Кирпатий куб

Кирпатий куб
«Правий» варіант
Граней	38, 32 трикутники, 6 квадратів
Ребер	60
Вершин	24
Конфігурація вершин	34.4
Група симетрії	O (хіральна октаедрична)
Дуальний многогранник	пентагональний ікосітетраедр
Розгортка

Тривимірна модель кирпатого куба

Кирпатий куб, або плосконосий куб, — напівправильний багатогранник (архімедове тіло) з 38 гранями, складений з 6 квадратів і 32 правильних трикутників. У кожній з його 24 однакових вершин сходяться одна квадратна грань і чотири трикутні. Трикутні грані діляться на дві групи: 8 з них оточені тільки іншими трикутними, решта 24 — квадратною і двома трикутними.

Має 60 ребер рівної довжини.

Назву «кирпатий куб» (лат. cubus simus) дав цьому багатограннику Йоганн Кеплер у трактаті 1619 року «Гармонія світу». Гарольд Коксетер, зазначивши, що багатогранник споріднений з октаедром тою ж мірою, що і з кубом, пропонував називати його «кирпатим кубооктаедром».

На відміну від більшості інших архімедових тіл, кирпатий куб (поряд з кирпатим додекаедром) є хіральним і існує в двох різних дзеркально-симетричних (енантіоморфних) варіантах — «правому» і «лівому».

Перетворення ромбокубооктаедра на «лівий» і «правий» кирпаті куби.

Метричні характеристики і кути

При визначенні метричних властивостей кирпатого куба доводиться розв'язувати кубічні рівняння і користуватися кубічними коренями — тоді як для ахіральних архімедових тіл і для платонових тіл не потрібно нічого складнішого від квадратних рівнянь і квадратних коренів. Тому кирпатий куб, на відміну від платонових і ахіральних архімедових тіл, не допускає евклідової побудови. Це стосується і кирпатого додекаедра, а також двоїстих їм каталанових тіл.

При описі метричних властивостей і кутів кирпатого куба важливу роль відіграє константа трибоначчі:

$t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.$.

Якщо кирпатий куб має ребро довжини $a$його площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19{,}8564065a^{2},$

$V={\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\;a^{3}\approx 7{,}8894774a^{3}.$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнює

$R={\sqrt {\frac {3-t}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}3437134a;$

радіус напіввписаної сфери (дотичної до всіх ребер в їх серединах) —

$\rho ={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2472232a.$

Вписати в кирпатий куб сферу — так, щоб вона дотикалася до всіх граней, — неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині кирпатого куба з ребром $a$ (вона буде дотикатися тільки до всіх квадратних граней в їх центрах), дорівнює

$r_{4}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}}}={\sqrt {\frac {t-1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}1426135a.$

Відстань від центра багатогранника до центра будь-якої трикутної грані перевищує $r_{4}$ і дорівнює

$r_{3}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{3}}}}={\sqrt {\frac {t+1}{12(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2133558a.$

Двогранні кути між двома суміжними трикутними гранями кирпатого куба рівні $\alpha _{33}=\arccos \,{\frac {1-2t}{3}}\approx 153{,}23^{\circ },$ між суміжними квадратною і трикутною гранями $\alpha _{43}=\arccos \left(-{\sqrt {1-{\frac {2}{3t}}}}\right)\approx 142{,}98^{\circ }.$

Тілесний кут при вершині дорівнює $3\alpha _{33}+2\alpha _{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi .$

В координатах

«Лівий» кирпатий куб можна розмістити у декартовій системі координат так, щоб координати 12 його вершин були всіма парними перестановками тих трійок чисел $(\pm t;\pm 1;\pm t^{-1}),$ серед яких парне число від'ємних, а координати решти 12 вершин — всіма непарними перестановками тих трійок, серед яких непарна кількість від'ємних.

Якщо вчинити навпаки — взяти парні перестановки трійок з непарним числом мінусів і непарні перестановки трійок з парним числом мінусів — отримаємо «правий» варіант кирпатого куба.

Початок координат $(0;0;0)$ в обох випадках буде центром описаної і напіввписаної сфер багатогранника.

Пов'язані многогранники та мозаїки

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n

Симетрія n32	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Кирпаті фігури
Конфігурація	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Посилання

• Weisstein, Eric W. Кирпатий куб(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.