การแสดงตัวแทนของกลุ่มลีคลาสสิก

กลุ่มโกหกและพีชคณิตโกหก
กลุ่มดนตรีคลาสสิก ทั่วไปเชิงเส้น GL( n ) เชิงเส้นพิเศษ SL( n ) มุมฉาก O( n ) มุมฉากพิเศษ SO( n ) หน่วย U( n ) ยูนิตารีพิเศษ SU( n ) ซิม เพล็กติก Sp( n )
กลุ่มโกหกธรรมดา คลาสสิก หนึ่ง​ บีเอ็น ซีเอ็น ดีเอ็น พิเศษ จี2 เอฟ4 อี6 อี7 อี8
กลุ่มโกหกอื่น ๆ วงกลม ลอเรนซ์ ปวงกาเร่ กลุ่มคอนฟอร์มัล ความแตกต่างทางสัณฐานวิทยา ลูป ยูคลิด
พีชคณิตลี กลุ่มลี–ความสอดคล้องของพีชคณิตลี แผนที่เลขยกกำลัง การเป็นตัวแทนร่วม รูปแบบการฆ่า ดัชนี พีชคณิตลีแบบง่าย พีชคณิตลูป พีชคณิตแอฟฟีนไล
พีชคณิตลีเซมิซิมเปิล ไดอะแกรมไดนามิก พีชคณิตย่อยของคาร์ตัน ระบบราก กลุ่มไวล์ แบบจริง ความซับซ้อน พีชคณิตแยกลี พีชคณิตลีแบบกระชับ
ทฤษฎีการแทนค่า การเป็นตัวแทนกลุ่มโกหก การแสดงพีชคณิตแบบโกหก ทฤษฎีการแทนค่าของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิล การแสดงตัวแทนของกลุ่มลีคลาสสิก ทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุด ทฤษฎีบทโบเรล–ไวล์–บอตต์
กลุ่มโกหกในฟิสิกส์ ฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีการแทนค่า การแสดงตัวแทนกลุ่มลอเรนซ์ ตัวแทนกลุ่มปวงกาเร การแสดงตัวแทนกลุ่มกาลิเลโอ
นักวิทยาศาสตร์ โซฟัส ลี อองรี ปวงกาเร การฆ่าวิลเฮล์ม เอลี คาร์ตัน แฮร์มันน์ ไวล์ คล็อด เชอแวลลีย์ ฮาริช-จันทรา Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

ในทางคณิตศาสตร์ การแทนค่ามิติจำกัดของกลุ่มลีคลาสสิก ที่ซับซ้อน , , , , , , สามารถสร้างได้โดยใช้ทฤษฎีการแทนค่าทั่วไปของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายกลุ่ม , , เป็นกลุ่มลีแบบง่ายและการแสดงค่ามิติจำกัดของกลุ่มเหล่านี้สอดคล้อง^[1]กับกลุ่มย่อยที่กะทัดรัดสูงสุด ของกลุ่มเหล่านี้ ตามลำดับ, , . ในการจำแนกพีชคณิตลีแบบง่ายพีชคณิตที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SU(n)}$${\displaystyle SO(n)}$${\displaystyle Sp(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}SL(n,\mathbb {C} )&\to A_{n-1}\\SO(n_{\text{odd}},\mathbb {C} )&\to B_{\frac {n-1}{2}}\\SO(n_{\text{even}},\mathbb {C} )&\to D_{\frac {n}{2}}\\Sp(2n,\mathbb {C} )&\to C_{n}\end{aligned}}}$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกลุ่มลีคลาสสิกที่ซับซ้อนเป็นกลุ่มเชิงเส้นการแสดงแทนของกลุ่มเหล่านี้จึงเป็นการแสดงแทนเทนเซอร์ การแสดง แทนแบบลดรูปไม่ได้แต่ละรายการจะมีป้ายกำกับด้วยไดอะแกรม Youngซึ่งเข้ารหัสโครงสร้างและคุณสมบัติของกลุ่มเหล่านี้

ให้เป็นการแสดงแทนของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปการแสดงแทนเทนเซอร์เป็นการแสดงแทนย่อยของ(บางครั้งเรียกว่าการแสดงแทนพหุนาม) การแสดงแทนย่อยที่ลดรูปไม่ได้ของคือภาพของโดยฟังก์เตอร์ Schurที่เชื่อมโยงกับการแบ่งจำนวนเต็มของ เป็นจำนวนเต็ม ไม่เกินหนึ่งเช่นไดอะแกรม Youngที่มีขนาดเท่ากับ(ถ้าแล้ว) ฟังก์เตอร์ Schur ถูกกำหนดโดยใช้ตัวสมมาตร Youngของกลุ่มสมมาตรซึ่งกระทำตามธรรมชาติบนเราเขียนเป็น${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=k}$${\displaystyle \lambda _{n+1}=0}$${\displaystyle \lambda _{n+1}>0}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(V)=0}$ ${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle V_{\lambda }=\mathbb {S} ^{\lambda }(V)}$

มิติของการแสดงที่ลดรูปไม่ได้เหล่านี้คือ^[1]

${\displaystyle \dim V_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}=\prod _{(i,j)\in \lambda }{\frac {n-i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

ความยาวของตะขอของเซลล์ในแผนภาพ Young คือ ตำแหน่งใด${\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \lambda }$

• สูตรแรกสำหรับมิติเป็นกรณีพิเศษของสูตรที่ให้ลักษณะของการแสดงในรูปของพหุนาม Schur ^[1] โดยที่เป็นค่าลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle g\in GL(n,\mathbb {C} )}$
• สูตรที่สองสำหรับมิติบางครั้งเรียกว่าสูตรเนื้อหาตะขอของสแตนลีย์ [ ^2]

ตัวอย่างของการแสดงเทนเซอร์:

การแทนค่าเทนเซอร์ของ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$	มิติ	ไดอะแกรมรุ่นเยาว์
การแสดงแทนแบบธรรมดา	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle ()}$
การแทนค่าตัวกำหนด	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1^{n})}$
การกำหนดการแสดงแทน${\displaystyle V}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1)}$
การแสดงแบบสมมาตร${\displaystyle {\text{Sym}}^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}}$	${\displaystyle (k)}$
การแสดงภาพแบบแอนตี้สมมาตร${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$	${\displaystyle (1^{k})}$

ไม่ใช่ว่าการแสดงแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของจะเป็นการแสดงแทนค่าเทนเซอร์ โดยทั่วไป การแสดงแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ ของจะเป็นการ แสดงแทนค่าเทนเซอร์แบบผสม กล่าวคือ การแสดงแทนค่าย่อยของโดยที่ เป็นการแสดงแทน ค่าคู่ของ(บางครั้งเรียกว่าการแสดงแทนค่าแบบตรรกยะ) ในท้ายที่สุด เซตของการแสดงแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ของ จะถูกระบุด้วยลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นของจำนวนเต็มถ้าเราสามารถ เชื่อมโยงกับ คู่ ของ Young tableaux ได้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแสดงแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ของสามารถระบุด้วยคู่ของ Young tableaux ได้ ให้เราแสดงการแสดงแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ของ ที่สอดคล้องกับคู่หรือเทียบเท่ากับลำดับด้วยสัญกรณ์เหล่านี้${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V^{\otimes r}\otimes (V^{*})^{\otimes s}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0,\lambda _{k+1}\leq 0}$${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle ([\lambda _{1}\dots \lambda _{k}],[-\lambda _{n},\dots ,-\lambda _{k+1}])}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V_{\lambda \mu }=V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

• ${\displaystyle V_{\lambda }=V_{\lambda ()},V=V_{(1)()}}$

• ${\displaystyle (V_{\lambda \mu })^{*}=V_{\mu \lambda }}$

• สำหรับ, หมายถึงการแสดงภาพแบบมิติเดียวที่กระทำโดย, . ถ้ามีขนาดใหญ่เพียงพอที่, นี้จะให้คำอธิบายที่ชัดเจนของในแง่ของฟังก์เตอร์ Schur${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle D_{k}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (\det )^{k}}$${\displaystyle V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}=V_{\lambda _{1}+k,\dots ,\lambda _{n}+k}\otimes D_{-k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{n}+k\geq 0}$${\displaystyle V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}}$

• มิติของ ที่อยู่ที่ไหน${\displaystyle V_{\lambda \mu }}$${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}),\mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{s})}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda \mu })=d_{\lambda }d_{\mu }\prod _{i=1}^{r}{\frac {(1-i-s+n)_{\lambda _{i}}}{(1-i+r)_{\lambda _{i}}}}\prod _{j=1}^{s}{\frac {(1-j-r+n)_{\mu _{i}}}{(1-j+s)_{\mu _{i}}}}\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {n+1+\lambda _{i}+\mu _{j}-i-j}{n+1-i-j}}}$โดยที่^[3]ดู^[4]สำหรับการตีความว่าเป็นผลคูณของปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับ n หารด้วยผลคูณของความยาวตะขอ${\displaystyle d_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}}$

การแสดงแทนสองแบบของจะเทียบเท่ากับการแสดงแทนของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษก็ต่อเมื่อมีเช่นนั้น[ ^1]ตัวอย่างเช่น การแสดงแทนตัวกำหนดนั้นไม่สำคัญใน กล่าวคือ เทียบเท่ากับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของสามารถทำดัชนีโดย Young tableaux และทั้งหมดเป็นการแสดงแทนเทนเซอร์ (ไม่ผสมกัน)${\displaystyle V_{\lambda },V_{\lambda '}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \forall i,\ \lambda _{i}-\lambda '_{i}=k}$${\displaystyle V_{(1^{n})}}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V_{()}}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$

กลุ่มเอกภาพคือกลุ่มย่อยที่กะทัดรัดสูงสุดของ. ความซับซ้อนของพีชคณิตลี คือพีชคณิต. ในแง่ของทฤษฎีลีคือรูปแบบจริง ที่กะทัดรัด ของ. ซึ่งหมายความว่าการแสดงแทนเชิงเส้นแบบต่อเนื่องที่ลดรูปไม่ได้ของหลังนั้นสอดคล้องกับการแสดงแทนเชิงเส้นเชิงพีชคณิตเชิงซ้อนของหลังแบบหนึ่งต่อหนึ่งผ่านการรวม. ^[5]${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)=\{a\in {\mathcal {M}}(n,\mathbb {C} ),a^{\dagger }+a=0\}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle U(n)\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )}$

ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงมิติจำกัดของจะกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้: ^[6]${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle V_{\lambda _{1}\mu _{1}}\otimes V_{\lambda _{2}\mu _{2}}=\bigoplus _{\nu ,\rho }V_{\nu \rho }^{\oplus \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }},}$

โดยที่unless และ. เรียกจำนวนบรรทัดใน tableau ถ้า, then ${\displaystyle \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=0}$${\displaystyle |\nu |\leq |\lambda _{1}|+|\lambda _{2}|}$${\displaystyle |\rho |\leq |\mu _{1}|+|\mu _{2}|}$${\displaystyle l(\lambda )}$${\displaystyle l(\lambda _{1})+l(\lambda _{2})+l(\mu _{1})+l(\mu _{2})\leq n}$

${\displaystyle \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=\sum _{\alpha ,\beta ,\eta ,\theta }\left(\sum _{\kappa }c_{\kappa ,\alpha }^{\lambda _{1}}c_{\kappa ,\beta }^{\mu _{2}}\right)\left(\sum _{\gamma }c_{\gamma ,\eta }^{\lambda _{2}}c_{\gamma ,\theta }^{\mu _{1}}\right)c_{\alpha ,\theta }^{\nu }c_{\beta ,\eta }^{\rho },}$

โดยที่จำนวนเต็มธรรมชาติคือ ค่าสัมประสิทธิ์ Littlewood- Richardson${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ดังกล่าว:

${\displaystyle R_{1}}$	${\displaystyle R_{2}}$	ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์${\displaystyle R_{1}\otimes R_{2}}$
${\displaystyle V_{\lambda ()}}$	${\displaystyle V_{\mu ()}}$	${\displaystyle \sum _{\nu }c_{\lambda \mu }^{\nu }V_{\nu ()}}$
${\displaystyle V_{\lambda ()}}$	${\displaystyle V_{()\mu }}$	${\displaystyle \sum _{\kappa ,\nu ,\rho }c_{\kappa \nu }^{\lambda }c_{\kappa \rho }^{\mu }V_{\nu \rho }}$
${\displaystyle V_{()(1)}}$	${\displaystyle V_{(1)()}}$	${\displaystyle V_{(1)(1)}+V_{()()}}$
${\displaystyle V_{()(1)}}$	${\displaystyle V_{(k)()}}$	${\displaystyle V_{(k)(1)}+V_{(k-1)()}}$
${\displaystyle V_{(1)()}}$	${\displaystyle V_{(k)()}}$	${\displaystyle V_{(k+1)()}+V_{(k,1)()}}$
${\displaystyle V_{(1)(1)}}$	${\displaystyle V_{(1)(1)}}$	${\displaystyle V_{(2)(2)}+V_{(2)(11)}+V_{(11)(2)}+V_{(11)(11)}+2V_{(1)(1)}+V_{()()}}$

ในกรณีของการแสดงเทนเซอร์สัญลักษณ์ 3-jและสัญลักษณ์ 6-jเป็นที่ทราบกัน^[7]

นอกเหนือจากการแสดงกลุ่ม Lieที่อธิบายไว้ที่นี่แล้ว กลุ่มตั้งฉากและกลุ่มตั้งฉากพิเศษยังมีการแสดงสปินซึ่งเป็นการแสดงแบบฉายภาพของกลุ่มเหล่านี้ กล่าวคือ การแสดงกลุ่มครอบคลุมสากล ของพวก มัน${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มย่อยของการแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ใดๆ ของก็ยังเป็นการแทนค่าของซึ่งอย่างไรก็ตาม อาจไม่ใช่การแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ เพื่อให้การแทนค่าเทนเซอร์ของสามารถลดทอนไม่ได้ เทนเซอร์จะต้องไม่มีร่องรอย^[8]${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$

การแสดงแทนแบบลดรูปไม่ได้ของจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยชุดย่อยของไดอะแกรม Young ที่เกี่ยวข้องกับการแสดงแทนแบบลดรูปไม่ได้ของ: ไดอะแกรมดังกล่าว โดยที่ผลรวมของความยาวของสองคอลัมน์แรกมีค่าไม่เกิน[ ^8]การแสดงแทนแบบลดรูปไม่ได้ที่สอดคล้องกับไดอะแกรมดังกล่าวเป็นการแสดงแทนย่อยของการแสดงแทนที่ สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเทนเซอร์แบบสมมาตร^[1]${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{\lambda }}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{(k)}=U_{(k)}\oplus V_{(k-2)}}$

เทนเซอร์แอนติสมมาตรเป็นการแสดงแบบมิติเดียวของซึ่งไม่สำคัญสำหรับจากนั้นจะได้จากการกระทำกับความยาวของคอลัมน์แรกเป็น ${\displaystyle U_{(1^{n})}}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle U_{(1^{n})}\otimes U_{\lambda }=U_{\lambda '}}$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\to n-{\tilde {\lambda }}_{1}}$

• สำหรับค่าแปลก การแสดงค่าที่ลดไม่ได้นั้นจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยไดอะแกรม Young ที่มีแถว${\displaystyle n}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n-1}{2}}}$
• เพราะว่าคู่ยังคงลดรูปไม่ได้หากเป็นตัวแทนแต่จะลดลงเหลือผลรวมของตัวแทนที่ไม่เทียบเท่าสองรายการ ถ้า[ ^8]${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{\lambda }}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n}{2}}-1}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}={\frac {n}{2}}}$

ตัวอย่างเช่น การแสดงแทนแบบลดรูปไม่ได้ของสอดคล้องกับไดอะแกรม Young ของประเภทการแสดงแทนแบบลดรูปไม่ได้ของสอดคล้องกับและในทางกลับกัน มิติของการแสดงแทนแบบสปินของเป็นจำนวนเต็มคู่^[1]${\displaystyle O(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (k\geq 0),(k\geq 1,1),(1,1,1)}$${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (k\geq 0)}$${\displaystyle \dim U_{(k)}=2k+1}$${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$

มิติของการแสดงแทนค่าที่ลดไม่ได้ของจะกำหนดโดยสูตรที่ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของ: ^[4]${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (n{\text{ even}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

${\displaystyle (n{\text{ odd}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\prod _{1\leq i\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

ยังมีการแสดงออกเป็นพหุนามที่แยกตัวประกอบใน: ^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim U_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\geq j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i<j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j-2}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

โดยที่คือ ความยาวแถว ความยาวคอลัมน์ และความยาวตะขอ ตามลำดับ โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง การแสดงแบบแอนตี้สมมาตรจะมีมิติเดียวกันกับคู่ ของมัน แต่การแสดงแบบสมมาตรจะไม่มี${\displaystyle \lambda _{i},{\tilde {\lambda }}_{i},h_{\lambda }(i,j)}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \dim U_{(1^{k})}=\dim V_{(1^{k})}}$

${\displaystyle \dim U_{(k)}=\dim V_{(k)}-\dim V_{(k-2)}={\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-3}{k}}}$

ในช่วงเสถียรผลคูณของเทนเซอร์ที่ปรากฏในการสลายตัวของผลคูณเทนเซอร์คือจำนวน Newell-Littlewoodซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับ[ ^9]นอกเหนือจากช่วงเสถียร ผลคูณของเทนเซอร์จะกลายเป็นการปรับเปลี่ยนที่ขึ้นอยู่กับจำนวน Newell-Littlewood ^{[10] [9] [11]}ตัวอย่างเช่น สำหรับเราได้ ${\displaystyle |\mu |+|\nu |\leq \left[{\frac {n}{2}}\right]}$${\displaystyle U_{\lambda }\otimes U_{\mu }=\oplus _{\nu }N_{\lambda ,\mu ,\nu }U_{\nu }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 12}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[1]\otimes [1]&=[2]+[11]+[]\\{}[1]\otimes [2]&=[21]+[3]+[1]\\{}[1]\otimes [11]&=[111]+[21]+[1]\\{}[1]\otimes [21]&=[31]+[22]+[211]+[2]+[11]\\{}[1]\otimes [3]&=[4]+[31]+[2]\\{}[2]\otimes [2]&=[4]+[31]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[2]\otimes [11]&=[31]+[211]+[2]+[11]\\{}[11]\otimes [11]&=[1111]+[211]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[21]\otimes [3]&=[321]+[411]+[42]+[51]+[211]+[22]+2[31]+[4]+[11]+[2]\end{aligned}}}$

เนื่องจากกลุ่มมุมฉากเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป การแสดงแทนของสามารถแยกย่อยออกเป็นการแทนค่าของ การแยกย่อยของการแทนค่าเทนเซอร์นั้นกำหนดในรูปของ สัมประสิทธิ์ ลิตเติลวูด-ริชาร์ดสันโดยกฎจำกัดลิตเติลวูด^[12]${\displaystyle GL(n)}$${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle V_{\nu }^{GL(n)}=\sum _{\lambda ,\mu }c_{\lambda ,2\mu }^{\nu }U_{\lambda }^{O(n)}}$

โดยที่เป็นการแบ่งเป็นจำนวนเต็มคู่ กฎนี้ใช้ได้ในช่วงเสถียรการสรุปผลทั่วไปของการแสดงแทนเทนเซอร์แบบผสมคือ ${\displaystyle 2\mu }$${\displaystyle 2|\nu |,{\tilde {\lambda }}_{1}+{\tilde {\lambda }}_{2}\leq n}$

${\displaystyle V_{\lambda \mu }^{GL(n)}=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }c_{\alpha ,2\gamma }^{\lambda }c_{\beta ,2\delta }^{\mu }c_{\alpha ,\beta }^{\nu }U_{\nu }^{O(n)}}$

สามารถเขียนกฎการแตกสาขาที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มซิมเพล็กติกได้^[12]

การแสดงแทนแบบลดรูปที่มีมิติจำกัดของกลุ่มซิมเพล็กติกได้รับการกำหนดพารามิเตอร์ด้วยไดอะแกรม Young ที่มีแถวมากที่สุด มิติของการแสดงแทนที่สอดคล้องกันคือ^[8]${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}+n-i+1}{n-i+1}}\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+2n-i-j+2}{2n-i-j+2}}}$

ยังมีการแสดงออกเป็นพหุนามที่แยกตัวประกอบใน: ^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i>j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j+2}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\leq j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มมุมฉาก ผลคูณของเทนเซอร์จะกำหนดโดยหมายเลข Newell-Littlewood ในช่วงเสถียร และการปรับเปลี่ยนอื่น ๆ ที่เกินช่วงเสถียร

• บริการออนไลน์ Lie อินเทอร์เฟซออนไลน์สำหรับซอฟต์แวร์ Lie