Перейти до вмісту

Точка Аполлонія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

У геометрії трикутника точка Аполлонія — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Ця точка є одним із центрів трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга її позначено як X(181). Центр Аполлонія також пов'язаний з задачею Аполлонія.

У літературі термін «точки Аполлонія» також використовувався для позначення ізодинамічних точок трикутника.[1] Це пояснюється тим, що ізодинамічні точки пов'язані з трьома аполоніївськими колами, пов'язаними з трикутником.

Розв'язок задачі Аполлонія відомий потягом століть, проте точку Аполлонія вперше позначено 1987 року.[2][3]

Визначення

[ред. | ред. код]

Точка Аполлонія трикутника визначається так.

Нехай  — даний трикутник. Нехай , ,  — зовнівписані кола трикутника , протилежні до вершин , , відповідно. Нехай  — коло, яке дотикається до трьох кіл , , так, що вони лежать в . Нехай , ,  — точки дотику кола з трьома колами. Відрізки , , перетинаються в одній точці. Точка перетину — точка Аполлонія трикутника .

Задача Аполлонія — це задача побудови кола, дотичного до трьох даних кіл у площині. Загалом існує вісім кіл, що дотикаються до трьох даних кіл. Коло , згадане у визначенні, є одним із цих восьми кіл, що дотикаються до трьох зовнівписаних кіл трикутника . В Енциклопедії центрів трикутників коло називається колом Аполлонія трикутника .

Трилінійні координати

[ред. | ред. код]

Трилінійними координатами точки Аполлонія є[2]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Katarzyna Wilczek (2010). The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle. Journal of Mathematics and Applications. 32: 95—101.
  2. а б Kimberling, Clark. Apollonius Point. Архів оригіналу за 10 May 2012. Процитовано 16 травня 2012.
  3. C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa (1987). Problem 1091 and Solution. Crux Mathematicorum. 13: 217—218.