Curva di Bézier

Una curva di Bézier è una particolare curva parametrica, che ha grande applicazione nella computer grafica. Un metodo numericamente stabile per calcolare le curve di Bézier è l'algoritmo di de Casteljau.

Una generalizzazione delle curve di Bézier in tre dimensioni è chiamata superficie di Bézier di cui il triangolo di Bézier è uno specifico caso.

Storia

Le curve di Bézier furono largamente pubblicizzate nel 1962 dall'ingegnere francese Pierre Bézier che le usò per disegnare le carrozzerie delle automobili. Le curve furono realizzate nel 1959 da Paul de Casteljau usando l'algoritmo di de Casteljau.

Bézier stabilì un modo di realizzare le curve a partire da due punti e una linea vettoriale, un sistema innovativo che permette ancora oggi agli operatori grafici di realizzare disegni curvilinei precisi. Le curve di Bézier possono essere realizzate da molti programmi di grafica vettoriale come Inkscape, GIMP, Corel Draw, Adobe Illustrator, Adobe After Effects o FreeHand, di modellazione 3D come Blender, o di cartografia piana come OCAD.

Analisi dei casi

Curve di Bézier lineari

Dati i punti $P_{0}$ e $P_{1}$ , una curva di Bézier lineare è il segmento avente come estremi i punti dati. Tale curva è data da

\mathbf {B} (t)=(1-t)P_{0}+tP_{1},\quad t\in [0,1].

Curve di Bézier quadratiche

Una curva di Bézier quadratica è il percorso tracciato tramite la funzione $\mathbf {B} (t)$ dati i punti $P_{0}$ , $P_{1}$ , e $P_{2}$ ,

\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2},\quad t\in [0,1].

I fonts TrueType così come la grafica vettoriale di Adobe Flash usano le spline di Bézier composte da curve di Bézier quadratiche.

Curve di Bézier cubiche

I quattro punti $P_{0}$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ nel piano o in uno spazio tridimensionale definiscono una curva di Bézier cubica. La curva ha inizio in $P_{0}$ si dirige verso $P_{1}$ e finisce in $P_{3}$ arrivando dalla direzione di $P_{2}$ . In generale, essa non passa dai punti $P_{1}$ o $P_{2}$ ; questi punti sono necessari solo per dare alla curva informazioni direzionali. La distanza tra $P_{0}$ e $P_{1}$ determina quanto la curva si muove nella direzione di $P_{2}$ prima di dirigersi verso $P_{3}$ .

La forma parametrica della curva è:

\mathbf {B} (t)=P_{0}(1-t)^{3}+3P_{1}t(1-t)^{2}+3P_{2}t^{2}(1-t)+P_{3}t^{3},\quad t\in [0,1].

I moderni sistemi di imaging come PostScript, METAFONT e GIMP usano le spline di Bézier composte da curve di Bézier cubiche per disegnare forme curve. Anche uno strumento semplice come Paint incluso in Windows dispone di semplici curve di Bézier cubica.

Generalizzazione

La curva di Bézier di grado $n$ può essere generalizzata come segue. Dati i punti $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n},$ La curva di Bézier è:

\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}P_{i}(1-t)^{n-i}t^{i}=P_{0}(1-t)^{n}+{n \choose 1}P_{1}(1-t)^{n-1}t+\cdots +P_{n}t^{n},\quad t\in [0,1].

Per esempio, per $n=5$ :

\mathbf {B} (t)=P_{0}(1-t)^{5}+5P_{1}t(1-t)^{4}+10P_{2}t^{2}(1-t)^{3}+10P_{3}t^{3}(1-t)^{2}+5P_{4}t^{4}(1-t)+P_{5}t^{5},\quad t\in [0,1].

La derivata prima della curva di Bézier di grado $n$ può essere generalizzata come segue:

\mathbf {B} '(t)=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}P_{i}(1-t)^{n-i-1}t^{i-1}(i-nt)=n\sum _{i=0}^{n-1}b_{i,n-1}(t)(P_{i+1}-P_{i}),\quad t\in [0,1].

Terminologia

Queste curve parametriche possono essere descritte tramite una specifica terminologia. Data:

\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}P_{i}(1-t)^{n-i}t^{i},\quad t\in [0,1]

I polinomi:

{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}

sono conosciuti come polinomi di base di Bernstein di grado $n$ e sono definiti da:

b_{i,n}(t):={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots ,n,

dove $\scriptstyle {n \choose i}$ è il coefficiente binomiale di $n$ su $i$ .

I punti $P_{i}$ sono chiamati punti di controllo per la curva di Bézier. Il poligono formato connettendo i punti attraverso linee rette, iniziando da $P_{0}$ e finendo con $P_{n}$ , è chiamato poligono di Bézier (o poligono di controllo). L'inviluppo convesso del poligono di Bézier contiene la curva di Bézier.

Note

La curva inizia in $P_{0}$ e termina in $P_{n}$ ; questa è chiamata la proprietà della interpolazione di punto finale.
La curva è una linea retta se e solo se tutti i punti di controllo giacciono sulla curva. Equivalentemente, la curva di Bézier è una linea retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.
L'inizio (fine) della curva è tangente al primo (ultimo) lato del poligono di Bézier.
Una curva può essere spezzata in qualsiasi punto in 2 sottocurve, o in un arbitrario numero di sottocurve, ognuna delle quali è essa stessa una curva di Bézier.
Un cerchio non può essere esattamente formato da una curva di Bézier, come anche un arco di cerchio. Comunque una curva di Bézier è un'adeguata approssimazione di un arco circolare abbastanza piccolo.

Costruzione delle curve di Bézier

Curve lineari

Animazione di una curva di Bézier lineare, t in [0,1]

Il t nella funzione di una curva di Bézier lineare può essere pensato come la descrizione del tragitto di B(t) da P₀ a P₁. Per esempio quando t=0,25, B(t) è un quarto del percorso da P₀ a P₁. Al variare di t da 0 a 1, B(t) descrive l'intero segmento compreso tra P₀ e P₁.

Curve quadratiche

Per le curve quadratiche di Bézier si possono costruire punti intermedi Q₀ e Q₁ al variare di t da 0 a 1:

Il punto Q₀ varia da P₀ a P₁ e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto Q₁ varia da P₁ a P₂ e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q₀ a Q₁ e descrive una curva quadratica di Bézier.


Costruzione di una curva quadratica di Bézier		Animazione di una curva quadratica di Bézier, t in [0,1]

Curve cubiche e di ordine superiore

Per curve di ordine superiore è necessario un maggior numero di punti intermedi.

Per una curva cubica si possono costruire i punti Q₀, Q₁ e Q₂ che descrivono una curva di Bézier lineare, e i punti R₀ e R₁ che descrivono una curva di Bézier quadratica:


Costruzione di una curva cubica Bézier		Animazione di una cubica di Bézier, t in [0,1]

Per curve di quarto ordine è possibile costruire i punti intermedi Q₀, Q₁, Q₂ e Q₃ che descrivono curve di Bézier lineari, i punti R₀, R₁ e R₂ che descrivono curve quadratiche di Bézier, e i punti S₀ e S₁ che descrivono una curva di Bézier cubica:


Costruzione di una curva di Bézier di quarto ordine		Animazione di una curva di Bézier di quarto ordine, t in [0,1]

Applicazioni nella computer grafica

Le curve di Bézier sono largamente usate nella computer grafica per modellare curve smussate. Dato che la curva è contenuta completamente nell'insieme convesso dei suoi punti di controllo, i punti possono essere visualizzati graficamente ed usati per manipolare la curva intuitivamente. Trasformazioni geometriche come traslazione, omotetia e rotazione possono essere applicate alla curva applicando le rispettive trasformazioni sui punti di controllo della curva.

Le più importanti curve di Bézier sono le quadratiche e cubiche. Curve di grado più alto sono molto più costose da valutare. Quando sia necessario realizzare forme più complesse, più curve di secondo o terzo ordine sono "incollate" insieme (obbedendo a certe condizioni di smooth) in forma di spline di Bézier.

Il codice seguente è un semplice e pratico esempio che mostra come disegnare una curva di Bézier cubica in C. Da notare che viene semplicemente calcolato il coefficiente del polinomio e si cicla su una serie di valori di $t$ da 0 a 1. In pratica questo è come viene effettivamente fatto, anche se esistono altri metodi, come l'algoritmo di de Casteljau, che sono spesso citati in discussioni sulla grafica. Questo perché in pratica un algoritmo lineare come questo è veloce e meno costoso di uno ricorsivo come quello di de Casteljau.

/******************************************************
  Codice per generare una curva di Bézier cubica
  Attenzione - codice testato
 *******************************************************/
 
  typedef struct
  {
 	float x;
 	float y;
  }
  Point2D;
 
 /******************************************************
  cp è un array di 4 elementi dove:
  cp[0] è il punto iniziale
  cp[1] è il primo punto di controllo
  cp[2] è il secondo punto di controllo
  cp[3] è il punto finale
 
  t è il valore del parametro, 0 <= t <= 1
 *******************************************************/
 
  Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
  {
 	float   ax, bx, cx;
 	float   ay, by, cy;
 	float   tSquared, tCubed;
 	Point2D result;
 	
 	/* calcolo dei coefficienti del polinomio */
 	
 	cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
 	bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
 	ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
 	
 	cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
 	by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
 	ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
 	
 	/* calcolo del punto della curva in relazione a t */
 	
 	tSquared = t * t;
 	tCubed = tSquared * t;
 	
 	result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
 	result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
 	
 	return result;
  }
 
 /*****************************************************************************
  ComputeBezier riempie un array di strutture Point2D  con i punti della curva 
  generati dai punti di controllo cp. Il chiamante deve allocare memoria 
  sufficiente per il risultato che è <sizeof(Point2D) * numeroDiPunti>
 ******************************************************************************/
 
  void	ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve )
  {
 	float dt;
 	int   i;
 	
 	dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );
 	
 	for( i = 0; i < numberOfPoints; i++ )
 		curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
  }

Applicazione in Visual Basic 6

'Option Explicit
'questo deve essere inserito in un modulo'
Type BezierPoint
    X As Single
    Y As Single
End Type

'Inserire il tutto in un form con il name form2
Public Sub iDrawBez()
Dim iPoint(5) As BezierPoint
    
    'Il primo e l'ultimo indice determinano il Piniziale e il Pfinale
    iPoint(0).X = 1000
    iPoint(0).Y = 1000
    iPoint(1).X = 6500
    iPoint(1).Y = 5500
    iPoint(2).X = 4000
    iPoint(2).Y = 5000
    iPoint(3).X = 9000
    iPoint(3).Y = 3000
    iPoint(4).X = 12200
    iPoint(4).Y = 4000
    iPoint(5).X = 5200
    iPoint(5).Y = 3400
        
    DrawBezier iPoint()

End Sub

Private Sub DrawBezier(iPoint() As BezierPoint)
    Dim ax As Single, bx As Single, cx As Single, ay As Single, by As Single, cy As Single, xt As Single, yt As Single
    Dim axN As Single, bxN() As Single, cxN() As Single, ayN As Single, byN() As Single, cyN() As Single, xtN As Single, ytN As Single
    
    Dim t As Single, I As Integer
    Dim iTotPoints As Integer
    Dim X As Integer
    
    iTotPoints = UBound(iPoint)
    
    ReDim bxN(iTotPoints) As Single
    ReDim cxN(iTotPoints) As Single
    ReDim byN(iTotPoints) As Single
    ReDim cyN(iTotPoints) As Single
    
    Form2.Cls
    Form2.DrawWidth = 1
    'Draws control lines
    Form2.ForeColor = vbBlue
    
    For X = 0 To iTotPoints - 1
        Form2.Line (iPoint(X).X, iPoint(X).Y)-(iPoint(X + 1).X, iPoint(X + 1).Y)
    Next X

    Form2.ForeColor = vbRed
    
    'The following is the core of the program.
    ' All others are just for dragging.
    cxN(0) = 0
    For X = 1 To iTotPoints - 1
        cxN(X) = iTotPoints * (iPoint(X).X - iPoint(X - 1).X) - cxN(X - 1)
    Next X
        
    'Calcolo di ax
    axN = iPoint(iTotPoints).X - iPoint(0).X
    For X = 1 To iTotPoints - 1
        axN = axN - cxN(X)
    Next X
    
    cyN(0) = 0
    For X = 1 To iTotPoints - 1
        cyN(X) = iTotPoints * (iPoint(X).Y - iPoint(X - 1).Y) - cyN(X - 1)
    Next X
        
    'Calcolo di ay
    ayN = iPoint(iTotPoints).Y - iPoint(0).Y
    For X = 1 To iTotPoints - 1
        ayN = ayN - cyN(X)
    Next X
        
    For t = 0 To 1 Step 0.0001
        xtN = axN * t ^ iTotPoints
        ytN = ayN * t ^ iTotPoints
    
        For X = iTotPoints - 1 To 1 Step -1
            xtN = xtN + cxN(X) * t ^ X
            ytN = ytN + cyN(X) * t ^ X
        Next X
        
        xtN = xtN + iPoint(0).X
        ytN = ytN + iPoint(0).Y
    
        Form2.PSet (xtN, ytN) 'Draw Lines for a finer curve
    Next t

    Form2.ForeColor = vbYellow
    Form2.DrawWidth = 4

    For I = 0 To 3
        Form2.PSet (iPoint(I).X, iPoint(I).Y)
        'Debug.Print " (x" & I & ", y" & I & ")"
    Next I
End Sub

Curve di Bézier razionali

Alcune curve che sembrano semplici, come la circonferenza, non possono essere descritte da una curva di Bézier, quindi abbiamo bisogno di maggiori gradi di libertà.

La curva di Bézier razionale aggiunge pesi che possono essere aggiustati. Il numeratore è una curva di Bézier in forma di Bernstein pesata e il denominatore è una somma pesata di polinomi di Bernstein.

Dati $n+1$ punti di controllo $P_{i}$ , la curva di Bézier razionale è data da: