해체조합

In mathematics, a disjoint union (or discriminated union) of a family ${\displaystyle (A_{i}\colon i\in I)}$ of sets is a set ${\displaystyle A=\bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ with an injective function of each ${\displaystyle A_{i}}$ into A, such that the images of these injections는 A의 분할을 형성한다(즉, A의 각 요소는 이 이미지들 중 정확히 하나에 속한다). 한 쌍의 쌍쌍이 뭉친 집단의 분열된 결합은 그들의 결합이다. 범주 이론에 있어, 분리 결합은 집합 범주의 결합이다. 따라서 분리 결합은 편향에 따라 정의된다.

분리 결합을 구축하기 위한 표준 방법은 x${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle$ x$\in A_$${i},$ 주입 함수$$ ${\displaystyle A}$ i →${\displaystyle {}_{}}$$x{\displaystyle }$$$${\displaystyle \mapsto }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x\mapsto (x,i$$)$를 $순서$ 쌍 집합으로 정의하는 것이다$.$$}$

예

세트 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 6}$,${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}$ 및 ${\displaystyle A_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 6}$} ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}}$을(를) 고려하십시오$.$ 관련 세트를 구성하여 세트 원점에 따라 세트 요소를 인덱싱할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{0}^{*}&=\{(5,0), (6,0), (7,0)\\\\A_{1}^{*}&=\{(5,1), (6,1)\},\end{정렬}}}}}$

여기서 각 쌍의 두 번째 요소는 오리진 집합의 첨자와 일치한다($예{\displaystyle \mathrm{}}$: (${\displaystyle 5}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (5,0)}$의 0 ${\$$displaystyle 0}$과 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle A_${0$}$등). 그러면 분해 유니언 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}을 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle A_{0}\sq컵 A_{1}=A_{0}^{*}^\cup A_{1}^{*=\{(5,0), (7,0), (5,1), (6,1)\}}}$

이론 정의 설정

공식적으로 {${\displaystyle }$A ${\displaystyle I{}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}I}$∈ ${\displaystyle I\}}$ ${\$$A_{i}:i\in I\right\}}$은(는) $I{\displaystyle .}$ ${\displaystyle I.}$에 의해 색인된 집합의 집합 집합 집합이다.

${\displaystyle \bigsqcup _{i}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$

해체조합의 요소는 순서쌍$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle i}$) .${\displaystyle(x,i$)이다$.$$}$ 여기서$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $i$$}$은(는) ${\displaystyle {요소}_{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A_{i$$}}$의 출처를$$ 나타내는 보조 인덱스 역할을 한다$$.

각 세트 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$A_${i$}는 세트와 표준적으로 이형성이 있다$$.

${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$

이러한 이형성을 통해 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$이(가) 정식적으로 해체조합에 내재되어 있다고$$ 생각할 수 있다. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ne }$ j${\displaystyle }$, ${\displaystyle i_neq j}$의 경우, A$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle A_{i}}},$ $A$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ A_{j$}^{*}}$ 세트가 아닌$$ 경우에도$$ A$$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ∗ ${\$ A_${j$}}}}}가 분리된다$.$

각 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 ${\displaystyle 각}$ i${\displaystyle }$$for$ I${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ i$\in I}$에 대해 어떤 고정된 집합 A ${\displaystyle$ A$}$과(와) 동일한$$ 극단적인 경우, 분리$$ 결합은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A}$ $및$ I ${\displaystystytyle I$

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\time I.}$

가끔 표기법을 볼 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}}$

집합 집합의 분리 결합 또는 두 집합의 분리 결합에 $대한$ A${\displaystyle }$+ B ${\$디스플레이 $스타일 A+B}$ 표기법. 이 표기법은 해체조합의 카디널리티가 가족 내 용어들의 추기경들의 합이라는 사실을 암시하는 의미를 담고 있다. 이것을 세트 제품군의 데카르트 제품에 대한 표기법과 비교해 보십시오.

Disjoint 유니온도${\displaystyle \underset{}{}}$written${\displaystyle \underset{}{I}}$ A ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle \cdot \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}{}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ . ${\display$style \$cdot \!\!$$\!\!\bigcup _{i}.$$}$

범주 이론의 언어에서, 분리 결합은 집합의 범주에서 결합된다. 따라서 그것은 관련된 보편적 특성을 만족시킨다. 이것은 또한 분리 결합이 데카르트 제품 구성의 범주형 이중이라는 것을 의미한다. 자세한 내용은 공동 제작을 참조하십시오.

많은 목적에서, 보조지수의 특정한 선택은 중요하지 않으며, 단순화된 표기법 남용으로, 지수화된 패밀리는 단순히 집합의 집합으로 취급될 수 있다. 이 경우 $A{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle A_{i}^{*}}}$의 ${\displaystyle {복사본}_{}}$으로 언급되며$$, ${\displaystyle \underset{}{표기법{}^{}}}$ ${\displaystyle {\bigcup }^{}_{}}$ A ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{C}}$ ${$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ {\$displaystyle {\displayset$ {A$\in$ C$}{\,\,\\bigcup \nolimits ^{*}\!$$}}}A}$을(를) 사용하는 경우도 있다.

범주 이론 관점

범주 이론에서 분리 결합은 집합의 범주에서 결합체로 정의된다.

이와 같이, 분리 결합은 이형성에까지 정의되며, 위의 정의는 다른 것 중에서도 공동 결합의 하나의 실현에 불과하다. 세트들이 쌍으로 분리된 경우, 일반적인 결합은 또 다른 조합의 실현이다. 이것은 선두에 있는 두 번째 정의를 정당화한다.

이러한 분리 연합의 범주적 측면은 $⨆{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$coprod }$이(가) 결합을 나타내기 위해$$⨆ {\displaystyle $\bigsqcup }$이(가) 아닌 $\coprod {\displaystyle }$ ${\displaysty$\coprod}이(가) 자주 사용되는$$ 이유를 설명한다.

참고 항목

• 공동 유도 – 범주-이형 구조
• 직접한도
• 분리 결합(토폴로지)
• 그래프 결합 해제
• 집합의 분할 – 집합의 요소를 그룹화하는 수학적 방법
• 합계형식
• 태그가 지정된 조합 – 여러 가지 서로 다르지만 고정된 유형을 차지할 수 있는 값을 보유하는 데 사용되는 데이터 구조
• 연합(컴퓨터 과학)

참조

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Disjoint Union". MathWorld.