Точки Вектена

У планіметрії зовнішня і внутрішня точки Вектена — точки, які будуються на основі даного трикутника аналогічно першій і другій точкам Наполеона. Однак для побудови вибираються центри не рівносторонніх трикутників, а квадратів, побудованих на сторонах даного трикутника (див. рис.).

Зовнішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами $O_{a},O_{b},O_{c}$ . Тоді лінії $AO_{a},BO_{b}$ , $BO_{b}$ і $CO_{c}$ перетинаються в одній точці, званій зовнішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника зовнішня точка Вектена позначається як X (485)^[1].

Історія

Зовнішню точку Вектена названо так на початку XIX століття на честь французького математика Вектена, який вивчав математику в один час з Жергоном^[ru] в Німі й опублікував своє дослідження про фігуру у вигляді трьох квадратів, побудованих на трьох сторонах трикутника 1817 року^[2]. За іншими даними, це сталося в 1812/1813 роках. При цьому посилаються на роботу^[3].

Внутрішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами $I_{a},I_{b},I_{c}$ . Тоді лінії $AI_{a},BI_{b}$ і $CI_{c}$ перетинаються в одній точці, званій внутрішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника внутрішня точка Вектена позначається як X(486)^[1].

Пряма $X(485)X(486)$ перетинає пряму Ейлера в центрі дев'яти точок трикутника $ABC$ . Точки Вектена лежать на гіперболі Кіперта.

Положення на гіперболі Кіперта

Координата зовнішньої і внутрішньої точок Вектена можна отримати з рівняння гіперболи Кіперта за значень кута $\theta$ при основах трикутників відповідно π/4 і -π/4.

Асоціації

Малюнок вище для побудови зовнішньої точки Вектена у разі, якщо вона проводиться для прямокутного трикутника, збігається з малюнком одного з доведень теореми Піфагора (див. на рис. нижче так звані піфагорові штани).

*Піфагорові штани*. Сума площ квадратів, побудованих на катетах $a$ і $b$ , дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі $c$

Див. також

Точки Наполеона — пара центрів трикутника, побудованих аналогічним способом з використанням замість квадратів рівносторонніх трикутників

Примітки

↑ ^а ^б Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers.
↑ Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten (PDF), процитовано 4 листопада 2014
↑ Peter Ladislaw Hammer^[de], Ellis Lane Johnson^[de], Bernhard H. Korte^[de]. Discrete Optimization II. — Amsterdam : Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.

Посилання

Weisstein, Eric W. Vecten Points(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[ETC-1] а ^б Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers.

[2] Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten (PDF), процитовано 4 листопада 2014

[3] Peter Ladislaw Hammer^[de], Ellis Lane Johnson^[de], Bernhard H. Korte^[de]. Discrete Optimization II. — Amsterdam : Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.

[1]

[2]

[3]

п о р Трикутник
Види трикутників	Прямокутний Рівнобедрений Рівносторонній Рівнобедрений прямокутний
Чудові лінії в трикутнику	Медіана Висота Бісектриса Серединний перпендикуляр Середня лінія Описане коло Вписане коло Пряма Сімсона Лінія Ейлера Симедіана Чевіана Гіпербола Кіперта
Чудові точки трикутника	Ортоцентр Центроїд Інцентр Точка Аполлонія Точки Аполлонія Точки Брокара Точки Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Мікеля Точка Наґеля Точки Наполеона Точка Паррі Точки Торрічеллі Центр кола дев'яти точок Центр Шпікера Енциклопедія центрів трикутника
Основні теореми	Нерівність трикутника Подібність трикутників Розв'язування трикутників Теорема про зовнішній кут трикутника Теорема про суму кутів трикутника Теорема Піфагора Теорема косинусів Теорема синусів Теорема про проєкції Формула Герона
Додаткові теореми	Теорема ван Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсів Теорема котангенсів Теорема Чеви Формули Мольвейде
Узагальнення	Сферичний трикутник Гіперболічний трикутник Симплекс
Інше	Трикутник Рело Трикутник Серпінського