Visualizza wikitesto di Glossario di teoria dei gruppi

Un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un insieme munito di un'operazione associativa dotata di [[elemento neutro]] e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata ''prodotto'' e il suo elemento neutro viene detto ''unità'' o elemento ''identità''. In questo articolo useremo ''e'' per denotare l'unità di un gruppo.
{{Indice}}

== A ==
=== Automorfismo ===
{{Vedi anche|Automorfismo}}
Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di [[composizione di funzioni]] forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.
=== Automorfismo interno ===
{{Vedi anche|Automorfismo interno}}
Un automorfismo interno di un gruppo <math>(G,*)</math> è un automorfismo indotto da un elemento <math>g</math> di <math>G</math> della forma:
:<math>T_g(x)=g^{-1}*x*g. </math>

=== Azione di gruppo ===
{{Vedi anche|Azione di gruppo}}
Siano <math>G</math> un [[gruppo (matematica)|gruppo]] ed <math>A</math> un [[insieme (matematica)|insieme]], siano inoltre <math>g</math> e <math>h</math> due elementi di <math>G</math> e <math>a</math> un elemento di <math>A</math>.
Si dice '''azione di gruppo''' una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math> G \times A \to A </math>

:<math>   (g,a) \mapsto g \cdot a, </math>

dove <math>\cdot</math> è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

* <math>e \cdot a=a \quad \forall a \in A;</math>
* <math>g \cdot (h \cdot a)=(gh) \cdot a \quad \forall g,h \in G, \ a \in A.</math>

== C ==
=== Centralizzatore ===
{{Vedi anche|Centralizzatore}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo e <math>g</math> è un elemento di <math>G</math> si dice centralizzatore di <math>g</math> l'insieme:
:<math>Z(g):=\{h \in G\, |\, g*h=h*g\}. </math>
=== Centro ===
Il centro di un gruppo <math>(G,*)</math> è il sottoinsieme:
:<math>C:=\{c \,|\, c*g=g*c\ \forall g \in G\}. </math>

=== Coniugazione ===
{{Vedi anche|Classe di coniugio}}
Due elementi <math>a</math> e <math>b</math> di un gruppo <math>(G,*)</math> si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento <math>h</math> di <math>G</math> tale che <math>h^{-1}*a*h=b</math>. Una classe di coniugio è quindi un insieme di <math>G</math> formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di <math>a</math> sarà:
:<math>Cl(a):=\{g^{-1}*a*g\,|\,g \in G\}. </math>
=== Commutatore ===
{{Vedi anche|Commutatore (matematica)}}
Il commutatore di due elementi <math>a</math> e <math>b</math> di un gruppo <math>(G,*)</math> è definito come l'elemento:
:<math>[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}, </math>
dove <math>a^{-1}</math> e <math>b^{-1}</math> sono gli inversi rispettivamente di <math>a</math> e <math>b</math>. È da notare che se l'operazione <math>*</math> gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di <math>G</math> è uguale a:
:<math>[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}=a*a^{-1}*b*b^{-1}=1. </math>

== E ==
=== Estensione di un gruppo ===
Dati due gruppi <math>H</math> e <math>N</math>, si dice estensione del gruppo <math>N</math> mediante <math>H</math> il gruppo <math>G</math> in cui esista un sottogruppo normale <math>\tilde{N}</math> tale che <math>\tilde{N}</math> è isomorfo ad <math>N</math> e <math>G/\tilde{N}</math> è isomorfo ad <math>H</math>.

== G ==
=== Gruppo abeliano ===
{{Vedi anche|Gruppo abeliano}}
Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua [[operazione binaria]] possiede la [[proprietà commutativa]].
=== Gruppo abeliano libero ===
Un [[#gruppo abeliano|gruppo abeliano]] è detto ''libero'' se ogni suo elemento può essere scritto in modo unico come combinazione finita di elementi di un suo fissato sottinsieme, detto ''base''<ref>{{cita libro|autore=Vick|titolo=Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology (second edition)|url=https://archive.org/details/algebraictopolog00span|editore=Springer|anno=1994|città=New York|lingua=en|p=[https://archive.org/details/algebraictopolog00span/page/n63 3]|isbn=9780387941264}}</ref>.
Dato un insieme qualunque <math>A</math> è possibile costruire il gruppo abeliano libero <math>F(A)</math> con base <math>A</math> nel seguente modo: gli elementi di <math>F(A)</math> sono le funzioni su <math>A</math> a valori interi tali che <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x \in A</math> tranne al più un numero finito; <math>F(A)</math> viene reso un gruppo abeliano con l'ordinaria somma tra funzioni definita da <math>(f+g)(x) = f(x) + g(x)</math>, ed è libero con base data dalle funzioni <math>\{\delta_a\}_{a\in A}</math> definite da

:<math>
\delta_a(x) = \begin{cases}1 \quad \text{se}\;x = a\\0 \quad \text{altrimenti.}\end{cases}
</math>

Identificando <math>\delta_a</math> con <math>a</math> in modo naturale si ottiene il gruppo libero generato da <math>A</math>.

Questa è solo una delle (infinite) possibili costruzioni esplicite, nel senso che è possibile trovare altri gruppi [[isomorfismo di gruppi|isomorfi]] a questo usando costruzioni diverse; pertanto, risulta utile caratterizzare <math>F(A)</math> tramite la seguente [[proprietà universale]]: <math>F(A)</math> è l'unico (a meno di isomorfismi) gruppo abeliano tale che, per ogni gruppo abeliano <math>H</math> e per ogni funzione <math>f: A \to H</math>, esiste un unico [[omomorfismo di gruppi]] <math>\tilde{f} : F(A) \to H</math> che [[Funzione (matematica)#Estensione e restrizione di una funzione|estende]] <math>f</math>.

=== Gruppo ciclico ===
Un gruppo si dice ciclico se è [[Insieme di generatori|generato]] da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.
=== Gruppo dei quaternioni ===
{{Vedi anche|Gruppo dei quaternioni}}
Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico <math>S_3</math>.

=== Gruppo diedrale ===
{{Vedi anche|Gruppo diedrale}}
Un gruppo diedrale di ordine <math>2n</math> è un [[gruppo (matematica)|gruppo]] formato dalle [[isometria|isometrie]] del [[piano (geometria)|piano]] che lasciano immutati i [[poligono regolare|poligoni regolari]] con <math>n</math> [[lato (geometria)|lati]].
=== Gruppo di Dedekind ===
{{Vedi anche|Gruppo hamiltoniano}}
Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.
=== Gruppo finitamente generato ===
Un gruppo si dice finitamente generato se è generato da un [[insieme finito]] di elementi.

=== Gruppo finito ===
{{Vedi anche|Gruppo finito}}
Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.
=== Gruppo generale lineare ===
{{Vedi anche|Gruppo generale lineare}}
Il [[gruppo generale lineare]], denotato spesso con <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>, è il gruppo delle [[matrice invertibile|matrici invertibili]] ''n'' &times; ''n'' con elementi nel [[campo (matematica)|campo]] ''K''; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei [[numeri reali]] e dei [[numeri complessi]].

=== Gruppo hamiltoniano ===
{{Vedi anche|Gruppo hamiltoniano}}
Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.
=== Gruppo libero ===
{{Vedi anche|Gruppo libero}}
Un [[gruppo (matematica)|gruppo]] <math>G</math> si dice ''libero'' se esiste un [[sottoinsieme]] <math>S</math> di <math>G</math> tale che è possibile scrivere ogni elemento di <math>G</math> come prodotto di un numero finito di elementi di <math>S</math> e dei suoi inversi in modo unico.
=== Gruppo nilpotente ===
{{Vedi anche|Nilpotente}}
Un gruppo <math>G</math> si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:
:<math>\{e\}=Z_0 \subseteq Z_1 \subseteq \dots \subseteq Z_n=G,</math>
con <math>Z_{k+1}/Z_k</math> centro del gruppo quoziente <math>G/Z_k</math>, termina finitamente.
=== Gruppo risolubile ===
{{Vedi anche|Gruppo risolubile}}
Un gruppo <math>G</math> è risolubile se esiste una catena di sottogruppi
:<math>\{e\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_n=G</math>
in cui ogni <math>H_i</math> è normale in <math>H_{i+1}</math> e il gruppo quoziente <math>H_{i+1}/H_i</math> è abeliano.

=== Gruppo semplice ===
{{Vedi anche|Gruppo semplice}}
Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle [[problema dell'estensione|estensioni di gruppi]]: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.
=== Gruppo simmetrico ===
Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità <math>n</math> viene indicato con <math>S_n</math>.

=== Gruppo quoziente ===
{{Vedi anche|Gruppo quoziente}}
Se <math>G</math> è un gruppo ed <math>N</math> un sottogruppo normale di <math>G</math> allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di <math>G</math> per <math>N</math> l'insieme
:<math>G/N=\{gN\, |\, g \in G \}=\{Ng\, |\, \forall g \in G \}</math>
dei laterali destri o sinistri di <math>G</math>.

== I ==
=== Insieme generatore di un gruppo ===
{{Vedi anche|Insieme di generatori}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo si dice che un sottoinsieme <math>S</math> di <math>G</math> è un insieme generatore del gruppo <math>G</math> se per ogni elemento <math>g</math> appartenente a <math>G</math> si ha che <math>g=s_1*\dots *s_n</math> con <math>s_1,\dots, s_n</math> appartenenti a <math>S</math>.

=== Inverso ===
{{Vedi anche|Elemento inverso}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo, <math>a</math> e <math>b</math> sono due elementi di <math>G</math> si dice che <math>b</math> è l'inverso di <math>a</math> se <math>a*b=b*a=1</math>, spesso l'elemento inverso di un elemento <math>a</math> viene indicato come <math>a^{-1}</math>.

=== Isomorfismo tra gruppi ===
{{Vedi anche|Isomorfismo tra gruppi}}
Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche [[Corrispondenza biunivoca|biettivo]].

== L ==
=== Laterale ===
{{Vedi anche|Classe laterale}}
Se <math>G</math> è un gruppo, <math>H</math> è un sottogruppo di <math>G</math> e <math>g</math> è un elemento di <math>G</math> si dice laterale destro di <math>H</math> in <math>G</math> rappresentato da <math>a</math> l'insieme:
:<math>Ha=\{ha\,|\,h \in H\}, </math>
e si dice laterale sinistro di <math>H</math> in <math>G</math> rappresentato da <math>a</math> l'insieme:
:<math>aH=\{ah\,|\,h \in H\}. </math>

== N ==
=== Normalizzatore ===
{{Vedi anche|Normalizzatore}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo e <math>(S,*)</math> è un sottogruppo di <math>G</math> si dice normalizzatore di <math>S</math> l'insieme:
:<math>N_G(S):=\{h \in G\, |\, hS=Sh\} </math>

=== Nucleo di un omomorfismo tra gruppi ===
{{Vedi anche|Nucleo (matematica)}}
Se <math>G</math> e <math>H</math> sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo <math>\Omega:G \to H</math> è l'insieme degli elementi di <math>G</math> che hanno come immagine l'unità di <math>H</math>.

== O ==
=== Omologia ===
{{Vedi anche|Omologia (topologia)}}
Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno [[spazio topologico]] o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto <math>X</math> viene indicata come:
:<math>H_0(X),H_1(X),H_2(X),H_3(X),\dots</math>
=== Omomorfismo di gruppi ===
{{Vedi anche|Omomorfismo di gruppi}}
Se <math>(G,*) </math> e <math>(H,\star) </math> sono due gruppi la funzione <math>f: G\to H</math> si dice omomorfismo tra <math>G</math> e <math>H</math> se per ogni <math>a</math> e <math>b</math> appartenenti a <math>G</math> si ha:
:<math>f(a*b)=f(a)\star f(b) </math>

=== Ordine di un elemento ===
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo e <math>g</math> è un elemento di <math>G</math>, si dice ordine di <math>g</math> l'ordine del [[gruppo ciclico]] [[Insieme di generatori|generato]] da <math>g</math>.

=== Ordine di un gruppo ===
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo, il suo ordine è la [[cardinalità]] dell'insieme <math>G</math> cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo <math>G</math> viene indicato come <math>|G|</math>.

== P ==
=== ''p''-gruppo ===
{{Vedi anche|Gruppo primario}}
Un gruppo primario (o ''p''-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un [[#Ordine di un elemento|ordine]] che è potenza di un [[numero primo]] ''p''.

=== Presentazione di un gruppo ===
{{Vedi anche|Presentazione di un gruppo}}
Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:
* i ''[[insieme di generatori|generatori]]'' del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
* le ''relazioni'', ovvero una serie di [[uguaglianza (matematica)|uguaglianze]] tra i vari elementi del gruppo.

=== Problema di Burnside ===
{{Vedi anche|Problema di Burnside}}
Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da [[William Burnside]]. Il problema può essere formulato in questo modo:
:''Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?''
La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.
=== Prodotto diretto e semidiretto ===
{{Vedi anche|Prodotto diretto}}

Il prodotto diretto di due gruppi <math>(G_1, *)</math> e <math>(G_2, \star)</math> è un altro gruppo, costruito prendendo il [[prodotto cartesiano]] <math>G_1 \times G_2</math> e definendo la legge di composizione:
:<math>(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2):=(a_1 * b_1, a_2 \star b_2), </math>
dove <math> a_1,b_1 \in G_1</math> e <math>a_2,b_2 \in G_2</math>.

{{Vedi anche|Prodotto semidiretto}}

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di [[prodotto diretto]]. Un prodotto semidiretto di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] <math>(G_1, *)</math> e <math>(G_2, \star)</math> ha sempre come elementi quelli del [[prodotto cartesiano]] <math>G_1 \times G_2</math>. La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi <math>\psi : (G_2, \star) \rightarrow Aut((G_1, *))</math>

=== Prodotto libero ===
{{Vedi anche|Prodotto libero}}
Siano <math>G</math> e <math>H</math> due gruppi. Si definisce parola in <math>G</math> e <math>H</math> una successione finita di elementi <math>s_1 \dots s_n</math> dove <math>s_i</math> è un elemento di <math>G</math> o di <math>H</math>.

Il prodotto libero <math>G*H</math> tra <math>G</math> e <math>H</math> è il gruppo di tutte le parole in <math>G</math> e <math>H</math> a meno di una [[relazione di equivalenza]]. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

== R ==
=== Rango di un gruppo abeliano ===
Il rango di un gruppo abeliano <math>G</math> rappresenta la dimensione del più grande gruppo abeliano libero contenuto in <math>G</math>.
=== Rappresentazione di un gruppo ===
{{Vedi anche|Rappresentazione di un gruppo}}
Una rappresentazione di un gruppo <math>G</math> su uno [[spazio vettoriale]] <math>V</math> su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math> è un omomorfismo di gruppi da <math>G</math> al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con <math>\mathrm{GL}(V)</math>).
=== Relazione di congruenza ===
{{Vedi anche|Relazione di congruenza}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo e <math>\sim</math> è una [[relazione binaria]] su <math>G</math> allora <math>\sim</math> è una congruenza se:
*dato un generico elemento <math>a</math> di <math>G</math>, <math>a \sim a</math>;
*dati i generici elementi <math>a</math> e <math>b</math> di <math>G</math>, se <math>a \sim b</math> allora <math>b \sim a</math>
*dati i generici elementi <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math> di <math>G</math>, se <math>a \sim b</math> e <math>b \sim c</math> allora <math>a \sim c</math>;
*dati i generici elementi <math>a</math> e <math>b</math> di <math>G</math>, se <math>a \sim b</math> allora <math>a^{-1} \sim b^{-1}</math>
*dati i generici elementi <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>b_1</math> e <math>b_2</math> di <math>G</math> se <math>a_1 \sim b_1</math> e <math>a_2 \sim b_2</math> allora <math>a_1*a_2 \sim b_1*b_2</math>.

=== Relazione di equivalenza ===
{{Vedi anche|Relazione di equivalenza}}
Una relazione di equivalenza <math>\sim</math> è una [[relazione binaria]] tra elementi di un insieme <math>A</math> [[Relazione riflessiva|riflessiva]], [[Relazione simmetrica|simmetrica]] e [[Relazione transitiva|transitiva]] quindi
*<math>x \sim x \quad \forall x \in A</math>
*<math>x \sim y </math> implica <math>y \sim x \quad \forall x,y \in A</math>
*<math>x \sim y </math> e <math>y \sim z </math> implicano <math>x \sim z \quad \forall x,y,z \in A</math>

=== Reticolo dei sottogruppi di un gruppo ===
Se <math>G</math> è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo <math>G</math> è la [[struttura algebrica]] formata dall'insieme dei sottogruppi di <math>G</math> e dall'operazione di [[Inclusione (matematica)|inclusione fra insiemi]].

== S ==
=== Somma diretta ===
{{Vedi anche|Prodotto diretto}}
Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.
=== Sottogruppo ===
{{Vedi anche|Sottogruppo}}
Se <math>G</math> è un gruppo rispetto all'operazione <math>*</math> allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di <math>G</math> chiuso rispetto all'operazione <math>*</math>.
=== Sottogruppo caratteristico ===
{{Vedi anche|Sottogruppo caratteristico}}
Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene
=== Sottogruppo di torsione ===
{{Vedi anche|Sottogruppo di torsione}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

=== Sottogruppo normale ===
{{Vedi anche|Sottogruppo normale}}
Se <math>G</math> è un gruppo si dice che il gruppo <math>H</math> è un sottogruppo normale di <math>G</math> se è un sottogruppo di <math>G</math> e per ogni elemento <math>g</math> di <math>G</math> i laterali destri <math>Hg</math> di H coincidono con i laterali sinistri <math>gH</math> di H.

== T ==
=== Tabella di Cayley ===
{{Vedi anche|Tabella di Cayley}}

[[Tabella a doppia entrata]] che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il [[Centro di un gruppo|centro]] o l'[[Gruppo abeliano|abelianità]].
=== Teorema di isomorfismo ===
{{Vedi anche|Teorema di isomorfismo}}
Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

=== Teorema di Lagrange ===
{{Vedi anche|Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)}}
Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se <math>G</math> è un gruppo e <math>S</math> è un sottogruppo di <math>G</math> allora l'ordine di <math>S</math> divide l'ordine di <math>G</math>.

=== Teorema enorme ===
{{Vedi anche|Classificazione dei gruppi semplici finiti}}
Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

=== Teoremi di Sylow ===
{{Vedi anche|Teoremi di Sylow}}
Importanti teoremi riguardanti i <math>p</math>-gruppi.

== U ==
=== Unità ===
{{Vedi anche|Elemento neutro}}
Se <math>(G,*)</math> è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo <math>G</math> l'elemento <math>g</math> appartenente a <math>G</math> tale che per ogni <math>a</math> in <math>G</math> si ha che <math>a*g=g*a=a</math>. L'unità di un gruppo <math>(G, *)</math> si indica spesso con <math>e</math> oppure <math>1_G</math> o anche semplicemente come <math>1</math>.

== Note ==
<references />

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Glossari di matematica|Teoria dei gruppi]]
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]