앨런 분산

2-표본 분산이라고도 하는 앨런 분산(AVAR)은 클럭, 오실레이터 및 증폭기의 주파수 안정성을 측정한 것이다. 데이비드 W. 앨런의 이름을 따서 명명되었으며 수학적으로 ${\displaystyle {}_{}^{}}$y 2 (${\displaystyle \tau }$ )$${\$displaystyle \sigma _${y$}^{$y}^{2$}(\tau )}$로 표현되었다$.$ 시그마타우(Sigma-tau)라고도 하는 앨런 편차(${\displaystyle \mathrm{ADEV}}$)는 앨런 분산($Alan{\displaystyle {}_{}}$ 분산)의 제곱근, rooty( ${\displaystyle y_{}}$) ${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$이다$.$

M-표본 분산은 M 표본을 사용한 주파수 안정성의 척도로, 측정과 관측 시간 사이의 시간 T $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ M-표본 분산은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau).}$

앨런 분산은 소음 공정에 의한 안정성을 추정하기 위한 것이며, 주파수 표류나 온도 영향과 같은 체계적 오류나 불완전성이 아니다. 앨런 분산과 앨런 편차는 주파수 안정성을 설명한다. 아래 값 해석 섹션을 참조하십시오.

또한 앨런 분산에 대한 다른 적응이나 변경이 있는데, 특히 수정된 앨런 분산 MAVAR 또는 MVAR, 총 분산, 하다마드 분산 등이 있다. 또한 시간 편차(TDEV) 또는 시간 분산(TVAR)과 같은 시간 안정성 변형도 존재한다. 앨런 분산과 그 변형은 시간 기록 범위를 벗어나 유용하다는 것이 입증되었으며 소음 프로세스가 무조건적으로 안정적이지 않을 때마다 사용할 수 있는 개선된 통계 도구 집합이므로 파생상품이 존재한다.

일반 M-표본 분산은 측정에서 사망 시간을 허용하고 치우침 함수는 알란 분산 값으로 변환할 수 있기 때문에 중요한 것으로 남아 있다. 그럼에도 불구하고 대부분의 애플리케이션의 경우 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T=\tau }$의 2-표본 또는 "Allan differation"의 특별한 경우가 가장 큰 관심사다$$.

배경

크리스탈 오실레이터와 원자시계의 안정성을 조사했을 때, 백색 잡음만이 아니라 플리커 주파수 잡음으로도 구성된 위상 잡음이 있는 것으로 밝혀졌다. 이러한 소음 형태는 추정기가 수렴하지 않기 때문에 표준 편차와 같은 전통적인 통계 도구의 과제가 된다. 따라서 소음은 서로 다르다고 한다. 안정성을 분석하기 위한 초기 노력에는 이론적 분석과 실제 측정이 모두 포함되었다.^[1][2]

이러한 유형의 소음이 발생하는 중요한 부작용은 다양한 측정 방법이 서로 일치하지 않기 때문에 측정의 반복성의 핵심 측면을 달성할 수 없다는 것이다. 이것은 공급자에게 요구하기 위해 출처를 비교하고 의미 있는 규격을 만들 수 있는 가능성을 제한한다. 기본적으로 모든 형태의 과학 및 상업적 용도는 전용 측정으로 제한되었고, 이는 해당 응용 프로그램의 필요성을 포착할 수 있을 것이다.

이러한 문제를 해결하기 위해 데이비드 앨런은 M-표본 분산과 (간접적으로) 2-표본 분산을 도입했다.^[3] 2-표본 분산은 모든 유형의 노이즈를 완전히 구별할 수 있는 것은 아니지만, 두 개 이상의 오실레이터 사이에 위상 또는 주파수 측정의 시계열에 대한 많은 노이즈를 의미 있게 분리할 수 있는 수단을 제공했다. 앨런은 공통 2-표본 분산을 통해 모든 M-표본 분산을 N-표본 분산으로 변환하는 방법을 제공함으로써 모든 M-표본 분산을 비교 가능하게 했다. 변환 메커니즘은 또한 큰 M에 대해 M-표본 분산이 수렴되지 않기 때문에 유용성이 떨어진다는 것을 증명했다. IEEE는 나중에 2-표본 분산을 선호 측정치로 식별했다.^[4]

초기 우려 사항은 측정 사이에 데드 타임이 있는 시간 및 주파수 측정 기기와 관련이 있었다. 그러한 일련의 측정은 신호에 대한 연속적인 관찰을 형성하지 못했으며 따라서 측정에는 체계적인 치우침이 도입되었다. 이러한 편견을 추정하는데 많은 주의를 기울였다. 제로 데드타임 카운터의 도입으로 필요성은 없어졌지만, 편향 분석 도구는 유용하다는 것이 입증되었다.

또 다른 초기 우려 사항은 계측기의 대역폭이 측정에 어떤 영향을 미칠 것인지에 관한 것으로, 이에 유의할 필요가 있었다. 이후 알고리즘적으로 관측치 ${\displaystyle \tau }$을$($를) 변경하면 낮은 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ 값만$$ 영향을 받는 반면 높은 값은 영향을 받지 않는다는 사실이 밝혀졌다. $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 변경은 측정 타임베이스 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$이(가) 되도록 함으로써 이루어진다$$$.$

$\displaystyle \tau =n\tau _{0}.}$

크리스탈 오실레이터의 물리학은 D. B. 리슨이 분석하였으며,^[2] 그 결과를 이제 리슨의 방정식이라고 한다. 오실레이터의 피드백은 피드백 증폭기와 결정의 백색 노이즈와 플리커 노이즈를 $각각{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 2 ${\$ f$^{-2}}$개의$$ 백색 주파수 노이즈와 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$ ${\$ f$^{-3}$ 플리커$$ 주파수 노이즈로 만든다. 이러한 소음 형태는 시간 오류 표본을 처리할 때 표준 분산 추정기가 수렴되지 않는 효과를 갖는다. 피드백 오실레이터의 이 역학은 오실레이터 안정성에 관한 작업이 시작되었을 때 알려지지 않았지만, 통계 도구 세트가 David W. Allan에 의해 사용 가능하게 된 것과 동시에 Leeson에 의해 제시되었다. 리슨 효과에 대한 보다 철저한 프레젠테이션은 현대적 단계별 노이즈 문헌을 참조하십시오.^[5]

가치 해석

앨런 분산은 샘플링 기간 동안 샘플링된 주파수 편차의 연속적인 판독값 간의 차이에 대한 제곱 시간 평균의 1/2로 정의된다. 앨런 분산은 표본들 사이에 사용된 기간에 따라 달라지기 때문에, 일반적으로 측정되는 분포와 마찬가지로 τ으로 표기되는 표본 기간의 함수로서, 단일 숫자가 아닌 그래프로 표시된다. 낮은 앨런 분산은 측정 기간 동안 안정성이 좋은 시계의 특징이다.

앨런 편차는 플롯(컨벤션적으로 로그-로그 형식으로 표시)과 숫자의 표시에 널리 사용된다. 상대 진폭 안정성을 제공하므로 다른 오류 발생원과의 비교가 용이하기 때문에 선호된다.

관측 시간 1초에서 1.3×10의⁻⁹ 앨런 편차(즉, τ = 1초)는 상대적 루트 평균 제곱(RMS) 값이 1.3×10인⁻⁹ 상태에서 1초 간격으로 두 관측치 사이에 주파수 불안정성이 있는 것으로 해석해야 한다. 10MHz 클럭의 경우 이는 13mHz RMS 이동과 동일하다. 오실레이터의 위상 안정성이 필요한 경우 시간 편차 변형을 참조하고 사용해야 한다.

하나는 앨런 분산과 다른 시간 영역 분산을 시간(위상) 및 주파수 안정성의 주파수 영역 측도로 변환할 수 있다.^[6]

정의들

M-표본 분산

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ -샘플$$ 분산은 다음과 같이 정의된다^[3](여기서는 현대화된 표기법 형식으로).

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {1}{M-1}}\left\{\sum _{i=0}^{M-1}\left[{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _{i=0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}\right\},}$

여기서 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$은 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$또는 평균 부분 주파수 시계열에서 측정된 클럭 판독(초 단위)이다$$.

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {1}{M-1}}\left\{\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right\},}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 분산에 사용되는 주파수 샘플의 수입니다. $T{\displaystyle }${\$displaystyle$T}은 각 주파수 샘플 간의 시간이며$$, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$은 각 주파수 추정치의 시간 길이입니다.

중요한 측면은 $시간{\displaystyle }$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$과(와) 다르게$$ 하여 M ${\displaystyle$ T$}$ -샘플$$ 분산 모델에 데드 타임을 포함할 수 있다는 점이다$.$

앨런 분산

앨런 분산은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \chostma _{y}^{2}(\tau )=\langle \langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau,\tau )\angle ,}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$… ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$은 기대 연산자를 의미한다$$. 이것은 다음과 같이 편리하게 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\langle ({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n})^{2}\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\langle (x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n})^{2}\rangle ,}$

여기서 ${\$$displaystyle \tau$$}$은(는) 관측 기간이고 $y{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$$n{\displaystyle }$${\$은 관측 시간 동안의 n번째 소수점 주파수 평균이다$.$

샘플은 데드 타임 없이 채취되며, 이 샘플은 데드 타임 없이 채취된다.

$T=\tau.}$

알란 편차

표준 편차 및 분산과 마찬가지로 앨런 편차는 앨런 분산의 제곱근으로 정의된다.

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\y}^{2}(\tau )}}.}$

지원 정의

오실레이터 모델

분석 중인 발진기는 다음의 기본 모델을 따르는 것으로 가정한다.

$V(t)=V_{0}\sin(\Phi(t)).}$

오실레이터의 공칭 주파수는 초당 사이클(SI 단위: 헤르츠)이 주어진$$${\displaystyle {\nu n}_{}}$ ${\$인 것으로 가정한다. 공칭 각도 주파수 ${\displaystyle {\Omega n}_{}}$ ${\$초당 라디안 단위)는 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle \omega _{\text{n}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

전체 위상은 변동성 성분 $\Omega n{\displaystyle }$t${\displaystyle }${\$displaystyle \omega_{\text${n$}t$와 함께 완벽하게 순환성분 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle t}$ $){\displaysty \varphi (t)}$로 분리할 수 있다$.$

${\displaystyle \Phi(t)=\omega _{\text{n}t+\varphi(t)=2\pi \nu _{\text{n}t+\varphi(t).}$

시간 오류

시간 오류 함수 x(t)는 예상 공칭 시간과 실제 정규 시간 간의 차이:

${\displaystyle x(t)={\frac {\barphi(t)}{2\pi \nu _{\text{n}}={\frac {\pi \nu _{\text{n}-t.}$

측정된 값의 경우 시간 오류 영상 시리즈 TE(t)는 기준 시간 함수 T_REF(t)에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{REF}(t).}$

주파수 함수

주파수 함수 $\nu {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \nu (t)}$은 시간 경과에 따른 주파수로서$$ 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \nu(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi(t)}{dt}}.}$

분수 주파수

부분 주파수 y(t)는 주파수 $frequency{\displaystyle (t}$) ${\displaystyle \nu(t)}$과(와) 공칭 주파수 ${\displaystyle {\nu n}_{}}$ ${\$ 사이의 정규화된 차이다.

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu(t)-\nu _{\text{n}}{\nu _{\text{n}}}={\frac {\nu(t)}{\nu _{\text}-1}-1.}$

평균 분수 주파수

평균 분수 주파수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\bar {{y}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }\int \{0}^{\tau }}y(t+t_{v})\,dt_{v}}}}}$

여기서 평균을 관측 시간 τ에 대해 취하면 y(t)는 시간 t에서 부분 빈도 오차가 되고, time은 관측 시간 τ은 관측 시간이다.

y(t)는 x(t)의 파생어이므로, 일반성의 손실 없이 x(t)로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\bar}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau)-x(t)}{\tau }}.}$

추정기

이 정의는 통계적 기대치에 기초하여 무한한 시간에 걸쳐 통합한다. 실제 상황은 그러한 시계열을 허용하지 않으며, 이 경우 통계 추정기를 그 자리에 사용할 필요가 있다. 많은 다른 추정기들이 제시되고 논의될 것이다.

관습

• 부분 주파수 계열의 주파수 샘플 수는 M으로 표시된다.
• 시간 오류 시리즈의 시간 오류 샘플 수는 N으로 표시된다.

부분주파수 검체 수와 시간 오류 영상 시리즈 간의 관계는 관계에서 고정된다.

${\displaystyle N=M+1.}$

• 시간 오류 검체 시리즈의 경우_i x는 연속 시간 함수 x(t)의 i번째 검체를 나타낸다.

${\displaystyle x_{i}=x(iT),}$

여기서 T는 측정 사이의 시간이다. 앨런 분산의 경우 사용되는 시간은 관측 시간 τ으로 T가 설정된다.

시간 오류 검체 영상 시리즈를 통해 N은 영상 시리즈에 있는₀ 검체 수(x...x_N−1)를 나타낸다. 전통적인 관습은 지수 1부터 N까지를 사용한다.

• 평균 분수-주파수 샘플 시리즈의 경우 $y{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ "$"{\${\$bar {y}_{i}}}$은(는) 주어진 평균 연속 분수-주파수 함수 y(t)의 ih 샘플을 나타낸다$$.

${\displaystyle {\bar {y}_{i}={\bar {y}(Ti,\tau ),}$

어떤 것을 주는지

${\displaystyle {\bar}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }y(iT+t_{v})\,dt_{v}={\frac {x(iT){\tau}}}}}}.}$

알란 분산 가정 T의 경우 T는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\bar}_{i}={\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\tau }}.}$

평균 분수-주파수 샘플 시리즈를 통해 M은 시리즈 내 샘플 수(${\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}0}_{\mathrm{}}}$… y${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}_{\mathrm{m}}}$- 1 ${\$를 나타낼 수 있다. 전통적인 관습은 지수 1부터 M까지를 사용한다.

속기로서, 평균 분수 빈도는 종종 평균 막대 없이 쓰여진다. 그러나 이는 부분 주파수와 평균 부분 주파수가 서로 다른 두 가지 기능이기 때문에 공식적으로 부정확하다. 데드타임 없이 주파수 추정치를 산출할 수 있는 측정기기는 실제로 주파수 평균 시계열을 전달하는데, 이 시계열은 평균 부분 주파수로만 변환하면 되고 그 다음 직접 사용할 수 있다.

• 또한 τ에 인접 위상 또는 주파수 샘플 간의 공칭 시간 차이를 나타내도록 하는 것이 관례다. 1회의 시차 τ에₀ 대해 취한 시계열은 τ의₀ 정수배수인 임의의 for에 대해 알란 분산을 생성하는 데 사용할 수 있으며, 이 경우 τ = nτ가₀ 사용되고 있으며, n은 추정기의 변수가 된다.
• 측정 사이의 시간은 관측 시간 τ과 데드타임의 합인 T로 나타낸다.

고정 τ 추정기

첫 번째 단순 추정기는 정의를 직접 다음과 같이 해석하는 것이다.

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)={\text{AVAR}}(\tau,M)={\frac {1}{2(M-1)}}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}_{i+1}-{y}-{y}}^{2},}, {n2},}$

또는 시계열의 경우:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)={\text{AVAR}}(\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+1}+{i}^{2}}}}}}}}}$

그러나 이러한 공식은 τ = τ₀ 케이스에 대한 계산만을 제공한다. τ의 다른 값을 계산하려면 새로운 시계열이 제공되어야 한다.

겹치지 않은 변수 τ 추정기

시계열을 취하여 n - 1 표본을 건너뛰면 τ과₀ 함께 새로운 (더 빠른) 시계열이 발생하며, 이 시간 동안 단순한 추정기로 앨런 분산을 계산할 수 있다. 이러한 변수들은 새로운 시계열이 생성되지 않아도 되도록 새로운 변수 n을 도입하기 위해 수정될 수 있지만, 오히려 원래의 시계열은 n의 다양한 값에 재사용될 수 있다. 추정자는 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0}M)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{\frac {M-1}{n1}{\bar{ni+n}-{y}-}}^{2}}:}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle M}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\leq M-1$

및 시계열의 경우:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0}N)={\text{\text}AVAR}}(n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}({\frac {N-1}{n}}-1)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni})^{2}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle N\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2 ${\$.

이러한 추정기는 사용 가능한 샘플의 1/n만 사용되기 때문에 상당한 양의 샘플 데이터를 떨어뜨린다는 점에서 상당한 단점이 있다.

겹친 변수 estim 추정기

J. J. Snyder가^[7] 제시한 기법은 원래 시리즈 중 n개 시리즈로 중복 측정하여 개선된 도구를 제공하였다. 겹치는 알란 분산 추정기는 하우, 알란, 반스가 도입했다.^[8] 이는 처리 전 n개 샘플의 블록에서 시간 또는 정규화된 주파수 샘플을 평균화하는 것과 동등하다고 보여질 수 있다. 결과 예측 변수가

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0}M)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},}$

또는 시계열의 경우:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0}N)={\text{\text}AVAR}}(n\tau _{0}N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{0}{2}(N-2n)}}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-{i+n}}+x_{i^{i^{i^}}}}}}}}}}}{i^{i^{i^{i^{i^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

겹치는 추정기는 n이 상승하고 시계열은 중간 길이여서 겹치지 않는 추정기에 비해 성능이 월등히 우수하다. 중복된 추정기는 전기통신 적격성 검증에 필요한 등 비교 가능한 측정을 위해 IEEE,^[4] ITU-T^[9], ETSI^[10] 표준에서 선호하는 알란 분산 추정기로 인정되었다.

수정된 앨런 분산

기존 앨런 분산 추정기를 사용하여 백상 변조와 플리커 위상 변조를 분리할 수 없는 문제를 해결하기 위해 알고리즘 필터링은 대역폭을 n만큼 감소시킨다. 이 필터링은 정의와 추정기에 수정을 제공하며, 이제 수정된 앨런 분산이라고 하는 별도의 분류의 분산으로 식별된다. 수정된 앨런 분산 측정치는 앨런 분산과 마찬가지로 주파수 안정성 측정이다.

시간 안정성 추정기

흔히 시간편차(TDEV)라고 하는 시간안정성(시간안정성_x) 통계적 척도는 수정된 알란편차(MDEV)에서 계산할 수 있다. TDEV는 원래 알란 편차 대신 MDEV를 기반으로 한다. 왜냐하면, MDEV는 흰색과 깜박임 위상 변조(PM)를 구별할 수 있기 때문이다. 다음은 수정된 알란 분산을 바탕으로 한 시간 분산 추정이다.

${\displaystyle \chostma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\\\tau ^{2}}:{3}{\bmod{\}}}}}}{y}^{2}(\tau ),}$

시간 편차에 대한 수정된 앨런 편차의 경우:

${\displaystyle \x}(\tau )={\frac {\tau}{\sqrt{3}{\bmod{\mod}}}}{\y}(\tau).}$

TDEV는 시간 상수 τ = τ에₀ 대한 화이트 PM의 고전적 편차와 같도록 정규화된다. 통계적 조치 사이의 정규화 척도계수를 이해하기 위해 관련 통계 규칙은 다음과 같다. 독립 랜덤 변수 X와 Y의 경우, 합 또는 차이(z = x - y)의 분산(분산_z²)은 분산(분산_z²_x² = σ_y² + of)의 합 제곱이다. 랜덤 변수의 두 독립 표본의 합계 또는 차이(y = x_2τ - x_τ)의 분산은 랜덤 변수(단위_y² = 2σ_x²)의 두 배다. MDEV는 독립 위상 측정(x_x²)의 두 번째 차이로서 분산( ()이 있다. 계산은 3개의 독립 위상 측정값(x_2τ - 2x_τ + x)이 필요한 이중 차이이므로 수정된 앨런 분산(MVAR)은 위상 측정값의 3배 분산이 된다.

기타 추정기

추가 개발로 동일한 안정성 측정값, 빈도의 분산/편차에 대해 개선된 추정 방법이 생성되었지만, 이러한 방법은 Hadamard 분산, 수정된 Hadamard 분산, 총 분산, 수정된 총 분산 및 Teo 분산과 같은 별개의 이름으로 알려져 있다. 이들은 신뢰 한계 개선 또는 선형 주파수 표류를 처리할 수 있는 능력에 대한 통계의 더 나은 사용에서 자신들을 구별한다.

신뢰 구간 및 등가 자유도

통계적 추정기는 사용된 샘플 시리즈에 대한 추정 값을 계산한다. 추정치는 참 값에서 벗어날 수 있으며, 일부 확률에 대해 참 값을 포함하는 값의 범위를 신뢰 구간이라고 한다. 신뢰 구간은 표본 시리즈의 관측치 수, 지배적 노이즈 유형 및 사용 중인 추정기에 따라 달라진다. 또한 너비는 신뢰 구간 값이 경계 범위를 형성하는 통계적 확실성, 즉 참 값이 해당 값 범위 내에 있다는 통계적 확실성에 따라 달라진다. 가변 형상 추정기의 경우 τ₀ 다중 n도 변수다.

신뢰구간

신뢰 구간은 표본 분산 분포를 사용하여 카이-제곱 분포를 사용하여 설정할 수 있다.^[4][8]

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}\,s^{2}}:}$

여기서 s는² 추정치의 표본 분산이고, σ은² 실제 분산 값이며, df는 추정자의 자유도, χ은² 특정 확률에 대한 자유도다. 90% 확률의 경우, 확률 곡선의 5% ~ 95% 범위를 포괄하는 상한과 하한은 불평등을 이용하여 찾을 수 있다.

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}\,s^{2}}:{\lechma ^{2}}:}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

진정한 분산을 위해 재배열한 후에

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\s^{2}}:{\chi ^{2}(0.95)}\leq ^{2}\leck {{\flac {{\text{df}\,s^{2}}:{\chi ^{2}(0.05)}}}}}}}.}$

유효자유도

자유도는 추정에 기여할 수 있는 자유 변수의 수를 나타낸다. 추정기와 소음 유형에 따라 유효 자유도가 달라진다. N 및 n에 따른 추정기 공식은 경험적으로 다음과 같이 발견되었다.^[8]

앨런 분산 자유도

노이즈유형	자유도
백상 변조(WPM)	${\displaystyle {\df}\cong {\frac {(N+1)(N-2n)}{2(N-n)}}}$
깜박임 위상 변조(FPM)	${\displaystyle {\df}\cong \exp \left[\ln(\frac {n-1}{2n+1)\ln({4n+1)}{4}}^{-1/2}}\오른쪽]}}$
흰색 주파수 변조(WFM)	${\displaystyle {\df}\cong \left[{\frac {3(N-1)}{2n}{{N-}}{{N-2)}{{4n^{4n^{2}+5}}}}}{\frac {4n^{4n^{2}+5}}}}}}}}}}}}}}$
플리커 주파수 변조(FFM)	${\displaystyle {\df}\cong {\begin{case}{\frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}}{}&n=1\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}}&n\geq 2\end{case}}$
RWFM(Random-Walk Frequency 변조)	${\displaystyle {\df}\cong {\frac{N-2}{n}{n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{{(N-3)^{2}}:}$

파워 로 노이즈

앨런 분산은 다양한 멱함수 소음 유형을 다르게 취급하여 식별하고 강도를 추정할 수 있도록 편의를 제공할 것이다. 일반적으로 측정 시스템 폭(높은 코너 주파수)은 f로_H 표시된다.

앨런 분산 멱-법률 반응

멱함수 노이즈	위상 노이즈 기울기	주파수 노이즈 기울기	동력계수	위상 노이즈 ${\displaystyle S_{x}(f)}$	앨런 분산 ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )}$	알란 편차 ${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$
백상 변조(WPM)	${\displaystyle f^{0}=1}$	${\displaystyle f^{2}}$	${\displaystyle h_{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{{{{2}}:h_{2}}:$	${\displaystyle {\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}h_{2}}:$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3f_{H}}{2\pi \tau }}{\sqrt{h_{2}}:$
깜박임 위상 변조(FPM)	${\displaystyle f^{-1}$	${\displaystyle f^{1}=f}$	${\displaystyle h_{1}.$	${\displaystyle {\frac {1}{{{{{{2}pi )^{{2}f_{1}}$	${\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}h_{1}:{1}:{1}$	${\displaystyle{\frac{\sqrt{3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln2}}:{2\pi \tau}}}{\sqrt{h_{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
흰색 주파수 변조(WFM)	${\displaystyle f^{-2}}$	${\displaystyle f^{0}=1}$	${\displaystyle h_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{{{1}{(\pi )^{2}f^{2}}:h_{0}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\tau }}h_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\tau }}{\sqrt {h_{0}}}}}}}$
플리커 주파수 변조(FFM)	${\displaystyle f^{-3}}$	${\displaystyle f^{-1}$	${\displaystyle h_{-1}$	${\displaystyle {\frac {1}{{{{{1}{(2\pi )^{2}f^{3}}h_{-1}$	${\displaystyle 2\ln(2)h_{-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2\ln(2)}{\sqrt {h_{-1}}}}{\sqrt {h_{-1}}}}}}$
무작위 보행 주파수 변조(RWFM)	${\displaystyle f^{-4}}$	${\displaystyle f^{-2}}$	${\displaystyle h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{{{{2}f^{4}}h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}\tau }{3}h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {\pi {\sqrt {2\tau }}{\sqrt {3}{\sqrt {h_{-2}}:{\sqrt {}}$

현대적인 형태에서^[11][12] 발견되는 것.^[13][14]

앨런 분산은 WPM과 FPM을 구별할 수 없지만 다른 파워 로 소음 유형을 해결할 수 있다. WPM과 FPM을 구별하기 위해서는 수정된 앨런 분산을 사용할 필요가 있다.

위의 공식은 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle \tau \gg {1}{2\pi f_{{H}},}$

따라서 관측 시간의 대역폭은 계측기 대역폭보다 훨씬 낮다. 이 조건이 충족되지 않으면 모든 소음 형태는 계측기의 대역폭에 따라 달라진다.

α–μ 지도

폼의 위상 변조의 상세 매핑

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}:h_{{2}}:h_{\nalpha ^{2}}={\frac {1}{4\pi ^{2}}:h_{\f^{\beta }}}}}}}}}}}}$

어디에

$[\displaystyle \displaystyle \equiv \equiv$

또는 형식의 주파수 변조

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\\alpha }f^{\alpha }}}}}$

그 형태의 알란 분산으로.

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\\alpha }h_{\alpha }}\tau ^{\mu }}}}}}}}}}}}}}}}"$

α와 μ 사이의 매핑을 제공함으로써 상당히 단순화할 수 있다. α와 K 사이의_α 매핑도 편의를 위해 제시한다.^[4]

앨런 분산 α–μ 지도

α	β	μ	Kα
−2	−4	1	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{3}}$
−1	−3	0	$2LN 2}$
0	−2	−1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}:}$
1	−1	−2	${\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}:$
2	0	−2	${\displaystyle {\frac {3f_{H}{4\pi ^{2}}:$

위상 노이즈로부터의 일반 전환

스펙트럼상 노이즈 S ${\$이(가) 있는 신호는 다음과 같이 단위^[14] rad²/Hz로$$ Allan Differation으로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \f^{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{{0}^{0}}}}}\int _{0}^{f_{b}}}}}}S_{\\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{{2}}}\,df.}$

선형반응

앨런 분산은 소음 형태를 구별하기 위해 사용되지만, 시간에 대한 모든 선형 반응에 의존하지는 않는다. 다음 표에 제시되어 있다.

앨런 분산 선형 반응

선형효과	시간 반응	주파수 응답	앨런 분산	알란 편차
위상 오프셋	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
주파수 오프셋	${\displaystyle y_{0}t}$	${\displaystyle y_{0}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
선형 표류	${\displaystyle {\frac {Dt^{2}}:{2}}:}$	$(\displaystyle Dt}$	${\displaystyle {\frac {D^{2}\tau ^{2}}:}$	${\displaystyle {\frac {D\tau}{\sqrt{2}}:$

따라서 선형 드리프트는 출력 결과에 기여할 것이다. 실제 시스템을 측정할 때, 선형 드리프트 또는 기타 드리프트 메커니즘을 추정하여 앨런 분산을 계산하기 전에 시계열에서 제거해야 할 수 있다.^[13]

시간 및 빈도 필터 속성

앨런 분산 및 친구 특성을 분석하는 데 있어 정규화 빈도에 대한 필터 특성을 고려하는 것이 유용하다는 것이 입증되었다. 다음에 대한 앨런 분산 정의부터 시작

${\displaystyle \i1}^{{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{1}2}}\langle({\bar {{y}_{i+1}-{\bar{y}}^{2}\angle ,}$

어디에

${\displaystyle {\bar}_{i}={\frac {1}{\tau }\int \{0}^{0}^{\tau +t)\,dt.}$

$y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 시계열을 푸리에 변환된 변형 S $y{\displaystyle {}_{}f}$) ${\displaystyle S_{y}(f)}$로 대체하면$$ 앨런 분산을 주파수 영역에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sigma \{y}^{2}(\tau )=\int_{0}{0}{\s_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tauf}{2}}}\df.}$

따라서 앨런 분산에 대한 전송 함수는

${\displaystyle \left\{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^4}\pi \tau f}{{{2}}.}$

바이어스 함수

M-표본 분산과 정의된 특수 사례 앨런 분산은 표본 M의 다른 수와 T와 and의 다른 관계에 따라 체계적인 편향을 경험하게 된다. 이러한 편견을 해소하기 위해 B와₁ B의₂ 편향 특성이 정의되었으며^[15], 서로 다른 M과 T 값 사이의 변환이 가능하다.

이러한 바이어스 함수는 M 검체를 MT를₀ 통해 연결함으로써 발생하는 M 샘플에서₀ M time 관측 시간까지의 바이어스를 측정 종료가 아닌 M 측정 블록 사이에 분산된 데드타임으로 처리하기에 충분하지 않다. 이것은₃ B편향의 필요성을 느끼게 했다.^[16]

바이어스 함수는 특정 µ 값에 대해 평가되므로 노이즈 식별을 사용하여 발견된 지배적 노이즈 형태에 대해 α-µ 매핑을 수행해야 한다. 또는 편향 함수를 사용한 측정에서 지배적 소음 형태의 µ 값을 유추할 수 있다.^[3][15]

B₁ 바이어스 함수

B₁ 치우침 함수는 M-표본 분산을 2-표본 분산(앨런 분산)과 연관시켜 각 측정치에 대한 측정 T와 시간 사이의 시간을 일정하게 유지한다. 로 정의된다^[15].

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\왼쪽\langle \sigma_{y}^{2}(N,T,\tau )\rigle }{\langle\langle \{y}^{y}{}}}}{y}}}}}}, 오른쪽\langle,}$

어디에

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

치우침 함수는 분석 후가 된다.

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}- rn-1 ^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}- r-1 ^{\mu +2}\right]}}.}$

B₂ 바이어스 함수

B₂ 치우침 함수는 표본 시간 T의 2-표본 분산과 2-표본 분산(앨런 분산)을 연관시켜 표본 N = 2의 수와 관측 시간 τ을 일정하게 유지한다. 로 정의된다^[15].

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\왼쪽\langle \sigma _{y}^{2}(2, T,\tau )\rigle }{\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau,\tau )\rigle },},}}$

어디에

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

치우침 함수는 분석 후가 된다.

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac{1+{\frac{1}{1}{1}{1}:{2}}:\좌측[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2-{2}-{}-{\mu }}}}}}.}$

B₃ 바이어스 함수

B₃ 치우침 함수는 표본₀ 시간 MT 및 관측 시간 Man에₀ 대한 2-표본 분산과 2-표본 분산(Allan 분산)을 연관시키고 다음과 같이 정의된다^[16].

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

어디에

$(\displaystyle T=MT_{0}}$

$\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

B₃ 바이어스 함수는 관측 시간 τ과₀ 관측치 T₀ 사이의 시간을 정상 데드타임 추정치로 측정하여 비 오버랩 및 중복 변수 τ 추정기 값을 조정하는 데 유용하다.

치우침 함수는 분석 후 생성된다(N = 2 사례의 경우)

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2}},}$

어디에

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2-(A+1)^{\mu +2}-(A-1)^{\mu +2}}$

τ 바이어스 함수

공식적으로 공식화되지는 않았지만, α-µ 매핑의 결과로 간접적으로 유추되었다. 동일한 µ 계수의 형태로 동일한 지배적 노이즈를 가정하여 서로 다른 τ에 대한 두 개의 앨런 분산 측정값을 비교할 때 편향은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

치우침 함수는 분석 후가 된다.

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\좌측({\frac {\tau _{2}}:{1}}}}}$

값 간 변환

한₁ 측정에서 다른 측정 세트로 변환하기 위해 B, B 및₂ and 바이어스 함수를 조립할 수 있다. 먼저₁ B함수는 (N₁, T₁, τ₁) 값을 (2, T₁, τ₁)로 변환하고, 여기서₂ B함수는 (2, τ₁, τ₁) 값으로 변환하여 τ에서₁ 알란 분산을 한다. 앨런 분산 측정은 τ에서₁ τ까지의₂ τ 바이어스 함수를 사용하여 변환할 수 있으며, 그 다음부터는 B를₂ 사용한 (2, T₂, τ₂)을 사용하고 마지막으로₁ B를₂ (N₂, T, τ₂) 분산으로 변환할 수 있다. 완전한 전환은

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2})T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1}\rigle,}$

어디에

$displaystyle r_}}={\frac {T_:{1}:{1},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}}}}, {\frac {T_{2}}:}, {r_{2}.}$

마찬가지로 M 단면을 사용하여 연결된 측정의 경우 논리적 확장은

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1}\right\angle .}$

문제 문문제제

앨런 분산 또는 앨런 편차를 계산하기 위해 측정을 수행할 때 여러 가지 문제로 인해 측정값이 변질될 수 있다. 여기서 다루는 효과는 결과가 편향될 수 있는 알란 분산에 특정한 효과를 나타낸다.

측정 대역폭 제한

측정 시스템은 섀넌-하틀리 정리에서 설명한 대로 나이키스트 비율 이하에서 대역폭을 가질 것으로 예상된다. 전원법 소음 공식에서 볼 수 있듯이 흰색과 깜박임 소음 조절은 모두 상단 코너 주파수 f ${\displaystyle H_{}}$ ${\$에 따라 달라진다($$이러한 시스템은 로우패스 필터링 전용으로 가정함). 주파수 필터 특성을 고려하면 저주파 노이즈가 결과에 더 큰 영향을 미친다는 것을 분명히 알 수 있다. 비교적 평탄한 위상 변조 노이즈 유형(예: WPM 및 FPM)의 경우 필터링과 관련이 있는 반면, 경사가 더 큰 노이즈 유형의 경우 측정 시스템 대역폭이 $주어진$ {$${\$displaystyle \tau}$에 비해 넓은 것으로 가정하면 주파수 상한의 중요도가 낮아진다.

${\displaystyle \tau \g {1}{1}{2\pi f_{H}}.}$

이 가정이 충족되지 않을 경우 유효 $대역폭{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ H ${\$를 측정과 함께 공지해야 한다$$. 관심 있는 사람은 NBS TN394와 상의해야 한다.^[11]

그러나 샘플 시간 n ${\displaystyle {}_{}}$ $[\$의 정수 배수를 사용하여 추정기의 대역폭을 조정한다면 시스템 대역폭 영향은 미미한 수준으로 감소시킬 수 있다. 전기 통신 필요성에 대해서는, 측정의 비교 가능성을 보장하고 벤더가 다른 구현을 할 수 있도록 어느 정도 자유를 허용하기 위해 그러한 방법이 요구되어 왔다. TDEV 측정을 위한 ITU-T rec. G.813^[17].

검출된 노이즈의 대다수가 측정 시스템 대역폭의 패스밴드 내에 잘 들어가도록 첫 번째 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\$배수를$$ 무시하는 것이 좋다.

소프트웨어 수단으로 하드웨어 대역폭을 줄일 수 있도록 앨런 분산에 대한 추가 개발이 수행되었다. 이러한 소프트웨어 대역폭의 개발은 나머지 소음을 처리할 수 있게 했으며, 그 방법은 현재 수정된 앨런 분산으로 언급되고 있다. 이 대역폭 감소 기법은 스무딩 필터 대역폭도 변경하는 수정된 앨런 분산의 향상된 변종과 혼동해서는 안 된다.

측정 중 데드 타임

시간과 주파수의 많은 측정 계측기는 알람 설정 시간, 타임베이스 시간, 처리 시간을 가지며, 그 다음 알람을 다시 트리거할 수 있다. 알람 설정 시간은 알람이 트리거된 시간부터 시작 채널에서 시작 이벤트가 발생할 때까지입니다. 그러면 타임베이스는 정지 채널의 이벤트를 정지 이벤트로 수락하기 전에 최소의 시간을 보장한다. 시작 이벤트와 중지 이벤트 사이에 경과한 이벤트 수와 시간은 처리 시간 동안 기록되고 제시된다. 처리가 발생할 때(드웰 시간이라고도 함) 계측기는 일반적으로 다른 측정을 수행할 수 없다. 처리가 완료된 후 연속 모드의 계측기가 암 회로를 다시 트리거한다. 정지 이벤트와 다음 시작 이벤트 사이의 시간은 신호가 관찰되지 않는 데드 타임이 된다. 이 같은 데드 타임은 체계적인 측정 편향을 도입하는데, 이는 적절한 결과를 얻기 위해 보상이 필요하다. 이러한 측정 시스템의 경우 T는 인접한 시작 이벤트(따라서 측정) 사이의 시간을 나타내는 반면, $\tau {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\tau }$은 측정 시작 이벤트와 정지 이벤트 사이의 공칭 길이를 나타낸다.

측정치에 대한 데드 타임 효과는 생성된 결과에 그러한 영향을 미치기 때문에 그 특성을 제대로 정량화하기 위해 해당 분야에 대한 많은 연구가 수행되었다. 제로데드타임 카운터의 도입으로 이 분석의 필요성이 없어졌다. 제로 데드타임 카운터는 한 측정의 정지 이벤트가 다음 이벤트의 시작 이벤트로도 사용되고 있다는 속성을 가지고 있다. 이러한 카운터는 타임베이스에 의해 간격을 두고 각 채널마다 하나씩 일련의 이벤트 및 시간 타임스탬프 쌍을 생성한다. 이러한 측정은 시계열 분석의 순서 형태에서도 유용하다는 것이 입증되었다.

데드 타임으로 수행되는 측정은 바이어스 함수₂ B₁, B, B를₃ 사용하여 보정할 수 있다. 따라서 그와 같은 죽은 시간은 알란 분산에 대한 접근을 금지하는 것이 아니라 오히려 그것을 더욱 문제화시킨다. 검체 T 사이의 시간이 설정될 수 있도록 데드 시간을 알아야 한다.

측정 길이 및 표본의 유효 사용

표본 시리즈의 길이 N이 갖는 신뢰 구간에 대한 영향과 변수 τ 매개변수 n의 영향을 연구하면 지배적 소음 형태(이 τ에 대한 N과 n의 일부 조합에 대해 유효 자유도가 작아질 수 있기 때문에 신뢰 구간은 매우 커질 수 있다.

그 효과는 추정치가 실제 값보다 훨씬 작거나 훨씬 더 클 수 있으며, 이로 인해 결과의 잘못된 결론이 나올 수 있다.

그래프의 판독기가 값의 통계적 불확실성을 인식할 수 있도록 신뢰 구간을 데이터와 함께 표시할 것을 권장한다.

샘플 시퀀스의 길이, 즉 샘플 N의 수를 높게 유지하여 관심 범위인 τ에서 신뢰 구간이 작은지 확인하는 것이 좋다.

그림의₀ 판독값이 매우 불안정한 추정기 값으로 혼동되지 않도록 , 승수 n이 스윕하는 τ 범위를 상단 상대적 N에서 제한할 것을 권고한다.

더 나은 자유도 값을 제공하는 추정기를 앨런 분산 추정기를 대체하거나 앨런 분산 추정기를 능가하는 곳에 이를 보완하는 용도로 사용할 것을 권장한다. 그 중에서 총 분산과 테오 분산 추정기를 고려해야 한다.

우성 노이즈 유형

많은 수의 변환 상수, 편향 보정 및 신뢰 구간은 지배적인 소음 유형에 따라 달라진다. 적절한 해석을 위해 특정 관심 τ에 대한 지배적 소음 유형을 소음 식별을 통해 식별해야 한다. 지배적인 소음 유형을 식별하지 못하면 편향된 값이 생성될 것이다. 이러한 편향 중 일부는 몇 가지 정도 크기일 수 있으므로, 큰 의미가 있을 수 있다.

선형 드리프트

신호에 대한 체계적인 효과는 부분적으로만 취소된다. 위상 및 주파수 오프셋은 취소되지만, 선형 드리프트 또는 기타 고차 형태의 다항 위상 곡선은 취소되지 않으므로 측정 한계가 형성된다. 곡선 적합 및 계통 오프셋 제거가 사용될 수 있다. 종종 선형 드리프트를 제거하는 것으로 충분할 수 있다. 또한 Hadamard 분산과 같은 선형 드리프트 추정기를 사용할 수 있다. 모멘트 기반 추정기를 사용하여 선형 드리프트 제거를 사용할 수 있다.

측정 계측기 추정기 바이어스

전통적인 계측기는 단일 이벤트 또는 이벤트 쌍의 측정만 제공했다. J. J. Snyder에^[7] 의한 중복 측정의 개선된 통계 도구의 도입으로 주파수 판독에서 분해능이 훨씬 향상되어 기존의 자릿수/시간 기준 균형이 깨졌다. 그러한 방법은 의도한 목적에 유용하지만, 앨런 분산 계산에 대해 그러한 평활화된 측정을 사용하면 고해상도라는 잘못된 인상을 줄 수 있지만, ^[18][19][20]τ 더 긴 시간 동안 효과는 점차 제거되고 측정값의 저하위 영역은 편향된 값을 갖는다. 이러한 치우침은 필요한 값보다 낮은 값을 제공하고 있으므로 (낮은 숫자가 원하는 것이라고 가정) 지나치게 낙관적인 편향으로, 측정의 사용성을 향상시키기보다는 감소시킨다. 이러한 스마트 알고리즘은 일반적으로 시간 스탬프 모드를 사용하여 비활성화하거나 다른 방법으로 우회할 수 있으며, 가능한 경우 훨씬 선호된다.

실제 측정

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2018년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

알란 분산의 측정에 대한 여러 가지 접근법을 고안할 수 있지만, 간단한 예는 측정을 수행할 수 있는 방법을 설명할 수 있다.

측정

알란 분산의 모든 측정은 서로 다른 두 시계를 비교하는 것이 될 것이다. 기준 시계와 시험 대상 장치(DUT)를 고려하며, 두 장치 모두 10MHz의 공통 공칭 주파수를 갖는다. 시험 대상 장치의 상승 에지(채널 A)와 상승 에지 사이의 시간을 측정하기 위해 시간 간격 카운터를 사용하고 있다.

균일한 간격의 측정을 제공하기 위해 기준시계를 세분화하여 측정 속도를 형성하여 시간 간격 카운터(ARM 입력)를 트리거한다. 이 속도는 1Hz일 수 있지만(기준 클럭의 1 PPS 출력 사용), 10Hz 및 100Hz와 같은 다른 속도도 사용할 수 있다. 시간 간격 카운터가 측정을 완료하고 결과를 출력하며 다음 암을 준비할 수 있는 속도는 트리거 주파수를 제한한다.

컴퓨터는 관찰되는 일련의 시간 차이를 기록하는 데 유용하다.

후처리

기록된 시계열은 연속적인 위상 오차가 제공되도록 포장된 위상의 포장을 해제하기 위해 사후 처리를 요구한다. 필요한 경우 로깅 및 측정 오류도 수정해야 한다. 표류 추정과 표류 제거를 수행해야 하며, 표류 메커니즘을 식별하고 선원에 대해 이해해야 한다. 측정에서 드리프트 제한은 심각할 수 있으므로, 충분한 시간 동안 오실레이터가 안정화되도록 하는 것이 필요하다.

알란 분산은 주어진 추정기를 사용하여 계산할 수 있으며, 실제적인 목적을 위해 중복 추정기를 사용해야 하는데, 이는 중복 추정기의 데이터가 비과잉 추정기에 비해 월등히 사용되기 때문이다. 앨런 분산 호환 결과를 제공하는 편향 보정을 적용하면 총 또는 테오 분산 추정기와 같은 다른 추정기도 사용할 수 있다.

고전적 그림을 형성하기 위해 앨런 편차(앨런 분산 제곱근)는 관측 간격 τ에 대해 로그-로그 형식으로 표시된다.

장비 및 소프트웨어

시간 간격 카운터는 일반적으로 상용화된 기성품 카운터다. 제한 요인에는 싱글샷 분해능, 트리거 지터, 측정 속도 및 기준 클럭 안정성이 포함된다. 컴퓨터 수집과 후처리는 기존의 상업용 또는 공공용 도메인 소프트웨어를 사용하여 할 수 있다. 한 박스에 측정과 연산을 제공하는 고도로 발전된 솔루션이 존재한다.

연구이력

주파수 안정성 분야는 오랫동안 연구되어 왔다. 그러나 1960년대에는 일관성 있는 정의가 결여되어 있다는 것이 밝혀졌다. 1964년^[21] 11월 NASA-IEEE 단기 안정성에 관한 심포지엄은 IEEE 주파수 안정화 절차의 1966년 2월 특별호를 만들었다.

NASA-IEEE 심포지엄은 많은 다양한 기고자들의 논문과 함께 많은 분야와 장단기 안정성의 사용을 모았다. 기사와 패널 토론은 주파수 깜박임 소음이 존재하며 단기 및 장기 안정성에 대한 공통 정의를 달성하고자 하는 바람과 일치한다.

데이비드 앨런,^[3] 제임스 A를 포함한 중요한 서류들. 반스,^[22] L. S. 커틀러, C. L. Searle^[1], D. B. Lesson은 IEEE 주파수 안정화 과정에 출연하여 필드 형성을 도왔다.^[2]

데이비드 앨런의 논문은 초기 바이어스 함수와 함께 측정 사이의 데드타임 문제를 다루면서 주파수의 고전적인 M-샘플 분산을 분석한다.^[3] 앨런의 초기 바이어스 함수는 데드타임을 가정하지 않지만, 그의 공식에는 데드타임을 계산하는 것이 포함된다. 그의 논문은 M 빈도표본(기사에서 N이라고 함)과 분산 추정기의 사례를 분석한다. 그것은 현재 표준 α-µ 매핑을 제공하며, 동일한 이슈에 대한 제임스 반스의 저작물을^[22] 분명히 기반으로 한다.

2-표본 분산 사례는 M-표본 분산의 특별한 경우로서, 주파수 파생상품의 평균을 산출한다. 앨런은 임의로 선택한 M의 경우 2-표본 분산을 통해 M-표본 분산으로 값을 전송할 수 있기 때문에 2-표본 분산을 기준 사례로 암묵적으로 사용한다. 공구가 제공되더라도 2-표본 분산에 대한 선호도는 명확하게 명시되지 않았다. 그러나 이 논문은 다른 M-표본 분산을 비교하는 방법으로 2-표본 분산을 사용할 수 있는 기초를 마련하였다.

제임스 반스는 현대적인₁ B와₂ B 바이어스 기능을 소개하면서 바이어스 함수에 관한 작업을 대폭 확장했다.^[15] 이상하게도 M-표본 분산을 "Allan difference"라고 언급하는 한편, 앨런의 "원자주파수 기준 통계"^[3]를 언급하고 있다. 이러한 현대적인 치우침 함수로, 2-표본 분산을 통한 변환에 의해 다양한 M, T, measures 값의 M-표본 분산 측정치 중 완전한 변환을 수행할 수 있었다.

제임스 반스와 데이비드 앨런은 B₃ 함수로^[16] 바이어스 함수를 더욱 확장하여 결합 검체 추정기 바이어스를 처리했다. 이것은 데드 타임 사이에 연결된 샘플 관찰의 새로운 사용을 처리하기 위해 필요했다.

1970년에 IEEE 계측 및 측정 그룹 내의 주파수 및 시간에 관한 IEEE 기술 위원회는 NBS 기술 공지 394로 발행된 이 분야의 요약을 제공하였다.^[11] 이 논문은 동료 엔지니어들이 그 분야를 이해하는 데 도움이 되는 보다 교육적이고 실용적인 논문의 한 줄에 먼저 있었다. 본 논문에서는 T = τ의 2-표본 분산을 알란 분산(현재 인용문 제외)이라고 언급할 것을 권고하였다. 그러한 파라메트리의 선택은 일부 소음 형태를 잘 처리하고 비교 가능한 측정을 얻을 수 있다. 이는 기본적으로 바이어스 함수 B와₁ B의₂ 도움을 받는 최소 공통 분모다.

J. J. 스나이더는 주파수 카운터에 대한 표본 통계를 사용하여 주파수 또는 분산 추정에 대한 개선된 방법을 제안했다.^[7] 사용 가능한 데이터 집합에서 보다 효과적인 자유도를 얻으려면 중복되는 관찰 기간을 사용하는 것이 요령이다. 이것은 √n 개선을 제공하며, 겹치는 알란 분산 추정기에 통합되었다.^[8] 가변형 소프트웨어 처리도 통합되었다.^[8] 이 개발은 고전적인 앨런 분산 추정기를 개선시켰고, 마찬가지로 수정된 앨런 분산에 대한 작업에 직접적인 영감을 주었다.

Howe, Allan 및 Barnes는 신뢰 구간, 자유도 및 확립된 추정기의 분석을 제시했다.^[8]

교육 및 실제 리소스

시간과 빈도의 분야와 앨런 분산, 앨런 편차 및 친구들의 사용은 많은 측면을 포함하는 분야로, 개념과 실제 측정에 대한 이해와 사후 처리 모두 주의와 이해가 필요하다. 따라서, 약 40년 정도 지속되는 교육 자료의 영역이 있다. 이러한 것들은 그들 시대의 연구의 발전을 반영하기 때문에, 그들은 시간이 지남에 따라 다른 측면을 가르치는데 초점을 맞추는데, 이 경우 가용 자원에 대한 조사는 적절한 자원을 찾는 적절한 방법이 될 수 있다.

첫 번째 의미 있는 요약은 NBS 기술 노트 394 "주파수 안정성의 특성"^[11]이다. IEEE 계측 및 측정 그룹의 주파수 및 시간에 관한 기술 위원회의 제품이다. 그것은 문제를 명시하고, 기본적인 지원 정의를 정의하며, 앨런 분산에 들어가는 것, 편향 함수₁ B와 B₂, 시간 영역 측정의 변환과 같은 현장의 첫 번째 개요를 제공한다. 이는 5가지 기본 소음 유형에 대한 앨런 분산을 표로 작성한 첫 번째 참조 중 하나이기 때문에 유용하다.

고전적인 참조는 1974년의 NBS Monograph 140으로^[23], 8장에 "시간 및 빈도 데이터 분석 통계"^[24]가 있다. 이것은 NBS 기술 노트 394의 확장된 변형이며, 본질적으로 측정 기법과 값의 실질적인 처리에 추가된다.

중요한 추가 사항은 신호 소스 및 측정 방법의 속성이다.^[8] 데이터의 유효 사용, 신뢰 구간, 유효 자유도 포함하며, 마찬가지로 중복되는 앨런 분산 추정기도 도입된다. 그것은 그 주제들에 대해 매우 권장되는 독서다.

IEEE 표준 1139 기본 빈도 및 시간^[4] 계측에 대한 물리적 수량의 표준 정의는 포괄적인 참고 자료와 교육 자료를 벗어난다.

통신을 지향하는 현대적인 책은 스테파노 브레니 "디지털 통신망의 동기화"^[13]이다. 이것은 그 분야뿐만 아니라 그 분야에 대한 그의 연구의 많은 부분을 요약한다. 고전적 대책과 MTIE와 같은 통신 전용 대책을 모두 포함하는 것을 목표로 한다. 통신 표준과 관련된 측정치를 볼 때 편리한 동반자다.

W. J. 라일리의^[14] NIST 특별 간행물 1065 "주파수 안정성 분석 핸드북"은 이 분야를 추구하고자 하는 누구에게나 권장되는 책이다. 참고문헌이 풍부하며, 현대 분석가가 이용할 수 있어야 하는 광범위한 조치, 편향 및 관련 기능도 다룬다. 또한 그것은 현대적인 도구에 필요한 전반적인 처리를 설명한다.

사용하다

앨런 분산은 1초 이상의 기간 동안 결정 오실레이터, 원자 시계 및 주파수 안정화 레이저와 같은 다양한 정밀 오실레이터에서 주파수 안정성의 척도로 사용된다. 단기 안정성(초 미만)은 일반적으로 위상 소음으로 표현된다. 알란 분산은 광섬유 자이로스코프, 반구형 공명형 자이로스코프, MEMS 자이로스코프 및 가속도계를 포함한 자이로스코프의 편향 안정성 특성화에도 사용된다.^[25][26]

50주년

IEEE-UFFC는 2016년 '알란분산 50주년 기념 특별호(1966~2016)'를 발간한다.^[27] 이 이슈의 객원 편집자는 데이빗의 전 NIST 동료인 유다 레빈으로 I. I. 라비상 수상자가 될 것이다.

참고 항목

참조

외부 링크

• UFFC 주파수 제어 교육 리소스
• NIST 출판물 검색 도구
• 데이비드 W. 앨런의 앨런 분산 개요
• 데이비드 W. 앨런의 공식 웹사이트
• JPL 간행물 – 소음 분석 및 통계
• 윌리엄 라일리 출판물
• Stabily32, William Riley의 주파수 안정성 분석 소프트웨어
• 스테파노 브레니 출판물
• 엔리코 루비올라 출판물
• 앨런바: 앨런 분산을 사용한 센서 오류 특성화를 위한 R 패키지
• 보고 도구가 포함된 Alavar Windows 소프트웨어, Freeware
• AllanTools open-source python 라이브러리 for Allan 분산
• MATLAB AVAR 오픈 소스 MATLAB 응용 프로그램