ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มปวงกาเร

บทความนี้มีรายการอ้างอิงทั่วไปแต่ขาดการอ้างอิงแบบอินไลน์ ที่สอดคล้องกัน เพียงพอโปรดช่วยปรับปรุงบทความนี้โดยเพิ่มการอ้างอิงที่แม่นยำยิ่งขึ้น ( พฤศจิกายน 2019 ) ( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

กลุ่มโกหกและพีชคณิตโกหก
กลุ่มดนตรีคลาสสิก ทั่วไปเชิงเส้น GL( n ) เชิงเส้นพิเศษ SL( n ) มุมฉาก O( n ) มุมฉากพิเศษ SO( n ) หน่วย U( n ) ยูนิตารีพิเศษ SU( n ) ซิม เพล็กติก Sp( n )
กลุ่มโกหกธรรมดา คลาสสิก หนึ่ง​ บีเอ็น ซีเอ็น ดีเอ็น พิเศษ จี2 เอฟ4 อี6 อี7 อี8
กลุ่มโกหกอื่น ๆ วงกลม ลอเรนซ์ ปวงกาเร่ กลุ่มคอนฟอร์มัล ความแตกต่างทางสัณฐานวิทยา ลูป ยูคลิด
พีชคณิตลี กลุ่มลี–ความสอดคล้องของพีชคณิตลี แผนที่เลขยกกำลัง การเป็นตัวแทนร่วม รูปแบบการฆ่า ดัชนี Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มปวงกาเรเป็นตัวอย่างของทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มลีที่ไม่ใช่กลุ่มกะทัดรัดหรือกลุ่มกึ่งเรียบง่ายทฤษฎีนี้ถือเป็นพื้นฐานในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี

ในทฤษฎีทางฟิสิกส์ที่มีปริภูมิมิงกอฟสกี้เป็นปริภูมิเวลา พื้นฐาน ปริภูมิของสถานะทางกายภาพโดยทั่วไปจะแสดงถึงกลุ่มปวงกาเร (โดยทั่วไป อาจเป็นการแสดงแบบฉายภาพซึ่งเท่ากับการแสดงถึงการครอบคลุมสองชั้นของกลุ่ม)

ในทฤษฎีสนามคลาสสิกสถานะทางกายภาพคือส่วนต่างๆ ของกลุ่มเวกเตอร์ ที่สมดุลของปวงกา เรเหนือปริภูมิมิงกอฟสกี้ เงื่อนไขสมดุลหมายความว่ากลุ่มนี้มีผลต่อปริภูมิทั้งหมดของกลุ่มเวกเตอร์ และการฉายภาพไปยังปริภูมิมิงกอฟสกี้เป็นแผนที่สมดุลดังนั้น กลุ่มปวงกาเรจึงมีผลต่อปริภูมิของส่วนต่างๆ ด้วย การแสดงที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้ (และผลหารย่อยของการแสดง) เรียกว่าการแสดงของสนามโคเวอร์เรียนต์ และโดยปกติแล้วจะไม่เป็นเอกภาพ

สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับการแสดงแบบเอกภาพ ดังกล่าว โปรดดูการจำแนกประเภทของ Wigner

ในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะของระบบถูกกำหนดโดยสมการของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงของกาลิเลโอ ทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นส่วนขยายเชิงสัมพันธภาพของกลศาสตร์ควอนตัม โดยสมการคลื่นเชิงสัมพันธภาพ (ไม่แปรเปลี่ยนของลอเรนซ์/ปวงกาเร) จะถูกแก้ "ควอนติไซซ์" และกระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ประกอบด้วยสถานะ ของฟ็ อก

ไม่มีการแสดงภาพแบบเอกภาพจำกัดของการแปลงลอเรนตซ์ (และปวงกาเร) เต็มรูปแบบเนื่องจากลักษณะไม่กะทัดรัดของการเพิ่มของลอเรนตซ์ (การหมุนในปริภูมิมิงกอฟสกี้ตามแกนปริภูมิและเวลา) อย่างไรก็ตาม มีการแสดงภาพแบบแยกส่วนไม่เอกภาพจำกัดของพีชคณิตปวงกาเร ซึ่งอาจใช้สำหรับสร้างแบบจำลองของอนุภาคที่ไม่เสถียร^{[1] [2]}

ในกรณีของอนุภาคสปิน 1/2 เป็นไปได้ที่จะพบโครงสร้างที่รวมทั้งการแสดงมิติจำกัดและผลคูณสเกลาร์ที่คงไว้โดยการแสดงนี้โดยการเชื่อมโยงสปินเนอร์ของดิแรก ที่มี 4 องค์ประกอบ กับแต่ละอนุภาค สปินเนอร์เหล่านี้แปลงภายใต้การแปลงลอเรนตซ์ที่สร้างโดยเมทริกซ์แกมมา ( ) สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าผลคูณสเกลาร์${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \gamma _{\mu }}$

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

ถูกเก็บรักษาไว้ อย่างไรก็ตาม มันไม่แน่นอนในทางบวก ดังนั้นการแสดงจึงไม่เป็นเอกภาพ

• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 978-3540580805-
• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996), การวิเคราะห์เชิงปริมาณภาคสนาม , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Harish-Chandra (1947), "การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของกลุ่ม Lorentz", Proc. R. Soc. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode :1947RSPSA.189..372H, doi :10.1098/rspa.1947.0047
• ฮอลล์, ไบรอัน ซี. (2015), กลุ่มลี, พีชคณิตลี และการแสดง: บทนำเบื้องต้น , ตำราบัณฑิตในคณิตศาสตร์, เล่ม 222 (พิมพ์ครั้งที่ 2), Springer, doi :10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, เลขที่ ISSN  0072-5285
• Wigner, EP (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode :1939AnMat..40..149W, doi :10.2307/1968551, JSTOR  1968551, MR  1503456, S2CID  121773411-

• การจำแนกประเภทของวิกเนอร์
• ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มลอเรนทซ์
• ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มกาลิเลโอ
• ทฤษฎีการแสดงของกลุ่มดิฟเฟโอมอร์ฟิซึม
• ฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีการแทนค่า
• ความสมมาตรในกลศาสตร์ควอนตัม