Omotetia

In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci homós, "simile" e títhemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nelle similitudini, di cui è infatti un caso particolare.

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro $A$ e di rapporto $\scriptstyle -{1 \over 2}.$

Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro $A$ e di rapporto $c$ (numero reale diverso da zero) è una trasformazione dello spazio euclideo secondo cui un qualsiasi punto $P$ dello spazio viene spostato, sulla semiretta $AP$ se $c$ positivo o sulla semiretta $PA$ se $c$ negativo, in modo che la sua distanza da $A$ cambi secondo il fattore costante $|c|$ .

Nell'esempio grafico a fianco $c=-{1 \over 2}$ , quindi il punto $P$ viene trasformato in $P'$ sulla semiretta $PA$ (ovvero la semiretta che origina in $P$ e va verso $A$ ) tale che ${\overline {AP'}}={1 \over 2}{\overline {AP}}$ .

Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

dilatazione, se $|c|>1;$
contrazione, se $0<|c|<1;$
se $c=1$ si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso;
se $c=-1$ si ottiene la simmetria centrale di centro $A$ o la rotazione di centro $A$ pari a un angolo piatto

L'omotetia è una particolare similitudine, ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro $A$ , un generico punto $P$ e il suo trasformato $P'$ sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.

Definizione tramite vettori

Mediante i vettori, l'omotetia di centro $A$ e di rapporto $c\neq 0$ si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto $P$ nell'unico punto $P'$ soluzione dell'equazione vettoriale:

{\overrightarrow {AP'}}=c\cdot {\overrightarrow {AP}}.

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che $c$ sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.

Proprietà

Una omotetia moltiplica tutte le distanze per $|c|$ , di conseguenza tutte le aree per $|c|^{2}$ (o $c^{2}$ ) e tutti i volumi per $|c|^{3}$ .

Se $c\neq 1$ (cioè se non è un'identità), allora l'unico punto unito è il punto $A$ e le uniche rette unite sono quelli passanti per $A$ (si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).

Algebra lineare

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro $A$ dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore $c$ , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a $c$ .