Przejdź do zawartości

Odwrotna interpolacja kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wersja do druku nie jest już wspierana i może powodować błędy w wyświetlaniu. Zaktualizuj swoje zakładki i zamiast tego użyj domyślnej funkcji drukowania w swojej przeglądarce.

W analizie numerycznej, odwrotna interpolacja kwadratowa – metodą znajdowania pierwiastków, to znaczy jest algorytmem rozwiązywania równań postaci Pomysłem jest użycie interpolacji kwadratowej do aproksymacji funkcji odwrotnej do Ten algorytm jest rzadko używany samodzielnie, ale jest ważny ponieważ stanowi część popularnej metody Brenta.

Metoda

Algorytm odwrotnej interpolacji kwadratowej jest definiowany przez równanie rekurencyjne

gdzie Jak można zauważyć z zależności rekurencyjnej, ta metoda wymaga trzech początkowych wartości: i

Opis metody

Używamy trzech poprzedzających iteracji i z ich trzema wartościami funkcji i Stosując wzór interpolacji Lagrange’a do kwadratowej interpolacji odwrotności otrzymamy

Patrzymy na pierwiastek podstawiając w powyższym równaniu i jego rezultatach w powyższej formule rekurencyjnej.

Zachowanie

Asymptotyczne zachowanie jest bardzo dobre: ogólnie, iteracje zbiegają szybko do pierwiastka gdy się do niego zbliżymy. Jakkolwiek wydajność jest często całkiem zła jeśli nie wystartujemy blisko rzeczywistego pierwiastka. Na przykład jeśli przez przypadek dwie z wartości funkcji i pokrywają się, algorytm zawodzi całkowicie. Zatem odwrotna interpolacja kwadratowa jest rzadko używana jako algorytm samodzielny.

Rząd zbieżności jest około 1,8 jak można udowodnić przez analizę metody siecznych.

Porównanie z innymi metodami znajdowania pierwiastków

Jak wspomniano na wstępie, odwrotna interpolacja kwadratowa jest stosowana w metodzie Brenta.

Odwrotna interpolacja kwadratowa jest również blisko związana z innymi metodami szukania pierwiastków. Używając interpolacji liniowej zamiast kwadratowej, dostajemy metodę siecznych. Interpolując zamiast odwrotności dostajemy metodę Mullera.

Linki zewnętrzne