Тричі відсічений ікосаедр
Тричі відсічений ікосаедр | |
---|---|
Тип | Многогранник Джонсона J63 |
Граней | 2+3=5 правильних трикутників 3 правильні п'ятикутники |
Ребер | 15 ребер |
Вершин | 9 вершин: {3+3} вершини (3-го степеня) + 3 (4-го) |
χ | |
Конфігурація вершин | 2x3(3.52) 3(33.5) |
Група симетрії | C3v[en], [3], (*33), порядок 6 (Циклічна симетрія 3-піраміди) |
Дуальний многогранник | Три-тригонально відсічений ікосаедр (Tri-tridiminished icosahedron[голе посилання])[1][2] |
Опуклий, рівносторонній, правильногранний | |
Розгортка | |
Тричі відсічений ікосаедр (англ. Tridiminished icosahedron) є одним із багатогранників Джонсона (J63 або M7 (за Залгаллером[3]).
Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона[en], який першим перелічив їх в 1966 р. [4]
Тричі відсічений ікосаедр складений з 8 граней (а тому є неправильним октаедром): 2+3 = 5 правильних трикутників і 3 правильних п'ятикутників.
Кожна п'ятикутна грань оточена двома п'ятикутними та трьома трикутними гранями; одна трикутна грань оточена трьома п'ятикутними гранями; ще одна трикутна грань оточена трьома трикутними гранями; три трикутні грані оточені двома п'ятикутними та однією трикутною гранню.
Має 15 ребер однакової довжини.
3+6=9 ребер розташовані між п'ятикутною та трикутною гранями, 3 ребра розташовані між двома п'ятикутними гранями, 3 ребра — між двома трикутними гранями.
У тричі відсіченого ікосаедра 9 вершин: 3+3=6 вершини оточені двома п'ятикутними і однією трикутною гранями; 3 вершини оточені однією п'ятикутною та трьома трикутними гранями.
Тричі відсічений ікосаедр має одну вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри двох паралельних трикутних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, які проходять через вісь симетрії та вершини трикутних граней.
Центру симетрії не має.
Тричі відсічений ікосаедр є одним з елементарних багатогранників Джонсона.[4]
Опуклий багатогранник з правильними гранями є елементарним, якщо його неможливо розділити площиною на два менших опуклих багатогранника з правильними гранями.
Тобто цей багатогранник не утворений шляхом поєднання інших елементарних багатогранників між собою, чи з призмами, антипризмами, або нарощенням на гранях тіл Платона чи Архімеда інших багатогранників.
При відсутності умовних ребер (окрім призм та антипризм) всього існує 28 елементарних багатогранників з правильними гранями.[5]
Цей багатогранник утворений з правильного ікосаедра шляхом видалення трьох несусідніх його вершин разом з ребрами та гранями, що їх оточують (відсікаються три п'ятикутні піраміди). На їх місці створюються п'ятикутні грані. Звідси й назва —тричі відсічений ікосаедр.
У всіх формулах нижче: — відношення «золотого перетину».
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для тричі відсіченого ікосаедра:
діагональ (15 граневих та 6 просторових).
Діагоналі тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра | |||
---|---|---|---|
Граневі діагоналі | ≈ 1.618033988 | ||
Просторові діагоналі | ≈ 1.618033988 | ||
≈ 1.902113032 |
Для тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра : | ||
---|---|---|
Радіус описаної сфери
(проходить через всі вершини) |
≈ 0.951056516 | |
Радіус напіввписаної сфери
(дотикається до всіх ребер) |
≈ 1.538841769 | |
Вписаної сфери тричі відсічений ікосаедр не має | ||
Висота H (Відстань між паралельними трикутними гранями) |
≈ 1.511522628 | |
Площа поверхні | ≈ 7.326495711 | |
Об'єм | ≈ 1.277186493 |
Радіуси описаної та напіввписаної сфер мають таке ж значення як і в правильному ікосаедрі з тою ж довжиною ребра, а їх центри лежать на осі симетрії багатогранника посередині між паралельними трикутними гранями.
Центр масс тричі відсіченого ікосаедра лежить на його осі симетрії на відстані[6] від нижньої основи (трикутна грань, що оточена трьома п'ятикутними).
Плоскі кути граней при вершині: 60°, 108°.
Кути багатогранника | ||
---|---|---|
Двогранний кут між гранями {3} та {3} | ≈ 2.411864997 rad
≈ 138°11′ 22.86638′′ | |
Двогранний кут між гранями {3} та {5} | ≈ 1.7595068 rad
≈ 100°48′44.34107′′ | |
Двогранний кут між гранями {5} та {5} | ≈ 1.1071487 rad
≈ 63°26′ 5.81576′′ | |
Тілесний кут при вершині 3.3.3.5 | ≈ 2.0595584 ср | |
Тілесний кут при вершині 3.5.5 | ≈ 1.4845698 ср | |
Сферичність |
Координати вершин тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра a = 1:[7][8]
- , — ці координати задають три вершини верхньої трикутної грані, яка оточена трикутниками.
- , — ці координати задають три вершини 3.3.3.5, що лежать між паралельними трикутними гранями.
- , — ці координати задають три вершини нижньої трикутної грані, яка оточена п'ятикутниками.
При цьому вісь симетрії тричі відсіченого ікосаедра збігається з віссю координат Oz, площина Оxz збігається з однією з плошин симетрії багатогранника, а початок координат збігається з центром описаної та напіввписаної сфер.
Вершини багатогранника лежать в трьох паралельних площинах, і в кожній з них формують правильний трикутник. Відстані між цими площинами:[9]
Тричі відсічений ікосаедр не має канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників співпадають).
Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового тричі відсіченого ікосаедра можуть різнитися.
Двоїстий до тричі відсіченого ікосаедра, три-тригонально відсічений ікосаедр (Tri-tridiminished icosahedron, dJ63) ,[1][2]
має 9 граней: 3 дельтоїди, 3+3=6 рівнобедрених трикутників; 15 ребер, 8 вершин.
Двоїстий багатогранник | Поєднання тричі відсіченого ікосаедра та його двоїстого | Розгортка двоїстого |
---|---|---|
До трикутної грані тричі відсіченого ікосаедра (яка оточена п'ятикутниками) можна приєднати правильний тетраедр. При цьому утвориться правильногранний багатогранник Джонсона J64 — нарощений тричі відсічений ікосаедр.
Тричі відсічений ікосаедр є вершинною фігурою однорідного політопа 4-вимірного простору — кирпатого 24-комірника s{3, 4, 3} ((англ.) snub 24-cell). [4]
- ↑ а б Tri-tridiminished icosahedron. Polytope Wiki (англ.). 22 березня 2021. Процитовано 28 серпня 2023.
- ↑ а б titdi. bendwavy.org. Процитовано 29 серпня 2023.
- ↑ Залгаллер, 1967.
- ↑ а б в Norman W. Johnson.
- ↑ Погорелов, А.В. (відп.ред.); Иванов, Б.А. (автор статті). (1971), Украинский геометрический сборник (PDF) (ru) , т. 10, Издательство Харьковского национального университета, с. 21
- ↑ Tridiminished icosahedron centroid - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.).
- ↑ Tridiminished icosahedron. Polytope Wiki (англ.). 21 серпня 2023. Процитовано 29 серпня 2023.
- ↑ Tridiminished icosahedron vertex coordinates - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 29 серпня 2023.
- ↑ teddi. bendwavy.org. Процитовано 29 серпня 2023.
- Norman W. Johnson[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — С. 169—200. — ISSN 0008-414X. — DOI: . (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
- Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — М.—Л. : Наука, 1967. — Т. 2. — 221 (rusian) с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)
- Weisstein, Eric W. Tridiminished Icosahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Tridiminished icosahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- McCooey, David.Tridiminished Icosahedron (англ.) на сайті dmccooey.com.
- Klitzing, Richard. «teddi».
- Quickfur. «The Tridiminished Icosahedron»