전원 집합 공리

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포함과 관련하여 정렬된 {x, y, z} 집합의 전원 세트 요소.

수학에서 동력 집합의 공리는 자명 집합 이론의 제르멜로-프렌켈 공리의 하나이다.

제르멜로-프렌켈 공리의 공식어에는 다음과 같이 쓰여 있다.

$[\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\, [z\in y\iff \forall w\, (w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

여기서 y는 x, $P{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\mathcal {P}(x)}$의 전원 집합입니다$.$

영어에는 다음과 같이 되어 있다.

세트 x가 주어지면 세트 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle {\mathcal {\p}(x)$가$$ 있어, 세트 z가 주어지면 이 세트 z는 P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\p$}($x)$의 멤버가 $된다.$

보다 간결하게 설명하십시오$.$ 각 $세트{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ $x}$에 대해 정확히 x ${\displaystyle$ ${\mathcal$ {$P}(x)}$의 하위 집합으로 구성된 집합 $P{\displaystyle \mathcal{}(x)}$가 있다$.$

부분 집합 이론에서 부분 집합이 원시 관계가 아니므로 부분 집합 관계$⊆{\displaystyle \subseteq }}$은(는) 공식 정의에서 사용되지 않으며$$, 오히려 부분 집합 멤버쉽 $\in {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$의 관점에서 정의된다$.$ 확장성의 공리상으로는 집합 $P{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle$ {p$}{p}$가 고유하다$.$

권력 집합의 공리는 집합 이론의 대부분의 공리에 나타난다. 건설적인 집합 이론은 약탈성에 대한 우려를 해소하기 위해 약한 버전을 선호하지만, 일반적으로 논란의 여지가 없는 것으로 간주된다.

결과들

Power Set Axiom을 사용하면 다음과 같은 두 가지 $세트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$의 데카르트 제품을 간단하게 정의할 수 있다$.$

$[\displaystyle X\time Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}$

에 유의하십시오.

$X\컵 Y}의 디스플레이 스타일 x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\}\x,y\}\in {\mathcal {P}(X\컵 Y)}$

예를 들어, 쿠라토프스키가 주문한 쌍을 사용한 모델을 고려했을 때

${\displaystyle(x,y)=\{\{x\}\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}({\mathcal {P})(X\컵 Y))}$

그래서 데카르트 제품은 그 이후부터 한 세트 입니다.

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}({\mathcal {P})(X\컵 Y)).}$

유한한 집합 집합 집합의 데카르트 산출물을 재귀적으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle X_{1}\time \cdots \time X_{n}=(X_{1}\time \cdots \time X_{n-1}\time X_{n}\time X_{n}.}$

Kripke-Platek 세트 이론의 경우처럼 동력 집합 공리를 사용하지 않고도 데카르트 제품의 존재를 증명할 수 있다는 점에 유의한다.

참조

• 폴 할모스, 순진무구한 집합론. 프린스턴, NJ: D. 밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년 1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다. ISBN0-387-90092-6(Springer-Verlag 에디션).
• 제치, 토마스, 2003년 이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션. 스프링거. ISBN 3-540-44085-2.
• 쿠넨, 케네스, 1980년 세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개. 엘시비어. ISBN 0-444-86839-9

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 파워 세트의 Axiom의 자료가 통합되어 있다.