Gruppo diedrale

In matematica, il gruppo diedrale di ordine $2n$ è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a $n$ lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ${\mbox{D}}_{n}$ ; si usano anche le notazioni ${\mbox{Dih}}_{n}$ e ${\mbox{D}}_{2n}$ .

Gli elementi del gruppo diedrale

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto $n$ rotazioni possibili e $n$ assi di simmetria per un poligono di $n$ lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da $2n$ elementi.

Una rotazione del pentagono di ${\frac {360^{\circ }}{5}}=72^{\circ }={\frac {2\pi }{5}}{\mbox{rad}}$

Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Indicato con $r$ la rotazione di ${\frac {2\pi }{n}}$ radianti in senso antiorario, e $s$ la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

$r^{n}=1$ : dopo $n$ rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
$s^{2}=1$ : due riflessioni consecutive si annullano;
$r^{k}s=sr^{n-k}$ : in particolare, il gruppo non è commutativo;
ogni simmetria si può ottenere come composizione di $s$ e di un adeguato numero di rotazioni $r$ ;
la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da $r$ ed $s$ ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni $s_{1}$ e $s_{2}$ (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Definizioni equivalenti

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

è il gruppo con presentazione

\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

oppure

\langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=(s_{1}s_{2})^{n}=1\rangle

;

è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici $\mathbb {Z} _{n}$ e $\mathbb {Z} _{2}$ , con $\mathbb {Z} _{2}$ che agisce su $\mathbb {Z} _{n}$ per inversione;

Proprietà

per $n\geq 3$ , ${\mbox{D}}_{n}$ è un sottogruppo del gruppo simmetrico $S_{n}$ ;
dato un numero $m$ che divide $n$ , ${\mbox{D}}_{n}$ ha ${\frac {n}{m}}$ sottogruppi di tipo ${\mbox{D}}_{m}$ e un sottogruppo di tipo $\mathbb {Z} _{m}$ ;

Proprietà che dipendono dalla parità dei lati

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di $n$ :

il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se $n$ è dispari, mentre contiene anche l'elemento $r^{\frac {n}{2}}$ (equivalente alla rotazione di 180°) se $n$ è pari.
se $n$ è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece $n$ è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Gruppi diedrali piccoli

Il caso $n=1$ è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di $2\pi$ e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo $\mathbb {Z} _{2}$ .

Il caso $n=2$ (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di $\pi$ e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ (gruppo di Klein).

${\mbox{D}}_{1}$ e ${\mbox{D}}_{2}$ sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unità

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

\left\{r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}:\,k=0,\,1,\,\ldots ,\,n-1\right\}\subseteq (\mathbb {C} )

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a $n$ lati. La moltiplicazione per $r_{1}$ corrisponde alla rotazione di ${\frac {2\pi }{n}}$ , mentre l'operazione di coniugazione complessa ${\overline {x+iy}}=x-iy$ corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine $n$ .

Generalizzazioni

Gruppo diedrale infinito

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione $a$ di un angolo sottomultiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero $n$ per cui $a^{n}$ è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di $2\pi$ , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con $D_{\infty }$ ) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da $\langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle$ oppure $\langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1\rangle$ .

Gruppo diedrale generalizzato

Dato un gruppo commutativo $H$ , il gruppo diedrale generalizzato di $H$ , che si indica con ${\mbox{D}}(H)$ , è il prodotto semidiretto di $H$ e di $\mathbb {Z} _{2}$ , con $\mathbb {Z} _{2}$ che agisce su $H$ per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

{\begin{matrix}\forall h_{1},\,h_{2}\in H,\,t_{2}\in \mathbb {Z} _{2}:\\(h_{1},0)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}+h_{2},t_{2})\\(h_{1},1)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}-h_{2},1+t_{2})\end{matrix}}

Poiché ${\mbox{D}}(\mathbb {Z} _{n})={\mbox{D}}_{n}$ e ${\mbox{D}}(\mathbb {Z} )={\mbox{D}}_{\infty }$ , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo $(h,0)$ corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di ${\mbox{D}}(H)$ isomorfo ad $H$ , mentre gli elementi del tipo $(h,1)$ corrispondono alle riflessioni.