Glossario di teoria dei gruppi

Un gruppo è un insieme munito di un'operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

A

Automorfismo

Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di composizione di funzioni forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.

Automorfismo interno

Un automorfismo interno di un gruppo $(G,*)$ è un automorfismo indotto da un elemento $g$ di $G$ della forma:

$T_{g}(x)=g^{-1}*x*g.$

Azione di gruppo

Siano $G$ un gruppo ed $A$ un insieme, siano inoltre $g$ e $h$ due elementi di $G$ e $a$ un elemento di $A$. Si dice azione di gruppo una funzione:

$G\times A\to A$

$(g,a)\mapsto g\cdot a,$

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

• $e\cdot a=a\quad \forall a\in A;$
• $g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\quad \forall g,h\in G,\ a\in A.$

C

Centralizzatore

Se $(G,*)$ è un gruppo e $g$ è un elemento di $G$ si dice centralizzatore di $g$ l'insieme:

$Z(g):=\{h\in G\,|\,g*h=h*g\}.$

Centro

Il centro di un gruppo $(G,*)$ è il sottoinsieme:

$C:=\{c\,|\,c*g=g*c\ \forall g\in G\}.$

Coniugazione

Due elementi $a$ e $b$ di un gruppo $(G,*)$ si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento $h$ di $G$ tale che $h^{-1}*a*h=b$. Una classe di coniugio è quindi un insieme di $G$ formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di $a$ sarà:

$Cl(a):=\{g^{-1}*a*g\,|\,g\in G\}.$

Commutatore

Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ di un gruppo $(G,*)$ è definito come l'elemento:

$[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1},$

dove $a^{-1}$ e $b^{-1}$ sono gli inversi rispettivamente di $a$ e $b$. È da notare che se l'operazione $*$ gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di $G$ è uguale a:

$[a,b]=a*b*a^{-1}*b^{-1}=a*a^{-1}*b*b^{-1}=1.$

E

Estensione di un gruppo

Dati due gruppi $H$ e $N$, si dice estensione del gruppo $N$ mediante $H$ il gruppo $G$ in cui esista un sottogruppo normale ${\tilde {N}}$ tale che ${\tilde {N}}$ è isomorfo ad $N$ e $G/{\tilde {N}}$ è isomorfo ad $H$.

G

Gruppo abeliano

Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua operazione binaria possiede la proprietà commutativa.

Gruppo abeliano libero

Un gruppo abeliano è detto libero se ogni suo elemento può essere scritto in modo unico come combinazione finita di elementi di un suo fissato sottinsieme, detto base. Dato un insieme qualunque $A$ è possibile costruire il gruppo abeliano libero $F(A)$ con base $A$ nel seguente modo: gli elementi di $F(A)$ sono le funzioni su $A$ a valori interi tali che $f(x)=0$ per ogni $x\in A$ tranne al più un numero finito; $F(A)$ viene reso un gruppo abeliano con l'ordinaria somma tra funzioni definita da $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, ed è libero con base data dalle funzioni $\{\delta _{a}\}_{a\in A}$ definite da

$\delta _{a}(x)={\begin{cases}1\quad {\text{se}}\;x=a\\0\quad {\text{altrimenti.}}\end{cases}}$

Identificando $\delta _{a}$ con $a$ in modo naturale si ottiene il gruppo libero generato da $A$.

Questa è solo una delle (infinite) possibili costruzioni esplicite, nel senso che è possibile trovare altri gruppi isomorfi a questo usando costruzioni diverse; pertanto, risulta utile caratterizzare $F(A)$ tramite la seguente proprietà universale: $F(A)$ è l'unico (a meno di isomorfismi) gruppo abeliano tale che, per ogni gruppo abeliano $H$ e per ogni funzione $f:A\to H$, esiste un unico omomorfismo di gruppi ${\tilde {f}}:F(A)\to H$ che estende $f$.

Gruppo ciclico

Un gruppo si dice ciclico se è generato da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo dei quaternioni

Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico $S_{3}$.

Gruppo diedrale

Un gruppo diedrale di ordine $2n$ è un gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari con $n$ lati.

Gruppo di Dedekind

Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo finitamente generato

Un gruppo si dice finitamente generato se è generato da un insieme finito di elementi.

Gruppo finito

Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.

Gruppo generale lineare

Il gruppo generale lineare, denotato spesso con $\mathrm {GL} (n,K)$, è il gruppo delle matrici invertibili n × n con elementi nel campo K; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei numeri reali e dei numeri complessi.

Gruppo hamiltoniano

Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo libero

Un gruppo $G$ si dice libero se esiste un sottoinsieme $S$ di $G$ tale che è possibile scrivere ogni elemento di $G$ come prodotto di un numero finito di elementi di $S$ e dei suoi inversi in modo unico.

Gruppo nilpotente

Un gruppo $G$ si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:

$\{e\}=Z_{0}\subseteq Z_{1}\subseteq \dots \subseteq Z_{n}=G,$

con $Z_{k+1}/Z_{k}$ centro del gruppo quoziente $G/Z_{k}$, termina finitamente.

Gruppo risolubile

Un gruppo $G$ è risolubile se esiste una catena di sottogruppi

$\{e\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n}=G$

in cui ogni $H_{i}$ è normale in $H_{i+1}$ e il gruppo quoziente $H_{i+1}/H_{i}$ è abeliano.

Gruppo semplice

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

Gruppo simmetrico

Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità $n$ viene indicato con $S_{n}$.

Gruppo quoziente

Se $G$ è un gruppo ed $N$ un sottogruppo normale di $G$ allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di $G$ per $N$ l'insieme

$G/N=\{gN\,|\,g\in G\}=\{Ng\,|\,\forall g\in G\}$

dei laterali destri o sinistri di $G$.

I

Insieme generatore di un gruppo

Se $(G,*)$ è un gruppo si dice che un sottoinsieme $S$ di $G$ è un insieme generatore del gruppo $G$ se per ogni elemento $g$ appartenente a $G$ si ha che $g=s_{1}*\dots *s_{n}$ con $s_{1},\dots ,s_{n}$ appartenenti a $S$.

Inverso

Se $(G,*)$ è un gruppo, $a$ e $b$ sono due elementi di $G$ si dice che $b$ è l'inverso di $a$ se $a*b=b*a=1$, spesso l'elemento inverso di un elemento $a$ viene indicato come $a^{-1}$.

Isomorfismo tra gruppi

Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche biettivo.

L

Laterale

Se $G$ è un gruppo, $H$ è un sottogruppo di $G$ e $g$ è un elemento di $G$ si dice laterale destro di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ l'insieme:

$Ha=\{ha\,|\,h\in H\},$

e si dice laterale sinistro di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ l'insieme:

$aH=\{ah\,|\,h\in H\}.$

N

Normalizzatore

Se $(G,*)$ è un gruppo e $(S,*)$ è un sottogruppo di $G$ si dice normalizzatore di $S$ l'insieme:

$N_{G}(S):=\{h\in G\,|\,hS=Sh\}$

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi

Se $G$ e $H$ sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo $\Omega :G\to H$ è l'insieme degli elementi di $G$ che hanno come immagine l'unità di $H$.

O

Omologia

Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto $X$ viene indicata come:

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),H_{3}(X),\dots$

Omomorfismo di gruppi

Se $(G,*)$ e $(H,\star )$ sono due gruppi la funzione $f:G\to H$ si dice omomorfismo tra $G$ e $H$ se per ogni $a$ e $b$ appartenenti a $G$ si ha:

$f(a*b)=f(a)\star f(b)$

Ordine di un elemento

Se $(G,*)$ è un gruppo e $g$ è un elemento di $G$, si dice ordine di $g$ l'ordine del gruppo ciclico generato da $g$.

Ordine di un gruppo

Se $(G,*)$ è un gruppo, il suo ordine è la cardinalità dell'insieme $G$ cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo $G$ viene indicato come $|G|$.

P

p-gruppo

Un gruppo primario (o p-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un ordine che è potenza di un numero primo p.

Presentazione di un gruppo

Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

• i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
• le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Problema di Burnside

Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da William Burnside. Il problema può essere formulato in questo modo:

Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?

La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto di due gruppi $(G_{1},*)$ e $(G_{2},\star )$ è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ e definendo la legge di composizione:

$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2}):=(a_{1}*b_{1},a_{2}\star b_{2}),$

dove $a_{1},b_{1}\in G_{1}$ e $a_{2},b_{2}\in G_{2}$.

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di prodotto diretto. Un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_{1},*)$ e $(G_{2},\star )$ ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$. La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi :(G_{2},\star )\rightarrow Aut((G_{1},*))$

Prodotto libero

Siano $G$ e $H$ due gruppi. Si definisce parola in $G$ e $H$ una successione finita di elementi $s_{1}\dots s_{n}$ dove $s_{i}$ è un elemento di $G$ o di $H$.

Il prodotto libero $G*H$ tra $G$ e $H$ è il gruppo di tutte le parole in $G$ e $H$ a meno di una relazione di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

R

Rango di un gruppo abeliano

Il rango di un gruppo abeliano $G$ rappresenta la dimensione del più grande gruppo abeliano libero contenuto in $G$.

Rappresentazione di un gruppo

Una rappresentazione di un gruppo $G$ su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è un omomorfismo di gruppi da $G$ al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con $\mathrm {GL} (V)$).

Relazione di congruenza

Se $(G,*)$ è un gruppo e $\sim$ è una relazione binaria su $G$ allora $\sim$ è una congruenza se:

• dato un generico elemento $a$ di $G$, $a\sim a$;
• dati i generici elementi $a$ e $b$ di $G$, se $a\sim b$ allora $b\sim a$
• dati i generici elementi $a$, $b$ e $c$ di $G$, se $a\sim b$ e $b\sim c$ allora $a\sim c$;
• dati i generici elementi $a$ e $b$ di $G$, se $a\sim b$ allora $a^{-1}\sim b^{-1}$
• dati i generici elementi $a_{1}$, $a_{2}$, $b_{1}$ e $b_{2}$ di $G$ se $a_{1}\sim b_{1}$ e $a_{2}\sim b_{2}$ allora $a_{1}*a_{2}\sim b_{1}*b_{2}$.

Relazione di equivalenza

Una relazione di equivalenza $\sim$ è una relazione binaria tra elementi di un insieme $A$ riflessiva, simmetrica e transitiva quindi

• $x\sim x\quad \forall x\in A$
• $x\sim y$ implica $y\sim x\quad \forall x,y\in A$
• $x\sim y$ e $y\sim z$ implicano $x\sim z\quad \forall x,y,z\in A$

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo

Se $G$ è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo $G$ è la struttura algebrica formata dall'insieme dei sottogruppi di $G$ e dall'operazione di inclusione fra insiemi.

S

Somma diretta

Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.

Sottogruppo

Se $G$ è un gruppo rispetto all'operazione $*$ allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di $G$ chiuso rispetto all'operazione $*$.

Sottogruppo caratteristico

Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene

Sottogruppo di torsione

Se $(G,*)$ è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

Sottogruppo normale

Se $G$ è un gruppo si dice che il gruppo $H$ è un sottogruppo normale di $G$ se è un sottogruppo di $G$ e per ogni elemento $g$ di $G$ i laterali destri $Hg$ di H coincidono con i laterali sinistri $gH$ di H.

T

Tabella di Cayley

Tabella a doppia entrata che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il centro o l'abelianità.

Teorema di isomorfismo

Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se $G$ è un gruppo e $S$ è un sottogruppo di $G$ allora l'ordine di $S$ divide l'ordine di $G$.

Teorema enorme

Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Teoremi di Sylow

Importanti teoremi riguardanti i $p$-gruppi.

U

Unità

Se $(G,*)$ è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo $G$ l'elemento $g$ appartenente a $G$ tale che per ogni $a$ in $G$ si ha che $a*g=g*a=a$. L'unità di un gruppo $(G,*)$ si indica spesso con $e$ oppure $1_{G}$ o anche semplicemente come $1$.