단측한도

The function

f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),

where

\operatorname {sign} (x)

denotes the sign function, has a left limit of

-1,

a right limit of

+1,

and a function value of

{\display

x=0.

=

x=0.

{\displaystyle x=0

지점의

0

스타일

0

}.

}

미적분학에서 단측 한계는 $x$ $x$ 이(가) 왼쪽 또는 오른쪽에서 지정된 지점에 근접할 $x$ $x$ 때 실제 변수 $x$ $x$ 의 $f(x)$ 함수 $f(x)$ ) $f(x)$ 의 두 한계 중 하나를 가리킨다.^[1]^[2]

$x$ $x$ 이( $가$ ) ${\displaystyle a}($ x ${\displaystyle$ x $}$ 이 $x$ (가) $a$ "오른쪽에서"^{[citation needed]} 또는 "위에서"에 접근)에 근접할 때 한계는 $x$ 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]^[2]^[3]

\lim_{x\to a^{+f(x)\data\,\downarrow \,a}\,f(x)\downarrow {\cHB 또는 }\lim _{x\cHB\cH00\f(x)\text{} 또는 }}}\cH00\cH00\cHB(x(x(x+}}\cHB)

$x$ $x$ 이(가) ${\displaystyle a}($ $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 이 $x$ (가) $a$ "왼쪽에서"^{[citation needed]} 또는 "아래쪽에서"에 접근)에 $x$ 근접할 때 한계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]^[2]^[3]

\im_{x\to a^{-}f(x)\cHB\\cHB\\cHB\i1}{x\cHB\\i1}{x\iparrow \,a}\,f(x)\cHB\lim\cHB\cHB(x-})

$x$ $f(x)$ $x$ 인 f ( x $f(x)$ ) $f(x)$ 의 한도가 $a$ ${\displaystyle a$ }에 근접하면 $x$ 왼쪽과 오른쪽의 한계는 모두 존재하며 동일하다.^[3] 어떤 경우에는 한도가

\lim _{x\to a}f(x)

그럼에도 불구하고 두 가지 일방적인 한계는 존재하지 않는다. 따라서

x

x

이(가)

a

에

x

근접할 때 한계를 "양측 한계"^{[citation needed]}라고 부르기도

a

한다.

두 가지 단측 한계 중 정확히 한 가지가 존재하는 것이 가능하다(한쪽은 존재하지 않는다). 두 가지 일방적 한계 모두 존재하지 않는 것도 가능하다.

형식 정의

$I$ $I$ 이(가) f $f$ 의 도메인에 포함된 일부 간격을 나타내고 $I$ $f$ ${\displaystyle$ $a$ $}$ 이(가) I ${\$ $displaystyle I}$ 의 $I$ 에 도달하면 $a$ 오른쪽 측면 $I$ $x$ 가{\ $displaystyle$ a $}$ 에 접근하면 $x$ $R$ ${\\display$ } 값으로 엄격하게 정의될 수 있다 $a$ .다음을 $R$ 만족하는 $Le R}:$ ^[3]^[4]^{[verification needed]}

{\displaystyle {\text{all }\\barepsilon >0\;{\text{}}}}}{}x\in I,{\text{}\}\}\x}a\delta{\text{{}}\f(x)-R <\varepsilon ,}}}이(으)

그리고

x

{\

displaystyle x}

이(가)

{\displaystyle

a}에

x

근접할 때 왼쪽 한계는 다음을

L

하는 L

L

L

값으로 엄격하게 정의할 수 있다

a

.

{\displaystyle {\text{all }\\barepsilon >0\;{\text{}}}}{}x\in I,{\text{}\}\}\a-x\delta{\text{{}}\f(x)-L <\varepsilon.}}}이 있다.

예

예 1: $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ ( $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ x $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ ) $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ - $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ ${\$ 의 왼쪽과 오른쪽에서 x $x$ 이(가) $a:=0$ $a:=0$ $a:=0$ $a:0$ 에 $x$ 근접할 때의 $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ 한계는 다음과 $a:=0$ 같다.

\lim _{x\to 0^{-}-}{-1/x}=+\inflit \qquad {\text{ 및 }}\qquad \lim_{x\to 0^{+}{-1/x}=-\inft}}}

그 이유는 lim)→ 0− − 1/x-+∞{\displaystyle \lim_{0^{x\to-}}{-1/x}=+\infty}때문에){\displaystyle)}항상 부정적이라는 것이다(이후)→ 0−{\displaystylex\to 0^{-}}이 x x의 모든 가치와 같이<0{\disp을 만족시키{\displaystyle)}0{\displaystyle x\to 0}→을 의미한다.(에는은 lim)→ 0− − 1/x{\displaystyle \lim_{0^{x\to-}}{-1/x}}diverges[노트 1]니다{+\infty\displaystyle}(을 − ∞{\displaystyle -\infty})x{\displaystyle)}접근법 0{\displa로∞ − 1/){\displaystyle -1/x}항상 긍정적으로 있음을 암시한다.Ystyle x<0}),.ystyle 0} 왼쪽부터 마찬가지로, lim)→ 0+− 1/x)− ∞{\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty}부터 x의 모든 값)을을 만족시키{\displaystyle)};0{\displaystyle x>0}( 다르게,){\displaystyle x}항상 긍정적으로 있다고 말했다)로 x{\displaystyle)}접근법 0{0\displaystyle}은 r.에서ight, 즉 -

-1/x

/ x

-1/x

이(가) 항상 음수이므로

-1/x

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

→ 0

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

+

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

- 1

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

/

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

{\

0

^{+}}{-1/x}}}}

이

\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}

(가) - to

-\infty .

{\displaystysty

-

\}

로 전환됨을 의미한다

.

함수

1/(1+2^{-1/x}).

+ 2 -

1/(1+2^{-1/x}).

/

1/(1+2^{-1/x}).

)

1/(1+2^{-1/x}).

{\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).

}

Example 2: One example of a function with different one-sided limits is $f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},$ (cf. picture) where the limit from the left is $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0$ and the limit from the right is $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ ( $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ ) $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ = 1 $\lim _{x\to 0^{+}f(x)=1.$ 이러한 한계를 계산하려면 $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ 먼저 다음 사항을 표시하십시오.

\lim _{x\to 0^{-2}}^{-1/x}=\inful \qquad{\text{\} 및 }}\qquad \lim_{x\to 0^{+}2}}^{-1/x}=0

(

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

→

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

-

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

/ x

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

=

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

임

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

→

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

+

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

-

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

/

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

= -

displaystyle \lim \{x\to

0

^{-}}}=+1/x}=+\lim _{x\text}{+/x

}={-}}}}}{-1/

x}=\ft

\lim_{x\to 0^{+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+2^{x}}}={x\frac {1}{1+0}=1

whereas

\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0

because the denominator diverges to infinity; that is, because

\lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .

Since

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

+

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

(

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

)

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

,

{\displaystyle \lim_{x\to

0

^-}f(x)\neq \lim_{x\to

0

^{+}f(x),}

한계

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),

\lim _{x\to 0}f(x)

→

\lim _{x\to 0}f(x)

f

\lim _{x\to 0}f(x)

(

\lim _{x\to 0}f(x)

\lim _{x\to 0}f(x)

{\displaystystyle \lim \{x\to}f

(x

)}

f(

x)

가 존재하지

\lim _{x\to 0}f(x)

않는다.

한계의 위상학적 정의와의 관계

{p\displaystyle}제한의 일반적인 정의에 해당하는 점 p기능이 한쪽으로는 위상 공간의 기능이 도메인은 하위 집합, 또는, p.{\displaystyle 페이지의 주}[1][검증 필요한]을 포함한 일방적인 부분 공간을 고려하여 허용함으로써 제한의 도메인으로 그 일방적인 한계. 또는, 이유도 c반쯤 열린 간격 토폴로지를 사용하여 도메인 내부자.^{[citation needed]}

아벨 정리

정합화 간격의 경계에서 특정 권력 계열의 일방적 한계를 다루는 주목할 만한 정리가 아벨의 정리다.^{[citation needed]}

메모들

^ $\infty$ $\infit$ 에 해당하는 한계는 $\infty .$ 에 수렴하지 $\infty$ 않고 $\infty$ $\infit$ 로 전환한다고 한다 $\infty$ $\infty .$ $\inft.$ 한계가 - $-\infty .$ ${\displaystysty$ - $\inft.}$ 과 같을 때 이와 $\infty .$ 같다.

참조

^ ^a ^b ^c ^d "One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 7 August 2021.
^ ^a ^b ^c Fridy, J. A. (24 January 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus. Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Retrieved 7 August 2021.
^ ^a ^b ^c ^d "one-sided limit". planetmath.org. 22 March 2013. Archived from the original on 26 January 2021. Retrieved 7 August 2021.
^ Giv, Hossein Hosseini (28 September 2016). Mathematical Analysis and Its Inherent Nature. American Mathematical Soc. p. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Retrieved 7 August 2021.

참고 항목

[5] $\infty$ $\infit$ 에 해당하는 한계는 $\infty .$ 에 수렴하지 $\infty$ 않고 $\infty$ $\infit$ 로 전환한다고 한다 $\infty$ $\infty .$ $\inft.$ 한계가 - $-\infty .$ ${\displaystysty$ - $\inft.}$ 과 같을 때 이와 $\infty .$ 같다.

[:0-1] "One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 7 August 2021.

[:1-2] Fridy, J. A. (24 January 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus. Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Retrieved 7 August 2021.

[:2-3] "one-sided limit". planetmath.org. 22 March 2013. Archived from the original on 26 January 2021. Retrieved 7 August 2021.

[4] Giv, Hossein Hosseini (28 September 2016). Mathematical Analysis and Its Inherent Nature. American Mathematical Soc. p. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Retrieved 7 August 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
목록	차별화 규칙 지수함수의 통합 목록 쌍곡선 함수의 통합 목록 역 쌍곡선 함수의 통합 목록 역삼각계 함수의 통합 목록 비합리적인 기능의 통합 목록 로그 함수의 통합 목록 합리적인 기능의 통합 목록 삼각함수의 통합 목록 세컨트 큐방트 한계 목록 통합 목록
기타 항목	미분 기하학 곡면성 곡선의 표면의 오일러-마클라우린 공식 가브리엘 혼 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 스타인메츠 고체

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