화이트 노이즈

그래프에 표시된 가우스 백색 노이즈 신호의 파형

신호 처리에서 백색 노이즈는 다른 주파수에서 동일한 강도를 갖는 랜덤 신호로 일정한 전력 스펙트럼 ^[1]밀도를 제공합니다.이 용어는 물리학, 음향 공학, 통신 및 통계 예측을 포함한 많은 과학 및 기술 분야에서 이와 유사한 의미로 사용됩니다.백색 노이즈는 특정 신호가 아닌 신호 및 신호 소스의 통계 모델을 말합니다.백색 소음은 백색 ^[2]빛에서 그 이름을 따왔으나, 일반적으로 흰색으로 보이는 빛은 가시 대역에서 평탄한 전력 스펙트럼 밀도를 가지지 않는다.

'흰색 노이즈'

이산 시간에서 백색 노이즈는 표본이 평균이 0이고 분산이 유한한 직렬 상관 없는 랜덤 변수의 시퀀스로 간주되는 이산 신호이다. 백색 노이즈의 단일 실현은 무작위 충격이다.상황에 따라 표본이 독립적이고 동일한 확률 분포를 가질 것을 요구할 수도 있다(즉, 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수가 백색 ^[3]노이즈의 가장 단순한 표현이다).특히 각 샘플이 평균이 0인 정규 분포를 갖는 경우 신호는 가법 백색 가우스 ^[4]노이즈라고 합니다.

백색 노이즈 신호의 샘플은 시간 단위로 순차적으로 구성되거나 하나 이상의 공간 치수에 따라 배열될 수 있습니다.디지털 화상 처리에서 백색 노이즈 화상의 픽셀은 일반적으로 직사각형 그리드에 배치되며, 일정 간격에 걸쳐 균일한 확률 분포를 갖는 독립 랜덤 변수라고 가정한다.이 개념은 구체나 토러스 등 보다 복잡한 영역에 분산된 신호에 대해서도 정의할 수 있습니다.

약간의 '하얀 소음' 소리(큰 소리)

무한대역폭 백색노이즈 신호는 순전히 이론적인 구조입니다.백색 소음의 대역폭은 실제로 소음 발생 메커니즘, 전송 매체 및 유한 관측 능력에 의해 제한된다.따라서 랜덤 신호가 컨텍스트와 관련된 주파수 범위에 걸쳐 평평한 스펙트럼을 갖는 것으로 관찰되면 "백색 노이즈"로 간주됩니다.오디오 신호의 경우 관련 범위는 가청음 주파수 대역(20~20,000Hz)입니다.이러한 신호는 인간의 귀에 쉿 하는 소리로 들리며, 지속적인 흡인에서 /h/ 소리와 유사합니다.한편, "ash"의 "sh" 소리 ///는 포만트 구조를 가지고 있기 때문에 색소음이다.음악 및 음향학에서는 비슷한 쉬익 소리가 나는 신호에 대해 "백색 노이즈"라는 용어를 사용할 수 있습니다.

백색 소음이라는 용어는 비교 ^[5]데이터의 계통 발생 패턴 부족을 나타내기 위해 계통 발생학적 기반 통계 방법의 맥락에서 사용되기도 한다.비기술적 맥락에서 "의미있는 내용이 없는 무작위 대화"^[6]^[7]를 의미하기 위해 유사하게 사용되기도 합니다.

통계 속성

선형 주파수 축(수직) 대 시간 축(수평)으로 표시된 분홍색 노이즈(왼쪽) 및 흰색 노이즈(오른쪽)의 스펙트로그램입니다.

모든 값을 분산할 수 있습니다(단, DC 성분이 0이어야 함).값이 1 또는 0인 바이너리 신호도 시퀀스가 통계적으로 상관관계가 없는 경우 흰색으로 표시됩니다.정규 분포와 같이 연속적인 분포가 있는 노이즈는 물론 흰색일 수 있습니다.

종종 가우스 소음(즉, 가우스 진폭 분포가 있는 소음 – 정규 분포 참조)이 반드시 백색 소음을 가리킨다고 잘못 가정되지만, 두 특성 모두 다른 특성을 의미하지는 않는다.가우스성은 값에 대한 확률 분포를 의미하며, 이 맥락에서 신호가 진폭의 특정 범위 내에 들어갈 확률은 '흰색'이라는 용어는 신호 전력이 시간 경과에 따라 또는 주파수 간에 분산되는 방식(즉, 독립적으로)을 의미합니다.

백색 노이즈는 위너 공정 또는 브라운 운동의 일반화 평균 제곱 도함수입니다.

랜덤 필드 등 무한 차원 공간상의 랜덤 요소에 대한 일반화는 백색 노이즈 측정입니다.

실용적인 응용 프로그램

음악

백색 노이즈는 일반적으로 전자 음악 제작에 사용되며, 보통 직접 또는 다른 유형의 노이즈 신호를 생성하기 위한 필터 입력으로 사용됩니다.일반적으로 ^[8]주파수 영역에서 노이즈 함량이 높은 심벌이나 스네어 드럼과 같은 타악기를 재생성하기 위해 오디오 합성에 광범위하게 사용됩니다.백색 노이즈의 단순한 예로는 존재하지 않는 무선 스테이션(스태틱)이 있습니다.

전자 공학

백색 노이즈는 전기회로, 특히 증폭기 및 기타 오디오 기기의 임펄스 응답을 얻기 위해서도 사용됩니다.스펙트럼이 고주파 콘텐츠를 너무 많이 포함하고 있어 확성기 테스트에는 사용되지 않는다.각 옥타브에서 동일한 에너지를 갖는다는 점에서 백색 소음과 다른 핑크 노이즈는 확성기나 마이크와 같은 변환기 테스트에 사용됩니다.

컴퓨팅

백색 노이즈는 일부 난수 발생기의 기준으로 사용된다.예를 들어, Random.org에서는 대기 안테나 시스템을 사용하여 백색 ^[9]소음에서 랜덤 숫자 패턴을 생성합니다.

이명의 치료

백색 소음은 이명 마스크에 의한 ^[10]사운드 마스킹에 사용되는 일반적인 합성 소음원이다.백색 소음 기계와 기타 백색 소음원은 프라이버시 강화제 및 수면 보조 장치(음악 및 수면 참조)와 ^[11]이명을 가리기 위해 판매된다.Marpac Sleep-Mate(현재는 Dohm)는 1962년 여행 세일즈맨 Jim Buckwalter에 의해 ^[12]만들어진 최초의 가정용 백색 소음 기계이다.또는 미사용 주파수("정적")에 맞춰 튜닝된 FM 라디오를 사용하는 것이 ^[13]백색 노이즈의 보다 단순하고 비용 효율이 높은 소스입니다.단, 미사용 주파수로 튜닝된 일반적인 상용 무선 수신기에서 발생하는 백색 노이즈는 인접 무선국, 비인접 무선국으로부터의 고조파, 수신 안테나 근처의 전기 기기, 심지어 대기권과 같은 가짜 신호에 의해 오염될 가능성이 매우 높다.태양 플레어, 특히 번개와 같은 사건들

백색 소음 노출 요법이 뇌의 부적응적 변화를 유발하여 신경학적 건강을 저하시키고 ^[14]인지 능력을 떨어뜨릴 수 있다는 증거가 있다.

작업 환경

백색 소음이 인지 기능에 미치는 영향은 혼합되어 있다.최근 작은 연구에서 백색 소음 배경 자극이 주의력 결핍 과잉 행동 장애(ADHD)를 가진 중등학생의 인지 기능을 향상시키고 ADHD가 아닌 학생들의 ^[15]^[16]성과를 감소시킨다는 것을 발견했습니다.다른 작업은 백그라운드 오피스 ^[17]노이즈를 마스킹하여 작업자의 기분과 성과를 향상시키는 데 효과적이지만 복잡한 카드 분류 ^[18]작업에서는 인지 능력이 저하된다는 것을 나타냅니다.

마찬가지로, 학습 환경에서 백색 소음 사용의 이점을 관찰하기 위해 66명의 건강한 참가자를 대상으로 실험을 수행했다.실험 참가자는 배경에서 다른 소리를 들으면서 다른 이미지를 식별하는 것을 포함했습니다.전반적으로 백색 소음은 학습과 관련하여 실제로 이점이 있는 것으로 나타났다.실험은 백색 소음이 참가자의 학습 능력과 인식 기억력을 ^[19]약간 향상시켰다는 것을 보여주었다.

수학적 정의

백색 잡음 벡터

랜덤 벡터(즉, 실수의 벡터를 생성하는 부분적 불확정 프로세스)는 구성 요소가 각각 0 평균과 유한 분산을 갖는 확률 분포를 가지며 통계적으로 독립적일 경우 백색 노이즈 벡터 또는 백색 랜덤 벡터라고 한다. 즉, 이들의 공동 확률 분포는 곱이어야 한다.f 개별 ^[20]구성요소의 분포.

두 변수의 통계적 독립성에 필요한 조건(일반적으로 충분하지 않음)은 두 변수가 통계적으로 상관관계가 없다는 것이다. 즉, 공분산은 0이다.따라서 n개의 원소가 있는 백색 잡음 벡터 w의 성분의 공분산 행렬 R은 nxn 대각 행렬이어야 하며, 여기서 각 대각 요소_ii R은 성분_i w의 분산이며, 상관 행렬은 nxn 대각 행렬이어야 합니다.

w의 모든 변수가 독립적일 뿐만 아니라 평균이 0이고 $\sigma ^{2}$ 이 $\sigma ^{2}$ 2(\ $displaystyle \sigma$ ^{ $2$ 인 정규 분포를 갖는 경우 w는 가우스 백색 노이즈 벡터라고 합니다.이 경우, w의 결합 분포는 다변량 정규 분포입니다. 변수 간의 독립성은 분포가 n차원 공간에서 구면 대칭을 갖는다는 것을 의미합니다.따라서 벡터의 직교 변환은 가우스 흰색 랜덤 벡터가 됩니다.특히 FFT 및 Hartley와 같은 대부분의 이산 푸리에 변환 유형에서 w의 변환 W도 가우스 백색 노이즈 벡터가 됩니다. 즉, w의 n 푸리에 계수는 평균이 0이고 분산이 2 $({$ style $\sigma ^2$ 인 독립 가우스 변수입니다.

랜덤 벡터 w의 전력 스펙트럼 P는 푸리에 변환 W의 각 계수의 제곱 계수 즉, P_i = E( W_i)의 기대값으로 정의할 수 있습니다.이 정의에 따르면, 가우스 백색 노이즈 벡터는 모든 i에 대해 P = µ의² 완벽한_i 평탄한 전력 스펙트럼을 갖게 됩니다.

w가 가우스 벡터가 아닌 흰색 랜덤 벡터일 경우 푸리에 계수_i W는 서로 완전히 독립적이지 않습니다. 큰 n개의 공통 확률 분포의 경우 의존성이 매우 미묘하며 쌍별 상관관계가 0이라고 가정할 수 있습니다.

화이트 노이즈의 정의에 "통계적으로 독립적" 대신 "통계적으로 상관되지 않음" 조건이 사용되는 경우가 많다.단, 일반적으로 예상되는 백색 노이즈(평탄한 전력 스펙트럼 등)의 특성 중 일부는 이 약한 버전에서는 유지되지 않을 수 있습니다.이러한 가정 하에서 보다 엄격한 버전은 명시적으로 독립 백색 소음 ^[21]^{: p.60}벡터라고 할 수 있다.다른 작가들은 강한 흰색과 약한 흰색을 ^[22]대신 사용한다.

약하지만 강한 의미에서는 "가우스 백색 노이즈"인 랜덤 벡터의 예로는 x $x=[x_{1},x_{2}]$ [ $x=[x_{1},x_{2}]$ , $x=[x_{1},x_{2}]$ 2 $x=[x_{1},x_{2}]$ ] { $display style$ x = [ $x$ _ ${1$ } , $x$ _ {2 $}$ }가 $x=[x_{1},x_{2}]$ $x=[x_{1},x_{2}]$ . $x_{1}$ 서 x $x_{1}$ 1 $+x_{1}$ { $style x_{1}$ 는 $x_{1}$ 평균이 0인 정규 랜덤 $x_{2}$ 이고 $x_{2}$ $+x_{1}$ { $display style$ x_ ${$ }는 $x_{2}$ $+x_{1}$ x + $1과 같습니다$ . $+x_{1}$ 또는 - $-x_{1}$ 1 $(\$ 로 동일한 확률로 지정합니다.이 두 변수는 상관 관계가 없고 개별적으로 정규 분포를 따르지만, 공동으로 정규 분포를 따르지 않고 독립적이지 않습니다.x $(\displaystyle$ x $)$ 가 $x$ 45도 $x$ 해도 두 구성 요소는 상관 관계가 없지만 분포는 더 이상 정규 분포를 따르지 않습니다.

경우에 따라서는 흰색 랜덤 $w$ 의 각 컴포넌트(\ $displaystyle$ w $)$ 에 $w$ 0이 아닌 $\mu$ μ(\ $displaystyle\mu$ 를 허용함으로써 정의를 완화할 수 있습니다.특히 샘플이 일반적으로 양의 값으로 제한되는 이미지 처리에서는 $\mu$ μ(\ $displaystyle\mu})$ 를 $\mu$ 1/2로 $\mu$ 하는 경우가 많습니다.e 최대 샘플 값.이 경우 제로 주파수 성분(기본적으로 $w_{i}$ \displaystyle $w_{i$ 의 평균)에 대응하는 $W_{0}$ 푸리에 $W_{0}$ $W_{0}$ 0(\ $displaystyle$ $W_{0})$ 도 0이 아닌 $\mu {\sqrt {n}}$ $(\displaystyle \mu\sqrt$ { $n$ 이 되며 파워 $스펙트럼$ P $\display$ p는0이 $P$ 됩니다.0이 아닌 주파수에 대해 nly로 설정합니다.

이산 시간 백색 노이즈

이산시간 확률 $W(n)$ W ( $W(n)$ ) $W(n)$ \ $displaystyle$ W ( $n$ )는 $W(n)$ 유한한 수의 구성요소를 가진 랜덤 벡터를 무한히 많은 구성요소로 일반화 한 것이다.이산 시간 $확률$ $W(n)$ W $W(n)$ $)(\displaystyle W(n$ ))는 평균이 시간 n $(\displaystyle$ n $)$ 에 $n$ 의존하지 않고 0과 같으면 백색 노이즈( $\operatorname {E} [W(n)]=0$ : E $\operatorname {E} [W(n)]=0$ [ $\operatorname {E} [W(n)]=0$ ( $\operatorname {E} [W(n)]=0$ n ) $=$ $\operatorname {E} [W(n)]=0$ \ $displaystyle$ \ $operatorname$ { E $}$ [ W (n) $=$ 0) 및 $\operatorname {E} [W(n)]=0$ $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ 상관 $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ (\displaystyle W $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ $n$ )이다. $isplaystyle R_{W}(n)=\operatorname$ { $E$ $}[W(k+n)W(k)]}$ 에는 $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ n $n=0$ 0({ $displaystyle$ $n$ $=0$ $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ R $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ 2 $=$ n $(n)$ 에 $n=0$ 만 0이 아닌 값이 있습니다 $.$

연속 시간 백색 소음

연속시간 신호 이론에서 "백색 노이즈" 개념을 정의하려면 "랜덤 벡터" 개념을 연속시간 랜덤 신호, 즉 실수값 $파라미터$ t\ $displaystyle$ t}의 $t$ $함수$ w $\displaystyle$ w를 $w$ 생성하는 랜덤 프로세스로 대체해야 합니다.

$이러한$ 과정은 w $w(t)$ ( $w(t)$ ) $w(t)$ \ $displaystyle$ w $($ $t)$ $w(t)$ 이 $w(t)$ $t$ t\ $displaystyle$ t $t$ 의 전체 이력과 통계적으로 독립적인 랜덤 변수일 경우 가장 강력한 의미에서 백색 노이즈라고 합니다. 정의가 약할수록 w $w(t_{1})$ ( $w(t_{1})$ $w(t_{1})$ ) 값 $w(t_{1})$ 의 독립성만 요구됩니다. $)(txisplaystyle$ w $(t_$ ${$ 1 $})$ 와 $w(t_{1})$ w $w(t_{2})$ 2)는 $w(t_{2})$ $({$ 와 $t_{1}$ $({$ 의 각 쌍의 $w(t_{2})$ $w(t_{1})$ displaystyle $t_{1})$ 과 $w(t_{1})$ w $({$ 2 $})$ 의 구별되는 t2 $($ t2 $w(t_{2})$ 입니다.더 약한 화질에서는 $w(t_{1})$ 쌍 $txisplaystyle$ w $({1$ $})$ 만 필요합니다.e상관없음^[23]이산 사례에서와 같이 일부 저자는 "흰색 소음"에 대해 약한 정의를 채택하고 더 강한 정의 중 하나를 참조하기 위해 독립적인 한정자를 사용한다.다른 사람들은 그들을 구별하기 위해 약한 흰색과 강한 흰색을 사용합니다.

그러나 이러한 개념의 정확한 정의는 사소한 것이 아니다. 왜냐하면 유한 이산 사례에서 유한합인 일부 수량은 수렴되지 않을 수 있는 적분으로 대체되어야 하기 때문이다.실제로 신호 $\displaystyle$ w $\$ $displaystyle\mathbb {R}^{n$ 의 모든 가능한 인스턴스 집합은 더 이상 유한 차원 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ n이 아니라 무한 차원 함수 공간입니다.또한 어떤 정의에서든 w $\displaystyle$ $\$ displaystyle w\displaystyle w\는 $w$ 으로 모든 점에서 불연속적이어야 합니다. 따라서 w $\displaystyle$ w $w$ displaystyle w\의 가장 간단한 조작도 한정된 간격에 걸친 적분처럼 고도의 수학 기계가 필요합니다.

일부 작성자는 각 $w(t)$ w ( t $){displaystyle$ w $(t)}$ 가 $w(t)$ $\mu$ 가 $\mu$ μ(\ $displaystyle$ $\$ $mu$ }이고 $\mu$ 일부 유한 $\sigma ^{2}$ 이 2(\ $displaystyle$ \sigma $\sigma ^{2}$ })인 실수치 랜덤 변수여야 합니다.그러면 $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ E ( $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ ( $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ ) $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ ( w ( $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ t 2 $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ \ $displaystyle \mathrm { t\cd$ } ( t\ $cd$ } $}$ $({$ 과 $t_{1}$ $({$ 의 $t_{2}$ $t_{1}$ 값은 명확하게 정의되어 있습니다.시간이 다르면 0, 같으면 $({$ 입니다 $\sigma ^{2}$ .단, 이 정의에 의해 적분은

W_{a,a+r}=\int _{a}^{a+r}w(t),dt

양의 $폭$ r ${displaystyle$ r $}$ 의 $r$ 간격은 단순히 기대 $r\mu$ 에 ${displaystyle$ r\ $mu$ 를 곱한 값입니다. 이 특성은 물리적 "백색 노이즈" 신호의 모델로서 개념을 부적절하게 만듭니다.

따라서 대부분의 작성자는 w $w(t)$ ( $w(t)$ ) \ $displaystyle$ w ( $t$ ) $w(t)$ $|w(t)|^{2}$ ( w ( $|w(t)|^{2}$ ) 2 $[a,a+r]$ （ $displaystyle$ w ( $t$ ) $[a,a+r]$ $^$ { $2$ $}}$ 의 $|w(t)|^{2}$ $r$ 적분에 대해 0이 아닌 값을 지정함으로써 $신호$ w $\ display$ $style$ w를 $간접적$ 으로 $w$ 정의하고 $[a,a+r]$ $.$ 단, 이 접근법에서는 격리된 시각에 $w(t)$ w $w(t)$ t $)\displaystyle$ w $(t)$ 의 $w(t)$ $w(t)$ 을 실수치 랜덤^{[citation needed]} 변수로 정의할 수 없습니다.또한 $t_{1}=t_{2}$ $t_{1}=t_{2}$ $t2$ ({1} $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ $= t_{2$ } = $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ {2 $}$ $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ 일 $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ E ( $($ $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ ) \ w ( t $2)\cdot$ $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ w ( $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ $2$ } )는 $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ 무한이 됩니다 $.$ $)({displaystyle$ N $\delta(t_{1}-t_{2$ $N$ 서 N $({$ $displaystyle$ N $}$ 은 $N$ 실제 상수이고 $,$ （\ $\delta$ \ $delta$ })은 Dirac의 "함수"입니다.

이 접근법에서는 일반적으로 $W_{I}$ WI $($ W_ $)$ 를 지정합니다. $I}/$ $w(t)$ ( $I=[a,b]$ $w(t)$ I $I=[a,b]$ [ $I=[a,b]$ , $]$ { $display$ $style$ $w(t)$ I = [ $a$ , $b$ ] { display $I=[a,b]$ style I = [ a , b ]} ${\$ $(b-a)\sigma ^{2}$ ( $b$ - a )\ $displaystyle$ ( b - a $)\$ displaystyle ( $b-a$ )\ $display$ $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ { $(b-a)\sigma ^{2}$ $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ $(b-a)\sigma ^{2}$ ; $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ eanceanceance $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ anceanceanceance ( ( ( (anceance ( ( ( ( ( ( ( $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ ( $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ ( ( ( ( ( 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( $W_{I}$ $W_{I}$ 의 I $}\$ $cdot W_{J}{$ 디스플레이 $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ $스타일$ W_ ${$ $I$ $W_{J}$ J $({$ $W_$ ${J})$ 는 $W_{J}$ r $r\sigma ^{2}$ 2({ $displaystyle$ r $\sigma$ ^{ $2$ 입니다. $r$ 서r({ $displaystyle$ r $I,J$ 은 $r$ $I,J$ 의 간격I $($ $J)$ 의 $I\cap J$ $I\cap J$ 폭입니다. 이 모델을 흰색 신호 노이즈라고 합니다.

백색 잡음 분석으로 알려진 수학 분야에서 가우스 $백색$ 잡음 w $\displaystyle$ w는 $w$ 확률적 강화 분포로 정의된다. 즉, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ 분포의 공간 S ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ µ ( ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ) \ $displaystyle {S}$ ' \ $mathbb { R$ } ) } } } } 에서의 값을 ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ 갖는 랜덤 변수이다.유한차원 랜덤 벡터의 경우와 마찬가지로 무한차원 ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ S ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ (\ $displaystyle\mathcal {S}}'(\mathbb {R})$ 에 ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ 대한 확률 법칙은 그 특성 함수를 통해 정의될 수 있다(Boc라는 이름의 보치너-minlos 정리의 확장에 의해 존재와 고유성이 보장된다).hner-Minlos-Sazanov 정리), 특성함수를 갖는 다변량 $X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$ X $~Nn(μ, δ)$ 의 경우와 유사합니다 $X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$

\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathrm {i} \mathrm {i} ^{i} \mathle k,\frcrac {1} } ^{2} } ^{e} ^{\} } } 、 \mathram {e}

백색 $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ w : $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ( $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ （ R $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ） { $displaystyle$ w : $\Omega$ \ $to {S}}'(\mathbb {R})}$ 은 $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ $($ 는) 다음을 충족해야 합니다.

\displaystyle \forall \varphi \in {S} \mathbb {R} : \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi \rangle } =\mathrm {e} ^{-{-{\frac1} {2} \varphi} ^{2} )

$\langle w,\varphi \rangle$ 서 $\langle w,\varphi \rangle$ w $\langle w,\varphi \rangle$ w $,$ w, $, warphi \rangle$ $w(\omega )$ 는 $\langle w,\varphi \rangle$ $w(\omega )$ $w(\omega )$ w ( $)$ 와 Schwartz $\varphi$ w $（$ $w(\omega )$ \ $displaystyle$ $\omega \in \Omega$ \ $varphi$ $\omega \in \Omega$ 의 자연스러운 페어링으로, scenariowise for $\omega \in \Omega$ $\|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplaydisplaydisplay where where where ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( where ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( where where ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $\|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$ x ${\displaystyle$ \ $varphi$ \ $_{2}^2}=\int$ _ ${\mathbb {R}}\$ vert $\varphi (x$ )\vert $^{$ 2},\ $mathrm$ { $d}$ x $\|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$

수학적 응용 프로그램

시계열 분석 및 회귀 분석

통계와 계량경제학에서 관측된 일련의 데이터 값은 특정 독립적(해명적) 변수와 일련의 무작위 소음 값에 따라 결정론적 선형 프로세스에 의해 생성된 일련의 값의 합이라고 가정하는 경우가 많다.그런 다음 회귀 분석을 사용하여 관측된 데이터(예: 일반 최소 제곱)로부터 모형 공정의 모수를 추론하고 각 모수가 0이 아니라는 대립 가설에 대해 0이라는 귀무 가설을 검정합니다.가설 테스트는 일반적으로 소음 값이 0 평균과 상호 상관관계가 없으며 동일한 가우스 확률 분포를 갖는다고 가정한다. 즉, 소음이 가우스 백색(백색뿐 아니라)이다.다른 관측치의 기초가 되는 소음 값 사이에 0이 아닌 상관관계가 있는 경우 추정된 모델 매개변수는 여전히 편향되지 않지만 불확실성(예: 신뢰 구간)의 추정치는 편향된다(평균적으로는 정확하지 않음).이는 노이즈가 이질적인 경우에도 마찬가지입니다. 즉, 노이즈가 데이터 포인트에 따라 분산이 다른 경우에도 마찬가지입니다.

또는 시계열 분석으로 알려진 회귀 분석 부분 집합에는 모형화할 변수의 과거 값(의존 변수) 외에 설명 변수가 없는 경우가 많습니다.이 경우 소음 프로세스는 종종 이동 평균 프로세스로 모델링되며, 여기서 종속 변수의 현재 값은 순차적 백색 소음 프로세스의 현재 및 과거 값에 따라 달라집니다.

랜덤 벡터 변환

이 두 가지 아이디어는 통신 및 오디오에서 채널 추정 및 채널 균등화와 같은 애플리케이션에서 매우 중요합니다.이러한 개념은 데이터 압축에도 사용됩니다.

특히, 적절한 선형 변환(색채 변환)에 의해, 흰색 랜덤 벡터는, 요소가 소정의 공분산 행렬을 가지는 「비백」랜덤 벡터(즉, 랜덤 변수의 리스트)를 생성하기 위해서 사용할 수 있다.반대로 기존의 공분산 행렬을 가진 랜덤 벡터는 적절한 화이트닝 변환에 의해 흰색 랜덤 벡터로 변환될 수 있다.

시대

백색 노이즈는 디지털 신호 프로세서, 마이크로 프로세서 또는 마이크로 컨트롤러에서 디지털로 발생할 수 있습니다.백색 노이즈를 발생시키려면 일반적으로 디지털-아날로그 변환기에 적절한 난수 스트림을 공급해야 합니다.백색 노이즈의 품질은 ^[24]사용되는 알고리즘의 품질에 따라 달라집니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

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v t 확률적 과정
이산 시간	베르누이 과정 분기 프로세스 중식당 과정 골턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 연쇄 모란법 랜덤 워크 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속 시간	가법법 베셀법 출생-사망 과정 순생 브라운 운동 다리 Excursion(익스커전) 프랙셔널 기하학 굽이굽이 코시 과정 연락 프로세스 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산 과정 경험적 과정 펠러법 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크스 과정 헌트 프로세스 상호작용 입자계 이토 확산 이토 과정 점프 확산 점프 프로세스 레비 과정 현지 시간 마르코프 가법 과정 맥킨-블라소프 과정 오른스타인움렌벡법 포아송 과정 컴파운드 비균질 슈람-뢰너 진화 세미마트게일 시그마 마티게일 안정된 프로세스 슈퍼프로세스 전신 처리 분산 감마 과정 위너법 위너 소시지
둘다요.	분기 프로세스 갈베스-뢰체르바흐 모형 가우스 과정 숨겨진 마르코프 모델(HM) 마르코프 과정 마티게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 랜덤 다이내믹 시스템 재생 프로세스 갱신 프로세스 가변 길이의 메모리를 가진 확률적 연쇄 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모델 이징 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 과정 포인트 프로세스 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이색 탄성(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모델 GARCH(Generalized Autrogressive Conditional Hetheroskedasticity) 모델 이동평균(MA) 모델
재무 모델	이항 옵션 가격 설정 모형 블랙-더맨-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders(CKLS) 첸 일정 탄성 분산(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) 가르만-콜하겐 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 헤스톤 호리 헐-흰색 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR의 변동성 바시체크 윌키
보험 수리 모델	뷸만 크라메르-룬드베르크 리스크 프로세스 스파르앤더슨
큐잉 모델	벌크 유체 범용 큐잉 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들라그 패스 계속되는 연속 경로 에르고딕 교환 가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 부분적 결정론 예측 가능한 점진적 측정 가능 자기유사 문방구 시간 되돌리기 가능
한계 정리	중심 한계 정리 돈스커의 정리 두브 마티게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프의 정리 제로-1 법칙(Blumenthal , Borel-Cantelli, Engelbert-Schmidt, Hewitt-Savage, Kolmogorov, Levy )
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브마티게일 두브가 업크로스 하고 있다. 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	카메론-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리안 데이드 지수 두브 분해 정리 두브-마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 다이킨 공식 파인만-케이크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 이토 적분 이토의 보조군 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 메트릭 말리아빈 미적분 마티게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차 변동 반사원리 스코로호트 적분 스코로호트의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지 시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 통상 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
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