다중 적분

수학(특히 다변량 미적분학)에서 다중 적분은 f(x, y) 또는 f(x, y, z)와 같은 여러 실제 변수의 함수에 대한 확실한 적분이다. $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}}(실수 평면)의 한 영역에 대한 두 변수의 함수를 이중 적분이라고 하며, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$실수 3D 공간)의 한 영역에 대한 세 변수의 함수를 적분하는 것을 삼중 적분이라고 한다.^[1] 단일 변수 함수의 다중 통합에 대해서는 반복 통합에 대한 Cauchy 공식을 참조하십시오.

소개

한 변수의 양함수의 확정적 적분은 함수의 그래프와 x축 사이의 영역 영역을 나타내듯이, 두 변수의 양함수의 이중 적분은 함수에 의해 정의된 표면 사이의 영역의 부피를 나타낸다(z = f(x)인 3차원 데카르트 평면에서, y)) 및 도메인을 포함하는 평면.^[1] 변수가 더 많을 경우, 다중 적분은 다차원 함수의 과대볼륨을 산출한다.

n변수에 함수의 다중 통합:D가장 일반적으로 실행(맨 왼쪽의 적분 표시 지난 계산된다)의 역순으로 중첩 적분 표지판, 기능 및integrand 주장에 필요한 적절한 주문(은는 최우측 논쟁에 관한 적분 계산된다에 의해 나타내는 도메인에 f(x1, 미국,..., xn).(st). 통합 영역은 각 적분 부호에 대한 모든 인수에 대해 상징적으로 표현되거나, 또는 가장 오른쪽 적분 부호에 있는 변수에 의해 약칭된다.^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int_{\mathbf {D}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}},dx_{1}\!\cdx_{n}}}}}}}}$

반물질의 개념은 단일 실제 변수의 기능에 대해서만 정의되기 때문에, 무기한 적분의 통상적인 정의는 즉시 복수의 적분으로 확장되지 않는다.

수학적 정의

n > 1의 경우, 다음과 같이 정의되는 이른바 "하프 오픈" n-차원 직사각형 도메인 T를 고려한다.

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1}\time [a_{2},b_{2}\time [a_},b_{n}}\subseteq \mathb {R} ^{n}.}$

각 구간[a_j, b_j)을 비과잉 하위간격 i의_jα 유한 패밀리 I로_j 분할하고, 각 하위간격은 왼쪽 끝에서 닫히고 오른쪽 끝에서 연다.

그런 다음 C에 의해 주어진 하위 직각의 유한한 계열

$(\displaystyle C=)I_{1}\time I_{2}\time \cdots \time I_{n}}}$

T의 파티션이다. 즉, 하위 사각형 C는_k 오버랩되지 않고 그 결합은 T이다.

f : T → R을 T에 정의된 함수로 한다. 위에서 정의한 바와 같이 T의 파티션 C를 고려하여 C는 m 하위 직사각형 C와_m

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cdots \cdots \cup C_{m}}}$

다음과 같은 리만 합을 가진 f의 n차원 그래프로 n차원 초직각 T 이상에 의해 경계된 총(n + 1)차원 부피에 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m}(C_{k})$

여기서 P는_k C의_k 점이고 m(C_k)은 C의_k 척도로도 알려진 Cartesian 제품이 C인_k 구간의 길이를 곱한 것이다.

하위 직각 C의_k 직경은 카르테시안 제품이 C인_k 간격 길이 중 가장 크다. T의 주어진 칸막이의 직경은 칸막이에 있는 하위 칸막이의 지름 중 가장 큰 지름으로 정의된다. 직관적으로 C 칸막이의 지름이 점점 작아질수록 하위 칸막이의 수가 커지고, 각 하위 칸막이의 측정 m(C_k)이 작아진다. f함수는 한계일 경우 Riemann 통합이 가능하다고 한다.

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m(P_{k})\,\operatorname {m}(C_{k})}$

최대 Δ의 직경 T의 가능한 모든 칸막이를 한도가 차지하는 경우.^[3]

f가 Riemann 통합이 가능한 경우, S는 f over T의 Riemann 적분으로 불리며 표시된다.

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}}\!$

흔히 이 표기법은 다음과 같이 축약된다.

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}$

여기서 x는 n-투플(x₁, …, x_n)을 나타내고 dx는ⁿ n-차원 볼륨 차이다.

임의의 경계 n차원 집합에 걸쳐 정의한 함수의 리만 적분은 값이 원래 함수의 영역 바깥으로 0인 반쯤 열린 직사각형 위에 정의된 함수로 확장함으로써 정의할 수 있다. 그러면 원래 영역에 대한 원래 함수의 적분은 직사각형 영역에 걸쳐 확장된 함수의 적분으로 정의된다.

리만(Riemann)에 이어 n차원의 적분을 복수 적분이라고 한다.

특성.

다중 통합은 하나의 변수(선형성, 공차성, 단조성 등)의 함수 통합에 공통적인 많은 속성을 가진다. 다중 통합의 한 가지 중요한 특성은 적분 값이 특정 조건에서 적분 순서와 무관하다는 것이다. 이 성질은 흔히 푸비니의 정리라고 알려져 있다.^[4]

특정 사례

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 적분된 경우

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

T에 f의 이중 적분이며, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$인 경우 적분

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

T에 있는 f의 3중 적분이다.

관례상, 이중 적분에는 두 개의 적분 부호가 있고, 삼중 적분에는 세 개의 적분 부호가 있다; 이것은 이 글의 뒷부분에서 보여지듯이 다중 적분을 반복 적분으로 계산할 때 편리한 공칭적 협정이다.

통합 방법

다중 통합에 대한 문제 해결은 대부분의 경우, 하나의 변수의 연속적인 통합에 대한 다중 통합, 즉 각 통합이 직접 해결 가능한 방법을 찾는 것으로 구성된다. 지속적인 기능에 대해서는 푸비니의 정리에 의해 이것이 정당화된다. 때로는 계산 없이 직접 검사에 의해 통합의 결과를 얻을 수 있다.

다음은 간단한 통합 방법이다.^[1]

상수 함수 통합

통합이 상수 함수 c인 경우, 통합은 c의 산물 및 통합 영역의 측도와 동일하다. c = 1이고 도메인이 R의² 하위 영역인 경우 적분은 영역의 영역을, 도메인이 R의³ 하위 영역인 경우 적분은 영역의 볼륨을 부여한다.

예. f(x, y) = 2 및

$\displaystyle D=\왼쪽\{(x,y)\in \mathb {R} ^{2}\\\\\2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}}$

그렇다면

${\displaystyle \int_{3}^{6}\int_{2}^{4}\2\dx\,dy=2}^{6}\int_{3}^{6}\int_{2}\1\dx\,dy=2\cdot \operatorname {area}(D)=2\cdot 3)12,}$

정의상 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\1\dx\,dy=\operatorname {area}(D).}$

대칭의 사용

통합 영역이 통합 변수 중 적어도 하나와 관련하여 출발지에 대칭이고 통합이 이 변수에 관하여 홀수인 경우, 영역의 두 절반에 걸친 통합은 같은 절대값을 가지지만 반대 기호를 가지기 때문에 적분은 0과 같다. 통합이 이 변수에 관해서도 동일할 때, 통합은 도메인의 두 반에 걸친 통합이 같기 때문에, 통합은 도메인의 절반에 걸친 통합의 두 배와 같다.

예 1. 도메인 상에 통합된 f(x,y) = 2 sin(x) - 3y³ + 5 함수 고려

$\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

반지름 1이 포함된 경계와 함께 원점을 중심으로 한 디스크

선형성 특성을 사용하여 적분은 다음과 같이 세 부분으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle \iint _{T}\좌측(2\sin x-3y^{3}+5\우측)\,dx\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3y^{3}\,dx\,dyx\}$

함수 2 sin(x)은 변수 x에서 홀수함수로, 디스크 T는 y축에 대해 대칭이므로 첫 번째 적분 값은 0이다. 마찬가지로 함수 3y는³ y의 홀수함수이고, T는 x축에 관해서 대칭이므로 최종 결과에 대한 기여는 세 번째 적분함수뿐이다. 따라서 원래 적분은 디스크의 면적 5 또는 5㎛와 동일하다.

예 2. 함수 f(x, y, z) = x exp(y²² + z) 및 통합 영역으로 반경 2가 원점에 있는 볼을 고려한다.

$\displaystyle T=\왼쪽\{(x,y,z)\in \mathb {R} ^{3}\\\\x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}$

"볼"은 세 축 모두에 대해 대칭이지만, 함수는 그 변수의 홀수 함수이기 때문에 적분이 0이라는 것을 보여주기 위해 x 축에 대해 통합하기에 충분하다.

R의² 일반 도메인

이 방법은 다음과 같은 도메인 D에 적용된다.

• X 축 또는 Y 축에 대한 D의 투영은 a와 b의 두 값으로 제한된다.
• 이 두 값 사이를 통과하는 이 축에 수직인 선은 α와 β라는 두 함수의 그래프에 의해 끝점이 주어지는 구간에서 도메인을 교차한다.

그러한 도메인은 여기서 정상 도메인이라고 불릴 것이다. 문헌의 다른 곳에서는 도메인이 어느 축으로 섬유화되느냐에 따라 일반 도메인을 I형 또는 II형 도메인이라고 부르기도 한다. 모든 경우에 통합될 함수는 도메인에서 통합할 수 있는 Riemann이어야 하는데, 이는 함수가 연속적인 경우(예를 들어) 참이다.

x축

도메인 D가 x축에 관해서 정상이고, f : D → R이 연속함수인 경우, α(x)와 β(x) (둘 다 간격[a, b]에 대해 정의되는)는 D를 결정하는 두 가지 함수다. 그리고 푸비니의 정리로는 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{a}^{b}dx\int_{\alpha(x)^{\f(x,y)\,dy.}$

y축

만약 D가 y축에 관해서 정상이고 f : D → R이 연속함수라면, α(y)와 β(y) (둘 다 구간[a, b]에 대해 정의된다)는 두 가지 함수가 D를 결정하는 기능이다. 역시 푸비니의 정리로는 다음과 같다.

${\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{a}^{b}dy\int_{\alpha(y)^{\f(x,y)\dx.}$

R의³ 일반 도메인

만약 T가 xy-평면에 관해서 정상이고 함수 α(x, y)와 β(x, y)에 의해 결정되는 도메인이라면,

${\displaystyle \iint_{T}f(x,y,z)\,dx\,dz=\iint_{D}\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y,y)\,dz\,dy}$

이 정의는 R의³ 다른 다섯 가지 정규성 사례에 대해서도 동일하다. 그것은ⁿ R의 도메인에 대한 간단한 방법으로 일반화될 수 있다.

변수 변경

통합의 한계는 쉽게 교환할 수 없는 경우가 많다(정규성이 없거나 통합해야 할 복잡한 공식). 보다 '편안한' 영역에 적분을 다시 쓰기 위해 변수를 변경하는데, 이는 보다 간단한 공식으로 설명할 수 있다. 그렇게 하려면 함수를 새 좌표에 맞춰야 한다.

예시 1a. 함수는 f(x, y) = (x - 1) ²= (x - 1) + √y이며, 대체 u = x - 1, v = y 따라서 x = u + 1, y = v는 새로운₂ 함수 f(u,² v) = (u) + ;v를 얻는다.

• 이전에 변환된 원래 변수(예: x와 y)로 구분되기 때문에 도메인의 경우에도 유사하다.
• 새로운 변수에 관한 변환의 부분적 파생물이 포함된 Jacobian 행렬의 결정요인의 절대값을 통한 차동 dx 및 d 변환(예를 들어 극좌표에서의 차동 변환을 고려)

변수의 변화에는 세 가지 주요 "종류"가 존재한다(R에² 1개³, R에 2개). 그러나 동일한 원리를 사용하여 보다 일반적인 대체를 할 수 있다.

극좌표

R에서² 도메인이 원형 대칭을 가지고 있고 함수가 특정한 특성을 가지고 있는 경우, 변환을 극좌표(그림의 예 참조)에 적용할 수 있는데, 이는 데카르트 좌표에서 일반 포인트 P(x, y)가 극좌표에서 각각의 포인트로 전환됨을 의미한다. 그것은 도메인의 모양을 바꾸고 운영을 단순화할 수 있게 해준다.

변환을 만드는 근본적인 관계는 다음과 같다.

$\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \coses \varphi ,\rho \sin \varphi).}$

예 2a. 함수는 f(x, y) = x + y이며, 얻은 변환을 적용한다.

$\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi \cos \varphi \rho.}$

예시 2b. 함수는 f(x, y) = x² + y이며², 이 경우 다음이 있다.

${\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\왼쪽(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$

피타고라스 삼각측량 아이덴티티 사용(이 작업을 단순화하는 데 매우 유용함).

도메인의 변환은 반경 크라운 길이와 설명한 각도의 진폭을 정의하여 x, y부터 시작하는 ρ, φ 간격을 정의함으로써 이루어진다.

예 2c. 영역은 반지름 2의 원주인 D = {x² + y² ≤ 4}이다. 커버된 각도가 원 각도인 것이 분명하므로 φ은 0 ~ 2 π까지 차이가 나는 반면, 크라운 반경은 0 ~ 2 π(내부 반지름이 null인 크라운은 원일 뿐이다).

예 2d. 영역은 D = {x²² + y ≤ 9, x + y²² ≥ 4, y ≥ 0}이며, 이는 양의 y 반평면의 원형 크라운(예: 그림 참조)이며, φ은 2 ~ 3의 ρ을 달리하면서 평면 각도를 설명한다. 따라서 변환된 도메인은 다음과 같은 직사각형이 될 것이다.

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3, 0\\leq \varphi \leq \pi \}}$

그러한 변혁의 제이콥의 결정요인은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac(x,y)}{\reas (\rho ,\varphi )}}}={\no{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \cos \varphi \end{vmatrix}=\rho }}}}$

이는 respect에 대한 첫 번째 열과 to에 대한 두 번째 열에 x = cos cos((), y = sin sin(φ)의 부분파생물을 삽입하여 얻은 것이므로 이 변환에서 dx dy differentials는 become d d dφ가 된다.

함수를 변환하고 도메인을 평가하면 극좌표에서 변수 변경 공식을 정의할 수 있다.

$\d\d}f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{T}f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi.}$

φ은 [0, 2π] 간격에 유효하며, ρ은 길이의 척도인 ρ은 양의 값만 가질 수 있다.

예 2e. 함수는 f(x, y) = x이고 도메인은 예제 2d와 동일하다. 이전의 D 분석에서 우리는 ρ (2 ~ 3)과 0 (0 ~ π)의 간격을 안다. 이제 기능을 변경한다.

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho,\varphi )=\rho \cos \varphi.}$

마지막으로 통합 수식을 적용하십시오.

${\displaystyle \iint_{D}x\,dx\,dy=\iint_{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .}$

일단 간격을 알려지면

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

원통좌표

R에서는³ 원통형 좌표에 대한 통로로 원형 베이스가 있는 도메인을 통합할 수 있다. 기능의 변환은 다음과 같은 관계에 의해 이루어진다.

${\displaystyle f(x,y,z)\오른쪽 화살표 f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}$

영역 변환은 시작 영역의 모양을 따르는 반면, 높이는 기초의 형태만 다르기 때문에 그래픽으로 얻을 수 있다.

예시 3a. 영역은 D = {x² + y² ≤ 9, x + y²² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5}(기본은 예제 2d의 원형 크라운이고 높이는 5인 "튜브")이며, 변환을 적용하면 다음과 같이 얻는다.

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \rho \leq 3, 0\\leq \varphi \leq 2\pi,\ 0\leq z\leq 5\}}}$

(즉, 밑부분이 예제 2d의 사각형과 유사하고 높이가 5인 평행육면체).

변환하는 동안 z 성분이 비보연적이기 때문에 극좌표까지의 구절에 따라 dx dy dz 미분차가 달라진다. 따라서 ρ dρ dz가 된다.

마지막으로 원통형 좌표에 최종 공식을 적용할 수 있다.

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \varphi ,z)\rho \,d\rho \rho \,d.}$

원통형이나 원뿔형 도메인의 경우나 z 간격을 구분하기 쉽고 원형 베이스와 기능까지 변형하기 쉬운 지역에서도 이 방법이 편리하다.

예시 3b. 함수는 f(x, y, z) = x²² + y + z이며 통합 영역으로서 D = {x² + y² + 9, -5 ≤ z ≤ 5}. 원통형 좌표에서의 D 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \rho \leq 3, 0\leq \varpi \leq 2\pi,\ -5\leq z\leq 5\}}$

함수가 되는 동안에

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}$

마지막으로 통합 공식을 적용할 수 있다.

${\displaystyle \iint _{D}\왼쪽(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dx\,dz=\,dz=\{T}\lift(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \d\rho \d\rho \d\varphi \,d,vi \,dz;}$

당신이 가지고 있는 공식의 개발

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}$

구형좌표

R에서³ 일부 영역은 구형 대칭을 가지므로 통합 영역의 모든 점의 좌표를 2각 1 거리로 지정할 수 있다. 따라서 구형 좌표에 대한 통로를 사용할 수 있다. 기능은 다음과 같은 관계에 의해 변환된다.

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \coses \coses \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$

z축의 점들은 구형 좌표에서 정확한 특성화가 되지 않기 때문에 θ은 0~2π 사이에서 차이가 날 수 있다.

이 구절을 위한 더 나은 통합 영역은 구체다.

예 4a. 도메인은 D = x² + y² + z² ≤ 16(반경 4가 있고 중심은 원점에 있는 vSphere)이며, 변환을 적용하여 해당 지역을 얻음

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \rho \leq 4, 0\leq \varpi \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$

이러한 변혁의 제이콥의 결정요인은 다음과 같다.

${\displaystyle{\frac{\partial(x,y,z)}{(\rho,\theta ,\varphi)\partial}}={\begin{vmatrix}\cos\theta\sin \varphi&-\rho \sin\theta\sin \varphi&\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi&\rho \cos\theta\sin \varphi&\rho \sin\theta\cos\varphi \\\cos \varphi&0&,-\rho\sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho.^{2}\sin \varphi}$

따라서 dx dz 미분류는 differential sin²(φ) dρ dθ dφ로 변환된다.

이는 최종 통합 공식을 산출한다.

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

구면 영역의 경우, 그리고³ R까지 확장된 삼각측정의 첫 번째 기본적 관계에 의해 쉽게 단순화될 수 있는 기능의 경우 이 방법을 사용하는 것이 좋다(예 4b 참조). 다른 경우에는 원통형 좌표를 사용하는 것이 좋다(예 4c 참조).

${\displaystyle \iint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\d\d\varphi .}$

여분의 ρ과² 죄악 φ은 야코비안에게서 나온 것이다.

다음의 예에서 φ과 θ의 역할이 역전되었다.

예 4b. D는 사례 4a와 동일한 영역이며 f(x, y, z) = x + y + z는²² 통합할² 함수다. 이 제품의 변환은 매우 쉽다.

${\displaystyle f(\rho \sin \varphi \coses \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}}$

D에서 변환된 영역 T의 간격을 알고 있는 동안:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \rho \leq 4, 0\leq \varpi \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$

따라서 통합 공식을 적용한다.

${\displaystyle \iint _{D}\왼쪽(x^{2}+y^{2}+z^{2}\{2}\,dx\,dz=\\iint _,{T}\rho ^{2}\rho \sin \,d\rho \,d\rho \ta,d.$

그리고, 발전하고, 우리는

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.}$

예 4c. 도메인 D는 발원지와 반경 3a에 중심이 있는 공이다.

${\displaystyle D=\좌측\{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leq 9a^{2}\우측\}}}$

그리고 f(x, y, z) = x² + y는² 통합할 함수다.

도메인을 보면 구면 좌표에 대한 통로를 채택하는 것이 편리해 보이는데, 사실 새로운 T 영역을 구분하는 변수의 간격은 분명히 다음과 같다.

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi,\ 0\leq \theta \leq \leq \pi \}}$

하지만, 변환을 적용하면

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .}$

통합 공식 적용:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

반복된 적분으로 바꿔서 해결할 수 있어

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\th$$eta \,d\theta } _{$$Ⅱ}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{{}}$$III$

${\displaystyle I}$${\$$\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho$ ={\$frac$ {\$rho ^{5}}}\{5}}\$right\$vert _{0}^{3a}={\frac {243}}{5$

${\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^$${2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\왼쪽.$${\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\오른쪽 _{0}^{\pi }-\왼쪽.$$\cos \theta \right _{0}^{\pi }={\frac {4}{3$

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \phi }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaysty III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$ $\}.$

모든 부품을 수집하는 중,

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$.

또는 원통형 좌표에 대한 통로를 사용하여 이 문제를 해결할 수 있다. 새로운 T 간격은

${\displaystyle T=\좌측\{0\leq \leq 3a,\ 0\leq \varpi \leq \leq \pi ,\-{{9a^{2}-\rho^{2}}:\leq z\\\sqrt{9a^{2}-{2}}\rho };}$

z 간격은 단순히 D의 공식으로부터 불평등을 해결함으로써(그리고 나서 x + y를²² ρ으로² 직접 변형시킴으로써) 두 개의 반구로 나누어 얻은 것이다. 새로운 기능은 단순히 ρ이다². 통합 수식 적용

${\displaystyle \iint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

그러면 우리는 얻는다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{0}^{2\pi}d\varphi}}};=2\pi\int _{0}^{3}2\rho ^{3}{\sqrt{9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&, =-2\pi \int _{9a^{2}}^ᆹ(9a^{2}-t){\sqrt{t}}\,dt&, &, t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&, =2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{_{0}^{3}\rho ^{3}d\rho\int _{-{\sqrt{9a^{2}-\rho ^{2}^{\sqrt{9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz& \int.\sqrt{t}}-t{\sqrt{t}}\\\\&#2\pi \좌(\int _{0}^{9a^{2}}:9a^{2}}:00}{\sqrt{t-\}{0}^{9a^{}}}}{{9a^{2}}:t}\,dt\오른쪽)\\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{정렬}}}$

원통형 좌표로의 통로 덕분에 3중 적분을 보다 쉬운 1변수 적분으로 줄일 수 있었다.

원통형 및 구형 좌표에서 나블라의 차등 볼륨 항목도 참조하십시오.

예

직사각형 위에 이중 적분

A 영역에 대해 다변량 함수 f를 통합하고 싶다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle A=\왼쪽\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\\\ 11\leq x\leq 14\ ;\\\\\\\leq 10\right\}}{\mbox{\f(x,y)={2}+4y\,},},}$

이로부터 우리는 반복된 적분을 공식화한다.

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

내부 적분은 통합의 변수가 아니기 때문에 x에 대해 통합하고 y를 상수로 취하면서 먼저 수행된다. y에만 의존하는 함수인 이 적분(integral)의 결과는 y에 대해 통합된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

그리고 나서 우리는 y에 대한 결과를 통합한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

함수의 절대값의 이중 적분(double integrity)이 유한한 경우, 통합의 순서는 상호 교환이 가능하다. 즉, x 우선에 대해 통합하고 y 우선에 대해 통합하면 동일한 결과가 나온다. 그것이 후비니의 정리다. 예를 들어, 순서를 거꾸로 한 상태에서 이전 계산을 수행하면 동일한 결과가 나타난다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\빅 ]}_{x=11}^{x=14}\&=1719.\end{정렬}}}$

일반 도메인에 대한 이중 적분

지역을 고려하십시오(예의 그래픽 참조).

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R}^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}}$

계산하다

$\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

이 영역은 x축과 y축 모두에 대해 정상이다. 공식을 적용하려면 D를 결정하는 기능과 이러한 함수가 정의되는 간격을 찾아야 한다. 이 경우 두 가지 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle \property (x)=x^{2}{\text{ 및 }}\properties (x)=1}$

x = 0으로 함수의 교차점에 의해 간격이 주어지는 동안, 그 간격은 [a, b] = [0, 1]이다(시적 이해를 개선하기 위해 x축에 대해 정규성을 선택했다).

이제 다음 공식을 적용할 수 있다.

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(처음에는 x를 상수로 간주하여 두 번째 적분을 계산한다.) 나머지 운영은 통합의 기본 기법을 적용하는 것으로 구성된다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}$

y축에 대한 정규성을 선택하면 계산할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt{y}}(x+y)\,dx.}$

그리고 같은 가치를 얻는다.

볼륨 계산 중

앞에서 설명한 방법을 사용하여 일부 공통 고형물의 체적을 계산할 수 있다.

• 실린더: 높이 h와 반지름 R의 원형 베이스가 있는 실린더의 부피는 극좌표를 이용하여 원형 베이스 위에 상수 함수 h를 통합하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int_{0}^{R}h\rho \,d\rho = 2\pi h\left[{\frac {\2}}}\rig]_{0}=\PIR^{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 프리즘의 부피에 대한 공식과 일치한다.

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}\times {\text{height}}.}$

• 구체: 반지름 R이 있는 구의 부피는 구면 좌표를 이용하여 구면 위에 상수함수 1을 통합하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\text{볼륨}}&=\iiint _ᆫf(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&,=\iiint _{D}1\,dV\\&,=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi\,d\rho\,d\theta \,d\varphi \\&,=\int _{0}^{2\pi}\,d\theta\int _{0}^{\pi}\sin \varphi\int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\& \,d\varphi, =2\pi\int _{0}^{\pi}\sin \varphi\int _{0}^{R}\r \,d\varphi.ho ^{2}\,d\rho \\&, =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{정렬}}}$

• 사면체(삼각형 피라미드 또는 3-심플렉스): x축, y축, z축을 따라 길이의 원점과 가장자리에 정점이 있는 사면체의 부피는 사면체 위에 상수 함수 1을 통합하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\text{볼륨}}&=\int _{0}^{\ell}dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&,=\int _{0}^{\ell}dx\int _ᆴ^ᆵ(\ell -x-y)\,dy\\&, =\int _ᆶ^ᆷ\left(l^{2}-2\ell{2}-{\frac{(\ell -xx+x^)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&, =\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac{\ell ^{3}}{3}}-\left는 경우에는{\frac{\ell ^{2}x}{.2}}-{\frac{\ell x^{2}}:2}}:{{}}}+{x^{6}}\오른쪽]_{0}^{{0}}^{\ell }\\\\={3}-{3}-{\frac{3}}}}}{\frac{3}}}}}}}{3}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 피라미드의 부피에 대한 공식과 일치한다.

${\displaystyle \mathrm{Volume} ={\frac {1}{1}{3}\text{hight}}={\frac {1}{1}{3}}}}}{\frac {\1}{2}}}\time \ell ={\frac {\}}}{3}}}.}$

다중 부적합 적분

도메인의 경계 부근에 경계가 없는 무한 영역이나 함수의 경우, 이중 부적당 적분 또는 삼중 부적당 적분을 도입해야 한다.

여러 통합 및 반복 통합

푸비니의 정리에는 다음과^[4] 같이 되어 있다.

${\displaystyle \iint _{A\time B}\왼쪽 f(x,y)\오른쪽 \d(x,y)<\infitty ,}$

즉, 적분이 절대적으로 수렴되는 경우, 다중 적분은 두 개의 반복된 적분 중 하나와 동일한 결과를 제공한다.

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

특히 f(x, y)가 경계 함수이고 A와 B가 경계 집합인 경우 이러한 현상이 발생할 것이다.

적분이 절대적으로 수렴되지 않는 경우, 특히 두 개념에 대해 동일한 표기법을 사용하는 경우가 많기 때문에 복수 적분과 반복 적분의 개념을 혼동하지 않도록 주의가 필요하다. 표기법

${\displaystyle \int _{0}^{1}^{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

어떤 경우에는 진정한 이중 적분보다는 반복 적분을 의미한다. 반복된 적분에서 외부 적분

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

x의 다음 함수의 x에 관하여 필수적이다.

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.}$

반면에 이중 적분은 xy-plane의 영역에 대해 정의된다. 이중 적분이 존재한다면, 그것은 두 개의 결합 통합 각각("dy dx" 또는 "dx dy" 중 하나)과 같으며, 종종 결합 적분 중 하나를 계산하여 계산한다. 그러나 때로는 이중 적분자가 존재하지 않을 때 두 개의 반복적 통합이 존재하며, 어떤 경우에는 두 개의 반복적 통합이 서로 다른 숫자, 즉 한 개의 통합이 존재하기도 한다.

${\displaystyle \int \{0}^{1}{1}^{1}f(x,y)\\,dx\neq \int _{0}^{1}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

이것은 조건부 수렴 적분 재배치의 한 예다.

한편, 일부 조건은 이중 적분이 없어도 두 개의 반복된 통합이 동일하다는 것을 보장한다. 피히텐홀츠-리히텐슈타인 정리에 의해 f가 [0, 1] × [0, 1]에 경계되고 두 개의 반복된 통합이 모두 존재한다면, 그들은 동등하다. 더욱이 내부 통합의 존재는 외부 통합의 존재를 보장한다.^[6][7][8] 시에르피에스키에 따르면, 이중 적분은 르베그 적분으로도 이 경우 존재할 필요가 없다.^[9]

표기법

${\displaystyle \int _{[0,1]\f(x,y)\,dx\,dy}$

반복된 적분이 아닌 이중 적분을 원하는 경우 사용할 수 있다.

몇 가지 실제 응용 프로그램

일반적으로 한 변수에서와 마찬가지로, 주어진 집합에 걸쳐 함수의 평균을 찾기 위해 다중 적분을 사용할 수 있다. D에 대해 설정된 D ⊆ R과ⁿ 통합 가능한 함수 f가 주어진 경우, 해당 도메인에서 f의 평균 값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar{f}={\frac {1}{m(D)}}\int_{D}f(x)\,dx,}$

여기서 m(D)은 D의 척도다.

또한, 물리학의 많은 응용 분야에서는 다중 통합이 사용된다. 아래 예시들은 또한 표기법의 일부 변형을 보여준다.

역학에서 관성 모멘트는 축으로부터 거리의 제곱과 함께 가중되는 밀도의 부피 적분(삼중 적분)으로 계산된다.

${\displaystyle I_{z}=\iint _{V}\rho r^{2}\,dV.}$

3차원 유클리드 공간 R에서³ 질량 측정 dm에 의해 주어진 질량 분포와 관련된 중력 전위는^[10]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iint _{\mathbf {R}^3}{{3}}{\frac {G}{\mathbf {x} -\mathbf {y}}}}}}}}\,dmatc(\mathbf {y}).}$

x에서 분포의 밀도를 나타내는 연속 함수 ρ(x)가 존재하여 dm(x) = ρ(x)dx³, 여기서 dx는³ 유클리드 부피 원소인 경우 중력 전위는 다음과 같다.

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iint _{\mathbf {R}^3}{3}{\frac {G}{\mathbf {x} -\mathbf {y}}}}}}}}{\rho(\mathbf {y}\d^{3}\mathbf {y}).$

전자기학에서 맥스웰 방정식은 여러 통합체를 사용하여 총 자기장과 전기장을 계산할 수 있다.^[11] 다음 예에서 부피 전하 밀도 ρ(r→ )에 의해 주어진 전하 분포에 의해 생성된 전기장은 벡터 함수의 3중 적분에 의해 얻는다.

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\ {\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\ ^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.}$

이것은 또한 전하 분배를 나타내는 서명된 조치에 관하여 일체형으로 쓰여질 수 있다.

참고 항목

• 다중 통합과 관련된 주요 분석 이론:
  • 발산정리
  • 스토크스 정리
  • 그린 정리

참조

추가 읽기

• Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th ed.). ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
• 허먼, 에드윈 "제드" & 스트러트, 길버트(2016): 미적분 : 제3권 : 미국 휴스턴 라이스 대학교 오픈스택스. ISBN 978-1-50669-805-2 (PDF)

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". MathWorld.
• L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Mathical Assistant on Web 온라인 평가에서 Cartesian 좌표 및 극좌표 이중 통합(Maxima(소프트웨어) 기반 솔루션 중간 단계 포함)