก เช่น แรงดึงดูดของแรงโน้มถ่วง การรวมผลของความหนืด เข้าไว้ด้วยกัน ทำให้สมการออยเลอร์กลายเป็นสมการนาเวียร์–สโตกส์โดย ที่คือความหนืดจลนศาสตร์^[59]${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \nu }$

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นไปได้ที่มวลจุดจำนวนหนึ่งจะเคลื่อนตัวตามกฎของนิวตัน และพุ่งตัวออกไปด้วยแรงมหาศาลจนพุ่งไปไกลถึงอนันต์ในเวลาจำกัด^[61]พฤติกรรมที่ไม่เป็นฟิสิกส์นี้ ซึ่งเรียกว่า "ภาวะเอกฐานที่ไม่เกิดการชนกัน" ^[54]ขึ้นอยู่กับว่ามวลมีลักษณะเหมือนจุดและสามารถเข้าใกล้กันได้อย่างพอเหมาะหรือไม่ รวมถึงไม่มีขีดจำกัดความเร็วตามทฤษฎีสัมพันธภาพในฟิสิกส์ของนิวตัน^[62]

ยังไม่ทราบว่าสมการของออยเลอร์และนาเวียร์–สโตกส์แสดงพฤติกรรมที่คล้ายคลึงกันของผลลัพธ์ที่ราบรื่นในตอนแรกที่ "ระเบิด" ขึ้นในเวลาจำกัดหรือไม่ คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่และความราบรื่นของผลลัพธ์ของนาเวียร์–สโตกส์เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลสหัสวรรษ^[63]

กลศาสตร์คลาสสิกสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้หลายวิธี นอกเหนือไปจากคำอธิบายของ "นิวตัน" (ซึ่งแน่นอนว่าได้นำเอาผลงานของผู้อื่นทั้งก่อนและหลังนิวตันมาผสมผสานเข้าด้วยกัน) เนื้อหาทางกายภาพของการกำหนดสูตรที่แตกต่างกันเหล่านี้เหมือนกับของนิวตัน แต่ให้ข้อมูลเชิงลึกที่แตกต่างกันและอำนวยความสะดวกในการคำนวณประเภทต่างๆ ตัวอย่างเช่นกลศาสตร์ลากรองจ์ช่วยให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างสมมาตรและกฎการอนุรักษ์ได้ชัดเจนขึ้น และมีประโยชน์เมื่อคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกจำกัด เช่น มวลที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งหรือบนพื้นผิวของทรงกลม^{[18] : 48} กลศาสตร์แฮมิลตันสะดวกสำหรับฟิสิกส์สถิติ [ 64 ^{] [65] : 57}นำไปสู่ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมมาตร^{[18] : 251}และสามารถพัฒนาเป็นเทคนิคที่ซับซ้อนสำหรับทฤษฎีการรบกวน^{[18] : 284}เนื่องจากหัวข้อเหล่านี้มีขอบเขตกว้าง การอภิปรายที่นี่จะจำกัดอยู่เพียงการอธิบายอย่างย่อๆ เกี่ยวกับวิธีการสร้างกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันใหม่

กลศาสตร์ลากรองจ์แตกต่างจากการกำหนดสูตรของนิวตันโดยพิจารณาเส้นทางทั้งหมดในครั้งเดียวแทนที่จะทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุในชั่วพริบตาเดียว^{[18] : 109}ตามธรรมเนียมแล้ว ในกลศาสตร์ลากรองจ์ จะใช้ตำแหน่งแทนและความเร็วแทนตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคืออนุภาคจุดมวล ซึ่งลากรองจ์สามารถเขียนเป็นความแตกต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ โดยที่พลังงานจลน์คือ และพลังงานศักย์คือฟังก์ชันบางอย่างของตำแหน่งเส้นทางทางกายภาพที่อนุภาคจะใช้ระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายคือเส้นทางที่อินทิกรัลของลากรองจ์ "นิ่ง" นั่นคือ เส้นทางทางกายภาพมีคุณสมบัติที่การรบกวนเล็กน้อยจะไม่เปลี่ยนอินทิกรัลของลากรองจ์ในการประมาณครั้งแรกแคลคูลัสของการแปรผันให้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการค้นหาเส้นทางนี้^{[42] : 485}การใช้แคลคูลัสของการแปรผันในการหาเส้นทางจะได้สมการออยเลอร์–ลากรองจ์สำหรับอนุภาค การประเมินอนุพันธ์ย่อยของลากรองจ์จะได้ สมการซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำกฎข้อที่สองของนิวตัน ด้านซ้ายมือคืออนุพันธ์ตามเวลาของโมเมนตัม และด้านขวามือคือแรงที่แสดงในรูปของพลังงานศักย์^{[9] : 737}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$$${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{f}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

ลันเดาและลิฟชิตซ์โต้แย้งว่าการกำหนดสูตรลากรองจ์ทำให้เนื้อหาเชิงแนวคิดของกลศาสตร์คลาสสิกชัดเจนยิ่งขึ้นกว่าการเริ่มต้นด้วยกฎของนิวตัน^[26]กลศาสตร์ลากรองจ์ให้กรอบที่สะดวกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเนอเธอร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับความสมมาตรและกฎการอนุรักษ์^[66]การอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถหาได้โดยการนำทฤษฎีบทของเนอเธอร์ไปใช้กับลากรองจ์สำหรับระบบอนุภาคหลายอนุภาค ดังนั้น กฎข้อที่สามของนิวตันจึงเป็นทฤษฎีบทมากกว่าสมมติฐาน^{[18] : 124}

ในกลศาสตร์แฮมิลตันพลวัตของระบบจะแสดงโดยฟังก์ชันที่เรียกว่าแฮมิลตัน ซึ่งในหลายกรณีที่น่าสนใจนั้นเท่ากับพลังงานทั้งหมดของระบบ^{[9] : 742}แฮมิลตันเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและโมเมนตัมของวัตถุทั้งหมดที่ประกอบเป็นระบบ และอาจขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน อนุพันธ์ของเวลาของตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมนั้นกำหนดโดยอนุพันธ์ย่อยของแฮมิลตันผ่านสมการของแฮมิลตัน [ ^{18] : 203}ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือมวลจุดที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงภายใต้อิทธิพลของศักย์ เมื่อเขียนสำหรับพิกัดตำแหน่งและโมเมนตัมของวัตถุ แฮมิลตันคือ ในตัวอย่างนี้ สมการของแฮมิลตันคือ และ เมื่อประเมินอนุพันธ์ย่อยเหล่านี้ สมการแรกจะกลายเป็นสมการ ที่สร้างคำกล่าวที่คุ้นเคยว่าโมเมนตัมของวัตถุเป็นผลคูณของมวลและความเร็ว อนุพันธ์ของโมเมนตัมตามเวลาคือ ซึ่งเมื่อระบุอนุพันธ์เชิงลบของศักย์ด้วยแรงแล้ว ก็จะเป็นเพียงกฎข้อที่สองของนิวตันอีกครั้งหนึ่ง^{[57] [9] : 742}${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

ในสูตรลากรองจ์ ในกลศาสตร์แฮมิลตัน การอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเนอเธอร์ ทำให้กฎข้อที่สามของนิวตันเป็นแนวคิดที่อนุมานได้ ไม่ใช่เป็นการสมมติ^{[18] : 251}

ข้อเสนอในการปฏิรูปหลักสูตรฟิสิกส์เบื้องต้นมาตรฐานมีอยู่หนึ่งข้อเสนอที่สอนแนวคิดเรื่องพลังงานก่อนแนวคิดเรื่องแรง ซึ่งก็คือ "กลศาสตร์แฮมิลตันเบื้องต้น" นั่นเอง^{[67] [68]}

สมการแฮมิลตัน-จาโคบีให้สูตรกลศาสตร์คลาสสิกอีกสูตรหนึ่ง ซึ่งทำให้สมการนี้คล้ายคลึงกับออปติกคลื่น ในทาง คณิตศาสตร์^{[18] : 284  [69]}สูตรนี้ใช้ฟังก์ชันแฮมิลตันด้วย แต่ใช้วิธีที่ต่างไปจากสูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น เส้นทางที่วัตถุหรือกลุ่มวัตถุใช้นั้นได้มาจากฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลาแฮมิลตันถูกนำมาผนวกเข้าในสมการแฮมิลตัน-จาโคบี ซึ่ง เป็น สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับวัตถุเคลื่อนที่ตามเวลาในลักษณะที่วิถีของวัตถุตั้งฉากกับพื้นผิวของค่าคงที่ซึ่งคล้ายคลึงกับวิธีที่แสงเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ตั้งฉากกับหน้าคลื่นของวัตถุ วิธีนี้จะอธิบายได้ง่ายที่สุดสำหรับกรณีของมวลจุดเดียว โดยที่เป็นฟังก์ชันและมวลจุดจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง โมเมนตัมของมวลจุดคือความชันของ: สมการแฮมิลตัน-จาโคบีสำหรับมวลจุดคือ ความสัมพันธ์กับกฎของนิวตันสามารถเห็นได้โดยพิจารณามวลจุดที่เคลื่อนที่ในศักย์อิสระจากเวลาซึ่งในกรณีนี้ สมการแฮมิลตัน-จาโคบีจะ กลายเป็น การ สลับลำดับของอนุพันธ์ย่อยในด้านซ้ายมือ และใช้ กฎ กำลังและลูกโซ่ของเทอมแรกในด้านขวามือ การรวบรวมเทอมที่ขึ้นอยู่กับความชันของ เข้าด้วยกัน นี่คือการแสดงออกใหม่อีกครั้งของกฎข้อที่สองของนิวตัน^[70]การแสดงออกในวงเล็บเป็นอนุพันธ์ทั้งหมด หรืออนุพันธ์ทางวัตถุตามที่กล่าวไว้ข้างต้น^[71]ซึ่งเทอมแรกระบุว่าฟังก์ชันที่กำลังแยกความแตกต่างเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปในตำแหน่งคงที่ และเทอมที่สองจะจับภาพว่าอนุภาคที่เคลื่อนที่จะมองเห็นค่าที่แตกต่างกันของฟังก์ชันนั้นอย่างไรเมื่อเดินทางจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง:${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$$${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

ในฟิสิกส์สถิติทฤษฎีจลนศาสตร์ของก๊าซใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันกับอนุภาคจำนวนมาก (โดยทั่วไปจะอยู่ในระดับของเลขอาโวกาโดร ) ทฤษฎีจลนศาสตร์สามารถอธิบายได้ เช่นแรงกดดันที่ก๊าซกระทำต่อภาชนะที่บรรจุก๊าซ ซึ่งเป็นผลรวมของการกระแทกของอะตอมหลายตัว โดยแต่ละอะตอมจะส่งโมเมนตัมในปริมาณเล็กน้อย^{[65] : 62}

สมการ Langevinเป็นกรณีพิเศษของกฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งดัดแปลงมาเพื่อใช้อธิบายวัตถุขนาดเล็กที่ถูกวัตถุขนาดเล็กกว่าพุ่งชนแบบสุ่ม^{[72] : 235}สามารถเขียนได้โดยที่เป็นค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านและเป็นแรงที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มจากช่วงเวลาหนึ่งไปสู่อีกช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งแสดงถึงผลกระทบสุทธิของการชนกับอนุภาคโดยรอบ ซึ่งใช้เพื่อสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน [ ^73]$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

กฎสามข้อของนิวตันสามารถนำไปใช้กับปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับไฟฟ้าและแม่เหล็กได้ แม้ว่าจะมีความละเอียดอ่อนและข้อควรระวังอยู่ก็ตาม

กฎของคูลอมบ์สำหรับแรงทางไฟฟ้าระหว่างวัตถุสองชิ้นที่มีประจุไฟฟ้า อยู่นิ่ง มีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันมากกับกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน: แรงจะแปรผันตามผลคูณของประจุ แปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง และมีทิศทางตามแนวเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง แรงคูลอมบ์ที่ประจุกระทำต่อประจุจะมีขนาดเท่ากับแรงที่กระทำต่อประจุทั้งสอง และมีทิศทางตรงข้ามกัน กฎของคูลอมบ์จึงสอดคล้องกับกฎข้อที่สามของนิวตัน^[74]${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

แม่เหล็กไฟฟ้าถือว่าแรงที่เกิดจากสนามที่กระทำกับประจุกฎแรงของลอเรนซ์ให้การแสดงออกสำหรับแรงที่กระทำกับวัตถุที่มีประจุซึ่งสามารถแทนค่าได้ในกฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อคำนวณความเร่งของวัตถุนั้น^{[75] : 85}ตามกฎแรงของลอเรนซ์ วัตถุที่มีประจุในสนามไฟฟ้าจะรับแรงในทิศทางของสนามนั้น ซึ่งเป็นแรงที่แปรผันตามประจุของมันและตามความแรงของสนามไฟฟ้า นอกจากนี้ วัตถุที่มีประจุ ที่เคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กจะรับแรงที่แปรผันตามประจุของมันเช่นกัน ในทิศทางที่ตั้งฉากกับทั้งสนามและทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยใช้ผลคูณ เวก เตอร์${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

หากสนามไฟฟ้าหายไป ( ) แรงจะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของประจุ เช่นเดียวกับในกรณีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอที่ศึกษาข้างต้น และประจุจะหมุนรอบ (หรือโดยทั่วไปเคลื่อนที่เป็นเกลียว ) รอบเส้นสนามแม่เหล็กที่ความถี่ไซโคลตรอน^{[72] : 222}สเปกโตรเมตรีมวลทำงานโดยการใช้สนามไฟฟ้าและ/หรือสนามแม่เหล็กกับประจุที่เคลื่อนที่และวัดความเร่งที่เกิดขึ้น ซึ่งตามกฎแรงของลอเรนซ์จะให้ผลลัพธ์เป็นอัตราส่วนระหว่างมวลต่อประจุ [ ^76]${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

การรวมตัวของวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าไม่ได้ปฏิบัติตามกฎข้อที่สามของนิวตันเสมอไป: โมเมนตัมของวัตถุหนึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยที่โมเมนตัมของวัตถุอีกชิ้นหนึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเพื่อชดเชย ความคลาดเคลื่อนนี้อธิบายได้จากโมเมนตัมที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าพาไป โมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะแปรผันตามเวกเตอร์พอยน์ติ้ง [ ^{77] : 184  [78]}

มีข้อขัดแย้งในเชิงแนวคิดที่ละเอียดอ่อนระหว่างทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและกฎข้อแรกของนิวตันทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ทำนายว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะเดินทางผ่านอวกาศว่างเปล่าด้วยความเร็วคงที่และแน่นอน ดังนั้น ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยบางคนจึงดูเหมือนจะมีสถานะที่มีสิทธิพิเศษเหนือคนอื่นๆ กล่าวคือ ผู้ที่วัดความเร็วแสงและพบว่าเป็นค่าที่คาดการณ์ไว้ในสมการของแมกซ์เวลล์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แสงเป็นมาตรฐานที่แน่นอนสำหรับความเร็ว แต่หลักการของความเฉื่อยถือว่าไม่ควรมีมาตรฐานดังกล่าว ความตึงเครียดนี้ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ ซึ่งแก้ไขแนวคิดเรื่องอวกาศและเวลาในลักษณะที่ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทุกคนจะเห็นด้วยกับความเร็วแสงในสุญญากาศ^{[หมายเหตุ 12]}

ในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ กฎที่วิลเช็กเรียกว่า "กฎข้อที่ศูนย์ของนิวตัน" ล้มเหลว: มวลของวัตถุประกอบไม่ใช่เพียงผลรวมของมวลของชิ้นส่วนแต่ละชิ้นเท่านั้น^{[81] : 33}กฎข้อแรกของนิวตัน ซึ่งก็คือ การเคลื่อนที่เฉื่อย ยังคงเป็นจริง กฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งก็คือ แรงคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ก็ยังคงเป็นจริงเช่นกัน เช่นเดียวกับการอนุรักษ์โมเมนตัม อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของโมเมนตัมก็ถูกปรับเปลี่ยน ผลที่ตามมาประการหนึ่งก็คือ ยิ่งวัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้นเท่าไร ก็ยิ่งเร่งความเร็วได้ยากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น ไม่ว่าจะใช้แรงมากเพียงใด วัตถุก็ไม่สามารถเร่งความเร็วให้ถึงความเร็วแสงได้ ขึ้นอยู่กับปัญหาที่เกิดขึ้น โมเมนตัมในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์สามมิติโดยที่ คือ มวลนิ่งของวัตถุและคือปัจจัยลอเรนซ์ซึ่งขึ้นอยู่กับความเร็วของวัตถุ หรืออีกทางหนึ่ง โมเมนตัมและแรงสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์สี่ตัว [ ^{82] : 107}${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

กฎข้อที่สามของนิวตันต้องได้รับการปรับเปลี่ยนในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ กฎข้อที่สามกล่าวถึงแรงระหว่างวัตถุสองชิ้นในเวลาเดียวกัน และลักษณะสำคัญของทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษก็คือความพร้อมกันนั้นสัมพันธ์กัน เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกันเมื่อเทียบกับผู้สังเกตคนหนึ่งอาจเกิดขึ้นในเวลาต่างกันเมื่อเทียบกับอีกคนหนึ่ง ดังนั้น ในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตคนหนึ่ง การกระทำและปฏิกิริยาอาจไม่ตรงกันข้ามกันโดยสิ้นเชิง และโมเมนตัมรวมของวัตถุที่โต้ตอบกันอาจไม่คงอยู่ การอนุรักษ์โมเมนตัมจะกลับคืนมาโดยรวมโมเมนตัมที่เก็บไว้ในสนามที่อธิบายปฏิสัมพันธ์ของวัตถุ^{[83] [84]}

กลศาสตร์ของนิวตันเป็นการประมาณค่าที่ดีสำหรับทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษเมื่อความเร็วที่เกี่ยวข้องมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความเร็วของแสง^{[85] : 131}

ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีแรงโน้มถ่วงที่ก้าวหน้ากว่าทฤษฎีของนิวตัน ในทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป แรงโน้มถ่วงของกลศาสตร์ของนิวตันถูกคิดใหม่เป็นความโค้งของ กาล อวกาศเส้นทางโค้งเช่นวงโคจร ซึ่งเชื่อกันว่าเกิดจากแรงโน้มถ่วงในกลศาสตร์ของนิวตัน ไม่ใช่ผลจากแรงที่เบี่ยงเบนวัตถุออกจากเส้นทางเส้นตรงในอุดมคติ แต่เป็นความพยายามของวัตถุที่จะตกลงมาอย่างอิสระผ่านพื้นหลังที่โค้งงอจากการมีอยู่ของมวลอื่นๆจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์ได้สรุปทฤษฎีนี้ไว้ ซึ่งกลายเป็นที่กล่าวขานในหมู่นักฟิสิกส์ว่า "กาลอวกาศบอกสสารว่าต้องเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกกาลอวกาศให้โค้งอย่างไร" ^{[86] [87]}วีลเลอร์เองคิดว่าความสัมพันธ์แบบกลับกันนี้เป็นรูปแบบทั่วไปสมัยใหม่ของกฎข้อที่สามของนิวตัน^[86]ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายตัวของสสารและความโค้งของกาลอวกาศนั้นกำหนดโดยสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งต้องใช้แคลคูลัสเทนเซอร์ในการแสดง^{[81] : 43  [88]}

ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันเป็นการประมาณค่าที่ดีสำหรับการคาดการณ์ของทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไปเมื่อแรงโน้มถ่วงมีผลอ่อนและวัตถุเคลื่อนที่ช้าเมื่อเทียบกับความเร็วแสง^{[79] : 327  [89]}

กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีทางฟิสิกส์ที่พัฒนาขึ้นเพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์ในระดับจุลภาค ได้แก่ พฤติกรรมในระดับโมเลกุล อะตอม หรืออนุภาคย่อยอะตอม โดยทั่วไปแล้ว ยิ่งระบบมีขนาดเล็กเท่าใด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมก็ยิ่งต้องการความเข้าใจเกี่ยวกับผลกระทบของควอนตัมมากขึ้นเท่านั้น หลักการพื้นฐานของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นแตกต่างอย่างมากจากฟิสิกส์คลาสสิกแทนที่จะคิดถึงปริมาณเช่น ตำแหน่ง โมเมนตัม และพลังงานเป็นคุณสมบัติของวัตถุเราลองพิจารณาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นเมื่อ ทำการ วัดประเภทที่เลือก กลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้ฟิสิกส์สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่การวัดที่เลือกจะทำให้เกิดผลลัพธ์เฉพาะเจาะจงได้^{[90] [91]}ค่าคาดหวังสำหรับการวัดคือค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่อาจเกิดขึ้น โดยถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น^[92]

ทฤษฎีบทเอเรนเฟสต์ให้การเชื่อมโยงระหว่างค่าคาดหวังของควอนตัมและกฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งเป็นการเชื่อมโยงที่ไม่แน่นอน เนื่องจากฟิสิกส์ควอนตัมมีความแตกต่างจากฟิสิกส์คลาสสิกโดยพื้นฐาน ในฟิสิกส์ควอนตัม ตำแหน่งและโมเมนตัมแสดงโดยหน่วยทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนและกฎบอร์นใช้ในการคำนวณค่าคาดหวังของการวัดตำแหน่งหรือการวัดโมเมนตัม โดยทั่วไปแล้วค่าคาดหวังเหล่านี้จะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา นั่นคือ ขึ้นอยู่กับเวลาที่ทำการวัดตำแหน่ง (ตัวอย่างเช่น) ความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันจะแตกต่างกันไป ทฤษฎีบทเอเรนเฟสต์กล่าวโดยคร่าวๆ ว่าสมการที่อธิบายว่าค่าคาดหวังเหล่านี้เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปมีรูปแบบที่ชวนให้นึกถึงกฎข้อที่สองของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ยิ่งเอฟเฟกต์ควอนตัมเด่นชัดมากขึ้นในสถานการณ์ที่กำหนด การสรุปผลที่มีความหมายจากความคล้ายคลึงกันนี้ก็ยิ่งยากขึ้นเท่านั้น^{[หมายเหตุ 13]}

แนวคิดที่อ้างถึงในกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ได้แก่ มวล ความเร็ว โมเมนตัม แรง มีต้นแบบมาจากงานก่อนหน้านี้ และเนื้อหาของฟิสิกส์ของนิวตันได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมหลังจากยุคของนิวตัน นิวตันผสมผสานความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของท้องฟ้าเข้ากับการศึกษาเหตุการณ์บนโลก และแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีกลศาสตร์ทฤษฎีหนึ่งสามารถครอบคลุมทั้งสองอย่างได้^{[หมายเหตุ 14]}

วิชาฟิสิกส์มักถูกสืบย้อนไปถึงอริสโตเติลแต่ประวัติศาสตร์ของแนวคิดที่เกี่ยวข้องนั้นถูกบดบังด้วยปัจจัยหลายประการ การสอดคล้องกันที่แน่นอนระหว่างแนวคิดของอริสโตเติลและแนวคิดสมัยใหม่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะระบุได้ง่าย อริสโตเติลไม่ได้แยกแยะอย่างชัดเจนว่าอะไรคือสิ่งที่เราเรียกว่าความเร็วและแรง ใช้คำเดียวกันสำหรับความหนาแน่นและความหนืดและถือว่าการเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางเสมอ ไม่ใช่ผ่านอวกาศ นอกจากนี้ แนวคิดบางอย่างที่มักเรียกว่า "ของอริสโตเติล" อาจกล่าวได้ดีกว่าว่ามาจากผู้ติดตามและผู้วิจารณ์ของเขา^[97]ผู้วิจารณ์เหล่านี้พบว่าฟิสิกส์ของอริสโตเติลมีปัญหาในการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ^{[หมายเหตุ 15]}อริสโตเติลแบ่งการเคลื่อนที่ออกเป็นสองประเภท: "ตามธรรมชาติ" และ "รุนแรง" การเคลื่อนที่ "ตามธรรมชาติ" ของสสารแข็งในดินคือการตกลงมาด้านล่าง ในขณะที่การเคลื่อนที่ "รุนแรง" สามารถผลักวัตถุไปด้านข้างได้ ยิ่งไปกว่านั้น ในฟิสิกส์ของอริสโตเติล การเคลื่อนที่ "รุนแรง" ต้องมีสาเหตุโดยตรง หากแยกออกจากสาเหตุของการเคลื่อนไหว "รุนแรง" วัตถุจะกลับไปสู่พฤติกรรม "ตามธรรมชาติ" ของมัน อย่างไรก็ตาม หอกยังคงเคลื่อนที่ต่อไปแม้จะหลุดจากมือของผู้ขว้างแล้ว อริสโตเติลสรุปว่าอากาศรอบๆ หอกจะต้องได้รับการส่งผ่านด้วยความสามารถในการเคลื่อนหอกไปข้างหน้า

จอห์น ฟิโลโพ นัส นัก คิด ชาวกรีกไบแซนไทน์ที่มีบทบาทในศตวรรษที่ 6 พบว่าสิ่งนี้เป็นเรื่องไร้สาระ: อากาศ ซึ่งเป็นตัวกลางชนิดเดียวกัน มีหน้าที่รับผิดชอบทั้งในการรักษาการเคลื่อนที่และขัดขวางการเคลื่อนที่ หากแนวคิดของอริสโตเติลเป็นความจริง ฟิโลโพนัสกล่าวว่า กองทัพจะยิงอาวุธโดยเป่าด้วยเครื่องเป่าลมใส่อาวุธ ฟิโลโพนัสโต้แย้งว่าการทำให้วัตถุเคลื่อนที่จะทำให้เกิดแรงผลักดันซึ่งจะบรรจุอยู่ในวัตถุนั้นเอง ตราบใดที่แรงผลักดันยังคงอยู่ วัตถุก็จะเคลื่อนที่ต่อไป^{[99] : 47}ในศตวรรษต่อมา ทฤษฎีแรงผลักดันหลายเวอร์ชันได้รับการเสนอโดยบุคคลต่างๆ เช่นนูร์ อัด-ดิน อัล-บิท รูจี อวิ เซนนา อ บู-บารากัต อัล-แบกดาดี จอห์นบูริดานและอัลเบิร์ตแห่งแซกโซนีเมื่อมองย้อนกลับไป แนวคิดเรื่องแรงผลักดันสามารถมองได้ว่าเป็นผู้บุกเบิกแนวคิดเรื่องโมเมนตัมสมัยใหม่^{[หมายเหตุ 16]}สัญชาตญาณที่ว่าวัตถุเคลื่อนที่ตามแรงผลักดันบางอย่างยังคงมีอยู่ในตัวนักศึกษาฟิสิกส์เบื้องต้นหลายคน^[101]

นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสRené Descartesได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความเฉื่อยชาโดยใช้ "กฎแห่งธรรมชาติ" ของเขาในหนังสือ The World ( Traité du monde et de la lumière ) ซึ่งเขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1629–33 อย่างไรก็ตามThe Worldนำเสนอ มุมมองโลกที่เน้น ดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางและในปี ค.ศ. 1633 มุมมองดังกล่าวได้ก่อให้เกิดความขัดแย้งครั้งใหญ่ระหว่างGalileo Galileiและศาลศาสนานิกายโรมันคาธอลิก Descartes ทราบถึงความขัดแย้งนี้และไม่ต้องการเข้าไปเกี่ยวข้องThe Worldไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกระทั่งปี ค.ศ. 1664 ซึ่งเป็นเวลาสิบปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต^[102]

แนวคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับแรงเฉื่อยนั้นได้รับเครดิตจากกาลิเลโอ จากการทดลองของเขา กาลิเลโอสรุปว่าพฤติกรรม "ตามธรรมชาติ" ของวัตถุที่เคลื่อนที่คือการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง จนกว่าจะมีสิ่งอื่นมาขัดขวาง ในTwo New Sciences (1638) กาลิเลโอเขียนไว้ว่า: ^{[103] [104]}

ลองจินตนาการถึงอนุภาคใดๆ ที่ฉายไปตามระนาบแนวนอนโดยไม่มีแรงเสียดทาน จากนั้น เราทราบจากสิ่งที่ได้อธิบายไว้โดยละเอียดในหน้าก่อนหน้าแล้วว่า อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปตามระนาบเดียวกันนี้ด้วยการเคลื่อนที่ที่สม่ำเสมอและต่อเนื่อง ตราบใดที่ระนาบนั้นไม่มีขีดจำกัด

กาลิเลโอตระหนักว่าในการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกยิงออกไป แรงโน้มถ่วงของโลกส่งผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวตั้งแต่ไม่ใช่ในแนวนอน^[105]อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความเฉื่อยของกาลิเลโอไม่ใช่แนวคิดที่จะถูกนำมาเขียนเป็นกฎข้อแรกของนิวตัน กาลิเลโอคิดว่าวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยแรงเฉื่อยเป็นระยะทางไกลจะเคลื่อนที่ตามเส้นโค้งของโลก แนวคิดนี้ได้รับการแก้ไขโดยไอแซก เบ็คแมน เดส์การ์ตส์ และปิแอร์ กัสเซนดีซึ่งตระหนักว่าการเคลื่อนที่ด้วยแรงเฉื่อยควรเป็นการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง^[106]เดส์การ์ตส์เผยแพร่กฎธรรมชาติ (กฎการเคลื่อนที่) ของเขาพร้อมกับการแก้ไขนี้ในPrinciples of Philosophy ( Principia Philosophiae ) ในปี ค.ศ. 1644 โดยปรับส่วนที่เป็นศูนย์กลางดวงอาทิตย์ให้ลดลง^{[107] [102]}

กฎธรรมชาติข้อที่หนึ่ง: ทุกสิ่งเมื่อปล่อยทิ้งไว้ตามลำพังจะคงอยู่ในสภาพเดียวกัน ดังนั้นวัตถุใดๆ ก็ตามที่เคลื่อนไหวก็จะเคลื่อนไหวต่อไป จนกว่าจะมีบางสิ่งบางอย่างมาหยุดมันไว้

กฎธรรมชาติข้อที่สอง: สิ่งมีชีวิตทุกชนิดที่เคลื่อนไหวจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงหากปล่อยทิ้งไว้ ดังนั้น วัตถุใดๆ ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะเคลื่อนตัวออกจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเสมอ

ตามที่นักปรัชญาชาวอเมริกัน Richard J. Blackwellกล่าวไว้นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์Christiaan Huygensได้คิดค้นกฎหมายฉบับย่อของเขาเองในปี 1656 ^[108] กฎหมาย ดังกล่าวไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกระทั่งในปี 1703 ซึ่งเป็นเวลาแปดปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต ในย่อหน้าเปิดของDe Motu Corporum ex Percussione

สมมติฐานที่ 1: วัตถุใดๆ ที่กำลังเคลื่อนที่จะเคลื่อนที่ต่อไปด้วยความเร็วเท่าเดิมและเป็นเส้นตรง เว้นแต่จะมีสิ่งขัดขวาง

ตามที่ฮอยเกนส์กล่าวไว้ กฎนี้เป็นที่รู้จักอยู่แล้วโดยกาลิเลโอและเดส์การ์ตส์รวมถึงคนอื่นๆ^[108]

คริสเตียน ฮอยเกนส์ ได้เสนอสมมติฐานในหนังสือHorologium Oscillatorium (1673) ว่า "จากแรงกระทำของแรงโน้มถ่วง ไม่ว่าจะมีที่มาจากที่ใด วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง และการเคลื่อนที่ลงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง" กฎข้อที่สองของนิวตันได้สรุปสมมติฐานนี้จากแรงโน้มถ่วงไปยังแรงทั้งหมด^[109]

ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของฟิสิกส์ของนิวตันคือแรงต่างๆ สามารถกระทำได้ในระยะไกลโดยไม่ต้องสัมผัสกัน^{[หมายเหตุ 17]}ตัวอย่างเช่น ดวงอาทิตย์และโลกมีแรงโน้มถ่วงดึงดูดซึ่งกันและกัน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเป็นล้านกิโลเมตร ซึ่งตรงกันข้ามกับแนวคิดที่เดส์การ์ตส์และคนอื่นๆ เสนอว่าแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ทำให้ดาวเคราะห์ต่างๆ โคจรอยู่ได้โดยการหมุนวนในกระแสน้ำวนของสสารโปร่งใสที่เรียกว่าอีเธอร์ [ ^116]นิวตันพิจารณาคำอธิบายแรงที่อธิบายโดยอีเธอร์ แต่สุดท้ายก็ปฏิเสธ^[114]การศึกษาเกี่ยวกับแม่เหล็กโดยวิลเลียม กิลเบิร์ตและคนอื่นๆ ได้สร้างบรรทัดฐานสำหรับการคิดถึงแรงที่ไม่ใช่วัตถุ^[114]และไม่สามารถหาคำอธิบายเชิงปริมาณที่น่าพอใจสำหรับกฎของแรงโน้มถ่วงของเขาในแง่ของแบบจำลองอากาศธาตุได้ ในที่สุด นิวตันก็ประกาศว่า " ฉันไม่ได้แสร้งทำเป็นสมมติฐานใดๆ ": ไม่ว่าจะพบว่าแบบจำลองเช่นกระแสน้ำวนของเดส์การ์ตส์เป็นพื้นฐาน ของทฤษฎีการเคลื่อนที่และแรงโน้มถ่วงของ ปรินซิเปียหรือไม่ พื้นฐานแรกสำหรับการตัดสินพวกมันจะต้องเป็นคำทำนายที่ประสบความสำเร็จที่พวกเขาทำ^[117]และแน่นอนว่าตั้งแต่สมัยของนิวตันความพยายามทุกครั้งในการสร้างแบบจำลองดังกล่าวก็ล้มเหลว

โยฮันเนส เคปเลอร์เสนอว่าแรงดึงดูดของแรงโน้มถ่วงเป็นแบบกลับกัน เช่น ดวงจันทร์ดึงดูดโลกในขณะที่โลกดึงดูดดวงจันทร์ แต่เขาไม่ได้โต้แย้งว่าแรงดึงดูดดังกล่าวเท่ากันและตรงกันข้าม^[118]ในหนังสือPrinciples of Philosophy (1644) เดส์การ์ตเสนอแนวคิดว่าในระหว่างการชนกันของวัตถุ "ปริมาณการเคลื่อนที่" จะไม่เปลี่ยนแปลง เดส์การ์ตได้กำหนดปริมาณนี้ไว้อย่างคลุมเครือโดยนำผลคูณของความเร็วและ "ขนาด" ของวัตถุแต่ละชิ้นมาบวกกัน โดยสำหรับเขา "ขนาด" นั้นรวมถึงทั้งปริมาตรและพื้นที่ผิวด้วย^[119]นอกจากนี้ เดส์การ์ตยังคิดว่าจักรวาลเป็นพลีนัมนั่นคือเต็มไปด้วยสสาร ดังนั้นการเคลื่อนที่ทั้งหมดจึงต้องใช้วัตถุเพื่อเคลื่อนย้ายตัวกลางในขณะที่มันเคลื่อนที่

ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1650 ฮอยเกนส์ได้ศึกษาการชนกันระหว่างทรงกลมแข็งและได้สรุปหลักการที่ปัจจุบันเรียกว่าการอนุรักษ์โมเมนตัม^{[120] [121] ต่อมา} คริสโตเฟอร์ เรนได้สรุปกฎเดียวกันสำหรับการชนแบบยืดหยุ่นที่ฮอยเกนส์ใช้ และจอห์น วอลลิสได้นำการอนุรักษ์โมเมนตัมมาใช้เพื่อศึกษาการชนแบบยืดหยุ่นนิวตันได้อ้างอิงงานของฮอยเกนส์ เรน และวอลลิสเพื่อสนับสนุนความถูกต้องของกฎข้อที่สามของเขา^[122]

นิวตันได้กำหนดกฎสามข้อของเขาขึ้นทีละน้อย ในต้นฉบับที่เขียนถึงฮอยเกนส์ในปี ค.ศ. 1684เขาได้ระบุกฎสี่ข้อ ได้แก่ หลักการเฉื่อย การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ด้วยแรง คำกล่าวเกี่ยวกับการเคลื่อนที่สัมพันธ์กันซึ่งปัจจุบันจะเรียกว่าความคงตัวของกาลิเลโอและกฎที่ว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุจะไม่เปลี่ยนการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ในต้นฉบับฉบับหลัง นิวตันได้เพิ่มกฎของการกระทำและปฏิกิริยา ในขณะที่กล่าวว่ากฎนี้และกฎเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวลนั้นบ่งชี้ซึ่งกันและกัน นิวตันอาจสรุปได้ว่ากฎนี้และกฎเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวลนั้นมีผลสืบเนื่องกันในระหว่างปี ค.ศ. 1685 ^[123]

นิวตันแสดงกฎข้อที่สองของเขาโดยกล่าวว่าแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นแปรผันตามการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่หรือโมเมนตัมของมัน ในช่วงเวลาที่เขียนPrincipiaเขาได้พัฒนาแคลคูลัส (ซึ่งเขาเรียกว่า " วิทยาศาสตร์ของการไหล ") ไว้แล้ว แต่ในPrincipiaเขาไม่ได้ใช้มันอย่างชัดเจน บางทีอาจเป็นเพราะเขาเชื่อว่าการโต้แย้งทางเรขาคณิตในประเพณีของยูคลิดนั้นเข้มงวดกว่า^{[125] : 15  [126]}ดังนั้นPrincipiaจึงไม่แสดงการเร่งความเร็วเป็นอนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง และดังนั้นจึงไม่ได้ให้กฎข้อที่สองเป็นกฎข้อที่สองรูปแบบนี้ถูกเขียนขึ้น (สำหรับกรณีพิเศษของแรงคงที่) อย่างน้อยในช่วงต้นปี ค.ศ. 1716 โดยJakob Hermann ; Leonhard Eulerได้ใช้กฎข้อนี้เป็นหลักฐานพื้นฐานในช่วงปี ค.ศ. 1740 ^[127]ออยเลอร์เป็นผู้บุกเบิกการศึกษาเกี่ยวกับวัตถุแข็ง^[128]และได้วางทฤษฎีพื้นฐานของพลศาสตร์ของไหล^{[129] ผลงานห้าเล่ม} Traité de mécanique céleste (1798–1825) ของPierre-Simon Laplace ละทิ้งเรขาคณิตและพัฒนากลศาสตร์โดยใช้การแสดงออกทางพีชคณิตเพียงอย่างเดียว ในขณะที่คลี่คลายคำถามที่ Principiaทิ้งไว้ เช่นเดียวกับทฤษฎีที่สมบูรณ์เกี่ยวกับกระแสน้ำ^[130 ]${\displaystyle F=ma}$

แนวคิดเรื่องพลังงานกลายมาเป็นส่วนสำคัญของกลศาสตร์ของนิวตันในช่วงหลังยุคนิวตัน การแก้ปัญหาการชนกันของทรงกลมแข็งของฮอยเกนส์แสดงให้เห็นว่าในกรณีนั้น ไม่เพียงแต่โมเมนตัมเท่านั้นที่อนุรักษ์ไว้ แต่พลังงานจลน์ก็อนุรักษ์ไว้เช่นกัน (หรืออีกนัยหนึ่งก็คือปริมาณที่เมื่อมองย้อนกลับไป เราสามารถระบุได้ว่าเป็นครึ่งหนึ่งของพลังงานจลน์ทั้งหมด) คำถามที่ว่าอะไรอนุรักษ์ไว้ในระหว่างกระบวนการอื่นๆ ทั้งหมด เช่น การชนกันที่ไม่มีความยืดหยุ่นและการเคลื่อนที่ที่ช้าลงเนื่องจากแรงเสียดทาน ไม่ได้รับการแก้ไขจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 การโต้วาทีในหัวข้อนี้ทับซ้อนกับข้อโต้แย้งทางปรัชญาเกี่ยวกับมุมมองทางปรัชญาของนิวตันและไลบนิซ และบางครั้งมีการใช้คำว่า "แรง" หลายรูปแบบเพื่อระบุสิ่งที่เราเรียกว่าประเภทของพลังงาน ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 1742 เอมีลี ดู ชาเตอเลต์เขียนว่า "แรงที่ตายแล้วประกอบด้วยแนวโน้มง่ายๆ ในการเคลื่อนที่ เช่น แรงของสปริงที่พร้อมจะคลายตัว แรงที่มีชีวิตคือแรงที่วัตถุมีเมื่อเคลื่อนที่จริง" ในศัพท์สมัยใหม่ "แรงตาย" และ "แรงมีชีวิต" สอดคล้องกับพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ตามลำดับ^[131]การอนุรักษ์พลังงานไม่ได้ถูกกำหนดให้เป็นหลักการสากลจนกว่าจะเข้าใจว่าพลังงานของงานเชิงกลสามารถกระจายไปเป็นความร้อนได้^{[132] [133]}เมื่อได้แนวคิดเรื่องพลังงานที่มั่นคงแล้ว กฎของนิวตันจึงสามารถหาได้จากสูตรของกลศาสตร์คลาสสิกที่เน้นพลังงานเป็นอันดับแรก ดังเช่นในสูตรของลากรองจ์และแฮมิลตันที่อธิบายไว้ข้างต้น

การนำเสนอกฎของนิวตันในปัจจุบันใช้คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์ ซึ่งเป็นหัวข้อที่ไม่ได้รับการพัฒนาจนกระทั่งช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 พีชคณิตเวกเตอร์ซึ่งริเริ่มโดยJosiah Willard GibbsและOliver Heavisideมีต้นกำเนิดมาจากและเข้ามาแทนที่ระบบควอเทอร์เนียนที่คิดค้นโดยWilliam Rowan Hamiltonเป็น ส่วนใหญ่ ^{[134] [135]}

• กฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์
• ประวัติศาสตร์กลศาสตร์คลาสสิก
• รายชื่อกฎหมายที่มีชื่อเดียวกัน
• รายชื่อสมการในกลศาสตร์คลาสสิก
• รายชื่อกฎทางวิทยาศาสตร์ที่ตั้งชื่อตามบุคคล
• รายชื่อตำราเรียนเกี่ยวกับกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม
• โดมนอร์ตัน