제르멜로 집합론

에른스트 제르멜로가 1908년 중요한 논문에서 제시한 것과 같은 제르멜로 집합론(때로는 Z에^- 의해 언급되기도 함)은 현대 제르멜로-프라엔켈 집합론(ZF)과 그 확장론(예: 폰 노이만-베르나이스-)의 조상이다.괴델 집합론(NBG) 그것은 항상 이해되지 않고 종종 잘못 인용되는 후손들과 어떤 차이점을 가지고 있다. 이 글은 원문(영문으로 번역)과 원문 번호 매기기 등 원문 공리를 명시하고 있다.

제르멜로 집합 이론의 공리

제르멜로 집합 이론의 공리는 사물에 대해 명시되어 있는데, 그 중 일부(그러나 반드시 전부는 아님)는 집합이고, 나머지 사물은 집합이 아니라 요소요소다. 제르멜로의 언어는 은연중에 회원 관계 ∈, 평등 관계 = (근본 논리에 포함되지 않은 경우), 그리고 사물이 세트인지 아닌지를 말하는 단항 술어를 포함한다. 집합론의 후기 버전은 종종 모든 물체가 집합되어 있어서 요소들이 없고 단항 술어가 필요하지 않다고 가정한다.

AXIOM I. 확장성의 공리(Axiom der Bestimtheit) "세트 M의 모든 요소가 또한 N의 요소이고 그 반대의 요소라면... M $\equiv {\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$. 간단히 말해서 모든 세트는 그 요소에 의해 결정된다."

AXIOM II. 초등 집합의 공리(Axiom der Elementarmengen) "원소가 전혀 들어 있지 않은 집합, null 집합, ∅이 존재한다. a가 도메인의 개체인 경우 a 및 a만 요소로 포함하는 집합 {a}이(가) 있다. a와 b가 도메인의 두 개 개체인 경우, 항상 요소 a와 b로 포함된 집합 {a, b}이(가) 존재하지만 둘 다와 구별되는 개체 x는 존재하지 않는다." 쌍의 공리를 참조하십시오.

AXIOM III. 분리의 공리(Axiom der Aussonderung) "제안함수 -(x)가 설정된 M의 모든 요소에 대해 정의될 때마다, M은 -(x)가 참인 M의 요소 x를 정확하게 포함하는 부분집합 M'을 갖는다."

AXIOM IV. 전원 집합의 공리(Axiom der Potenzmenge) "모든 집합 T에는 T의 모든 하위 집합이 정확하게 원소로 포함된 T의 전원 집합인 집합 T'가 있다."

조합의 AXIOM V. Axiom V. Axiom der Vereinigung) "모든 집합 T에 T의 조합인 집합 ∪T가 있으며, 이 조합은 T의 모든 요소들을 정확하게 원소로 포함하고 있다."

AXIOM VI. 선택공리(Axiom der Auswahl) "T가 모든 요소가 ∅과 다르고 상호적으로 분리된 집합인 경우, 그것의 조합 ∪T는 T의 각 요소와 공통되는 하나 이상의 한 부분집합 S를₁ 포함한다."

AXIOM 7세 무한대의 공리(Axiom des Unendlichen) "영원한 세트를 원소로 포함하고 각 원소에 대해 {a} 형식의 추가 원소와 일치하도록 구성된 적어도 하나의 세트 Z가 도메인에 존재한다. 즉, 각 원소와 함께 해당 세트 {a}도 원소로 포함한다."

표준 집합 이론과의 연결

가장 널리 사용되고 수용된 집합 이론은 ZFC로 알려져 있는데, Zermelo-Fraenkel 집합 이론으로 구성되며 선택 공리가 추가된다. 그 연결고리들은 제르멜로 이론의 공리가 어디에 해당하는지를 보여준다. 「초등 세트」와 정확히 일치하는 것은 없다.(나중에 싱글톤 세트가 현재 「쌍의 축」이라고 불리는 것에서 파생될 수 있다는 것이 밝혀졌다. a가 존재하면 a와 a가 존재하므로 {a,a}이(가) 존재하므로 확장성 {a,a} = {a}). 빈 집합 공리는 이미 무한의 공리에 의해 상정되어 있으며, 현재는 그 일부로 포함되어 있다.

저멜로 집합론은 대체와 규칙성의 공리를 포함하지 않는다. 대체의 공리는 제르멜로의 공리가 세트 {Z₀, Z, Z₁₂, Z, ...의 존재를 증명할 수 없다는 것을 독자적으로 발견한 아브라함 프라운켈과 토랄프 스콜렘에 의해 1922년에 처음 발표되었다.} 여기서 Z는₀ 자연수의 집합이고 Z는_n+1 Z의_n 파워 집합이다. 이를 증명하기 위해서는 교체의 공리가 필요하다는 것을 두 사람 모두 깨달았다. 이듬해, 존 폰 노이만은 이 공리가 그의 서수 이론을 구축하는데 필요하다고 지적했다. 규칙성의 공리는 1925년 폰 노이만이 진술했다.^[1]

현대 ZFC 시스템에서는 분리의 공리에서 언급된 "proprival function"을 "파라미터가 있는 1차 공식으로 정의할 수 있는 모든 속성"으로 해석하기 때문에 분리 공리는 공리 스키마로 대체된다. '첫 번째 순서 공식'이라는 개념은 1908년 제르멜로가 자신의 공리 체계를 발표하면서 알려지지 않았고, 이후 그는 이 해석을 지나치게 제한적이라고 일축했다. 제르멜로 집합론은 보통 분리 공리가 각 1차 공식에 대해 공리가 있는 공리 체계로 대체되는 1차 이론으로 받아들여진다. 이제 분리 공리가 하나의 공리에 불과한 2차 논리에서도 이론으로 간주할 수 있다. 제르멜로 세트 이론의 2차 해석은 아마도 제르멜로 자신의 그 개념에 더 가깝고, 1차 해석보다 더 강하다.

ZFC 집합 이론의 통상적인 누적 계층 구조 V(서수 α의 경우)에서_α, 첫 번째 무한 서수 Ω(예_ω·2: V)보다 큰 한계 서수 α에 대한_α V 설정 중 하나가 제로멜로 집합 이론의 모델을 형성한다. 그래서 제르멜로 세트 이론의 일관성은 ZFC 세트 이론의 정리인 것이다. 로 모델 Vω·2 같은 추기경들 포함되어 있지 않으면 체르 멜로의 공리,.(홍관조들은으로 추기경들과 ordinals의 평소 정의는 매우 잘 작동하지 않는다 다르게 체르 멜로 집합론에서 정의:평소 정의와 그것은 심지어 월의 존재를 증명할 수 없다 ℵω이나 더 큰 무한한 추기경들의 존재를 의미하지 않는다.e는 ordinal Ω2.)

무한의 공리는 이제 보통 최초의 무한 폰 노이만 서수날 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}}$의 존재를 주장하도록 수정된다$;$ 원래의 제르멜로 공리는 이 집합의 존재를 증명할 수 없으며, 수정된 제르멜로 공리도 무한의 공리를 증명할 수 없다. 제로멜로의 공리(원래 또는 수정)는 $집합$으로서 ${\displaystyle V_{}}$ Ω$${\$displaystyle$ V_${\\omega$}}의$$ 존재나 무한 지수를 갖는 집합의 누적 계층의 어떤 순위도 증명할 수 없다.

제르멜로는 정해진 원소가 없고 어떤 요소도 포함하지 않는 요소들의 존재를 허용하고 있다; 이것들은 일반적으로 정해진 이론에서 생략된다.

맥레인 세트 이론

맥레인(1986)이 도입한 맥레인 세트 이론은 분리라는 공리가 모든 정량자가 경계를 이루는 1차 공식으로 제한되는 제르멜로 세트 이론이다. 맥레인 세트 이론은 자연수 객체를 가진 토포스 이론이나 프린시비아 수학의 체계와 강도가 비슷하다. 세트 이론이나 논리와 직접 연결되지 않은 거의 모든 일반적인 수학들을 수행할 수 있을 정도로 충분히 강하다.

제르멜로 논문의 목적

도입부에서는 집합론 규율의 바로 그 존재에 대해 "어떤 모순이나 "반론"에 의해 위협받을 수 있으며, 그 원칙에서 파생될 수 있는 것 - 반드시 우리의 사고를 지배하는 원리 - 그리고 아직 완전히 만족스러운 해결책이 발견되지 않은 것"이라고 기술하고 있다. Zermelo는 물론 "Russell Antiomy"를 언급하고 있다.

그는 게오르크 칸토어와 리처드 데데킨드의 원론이 어떻게 몇 가지 정의와 일곱 가지 원칙이나 공리로 축소될 수 있는지를 보여주고 싶다고 말한다. 그는 공리가 일관성이 있다는 것을 증명할 수 없었다고 말한다.

그들의 일관성에 대한 비구축적 주장은 다음과 같다. 다음과 같이 0, 1, 2, ..., Ω, Ω+1, Ω+2, ..., Ω·2 중 하나에 대해 V를_α 정의하십시오.

• V는₀ 빈 세트다.
• α 형식의 후속인 β+1의 경우, V는_αβ V의 모든 하위 집합의 집합으로 정의된다.
• α의 경우 한계(예: Ω, Ω·2)에 대해 V는_α β<α에 대한 V의_β 결합으로 정의된다.

그렇다면 Zermelo set 이론의 공리는 모델 V에서_ω·2 사실이기 때문에 일치한다. 비건설주의자는 이것을 유효한 주장으로 간주할 수 있지만, 구성주의자는 아마도 그렇지 않을 것이다: V로_ω 설정되는 설정의 구성에 문제가 없지만, V의_ω 모든 하위 집합을 건설적으로 정의할 수 없기 때문에 V의_ω+1 구성이 덜 명확하다. 이 주장은 단순히 V가_ω·2 존재한다는 것만으로 제로멜로 집합 이론에 무한대의 새로운 공리 하나를 더하면 유효한 증거로 바뀔 수 있다. 이것은 아마도 구성주의자로서는 설득력이 없는 것으로 추측되지만, 그것은 제로멜로 집합론의 일관성을 제로멜로 이론 그 자체와 크게 다르지 않은 이론으로 증명할 수 있다는 것을 보여준다, 다만 조금 더 강력한 이론일 뿐이다.

분리의 공리

제르멜로는 자신의 시스템의 악시오 3세가 반물질을 제거하는데 책임이 있다고 말한다. 칸토어의 원래 정의와는 다음과 같이 다르다.

집합은 임의의 논리적으로 정의 가능한 개념으로 독립적으로 정의할 수 없다. 이전에 구성된 세트에서 어떤 방식으로든 구성되어야 한다. 예를 들어, 파워셋을 가져와서 만들 수도 있고, 이미 "주어진" 세트의 하위 집합으로 분리될 수도 있다. 이것은 "모든 집합의 집합"이나 "모든 서수들의 집합"과 같은 모순된 생각을 없애준다고 그는 말한다.

그는 이 정리를 통해 러셀 패러독스를 논박한다: "$매{\displaystyle }$ 세트 M$${\$displaystyle$M}은(는$)$M {\$displaystyle$ M}의$$ 요소가 아닌 적어도 하나의 $서브셋{\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ $M_{0}$을(를) 가지고 있다.$$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 0$$${\displaystystylem$ M$}$의 서브셋은$$ AX로 $한다$.IOM III는 "${\displaystyle }$∉ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$\notin$ x$}"$라는 개념으로 구분된다.$$ 그러면 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 있을 수 없음$$$.$

1. $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${0}$에 M ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\${0}}이$$ 있는 경우$,$ M ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) x에 있는 요소 x를 포함하며$$, $이$는 M ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 정의와 모순된다$.$
2. If ${\displaystyle M_{0}}$ is not in ${\displaystyle M_{0}}$, and assuming ${\displaystyle M_{0}}$ is an element of M, then ${\displaystyle M_{0}}$ is an element of M that satisfies the definition "${\displaystyle x\notin x}$", and so is in ${\displaystyle M_{0}}$ which는 모순이다.

따라서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 M ${\displaystyle M}$이(가) 있다고$$ 가정하는 것은 잘못되어$$ 정리를 증명한다. 따라서 범용 영역 B의 모든 개체가 동일한 집합의 요소가 될 수 있는 것은 아니다. "이것은 우리가 아는 한 러셀 항모술에 관한 것이다."

이것은 무언가를 가리키는 것처럼 보이는 "도메인 B"의 문제를 남겼다. 이로 인해 제대로 된 계급이라는 생각이 들었다.

칸토르의 정리

제르멜로의 논문은 "칸토르의 정리"라는 이름을 가장 먼저 언급한 것일지도 모른다. 칸토어의 정리 : "M이 임의의 집합이라면, 항상 M < P(M) [M의 동력 집합]. 모든 세트는 하위 세트 세트보다 카디널리티가 낮다."

제르멜로는 함수 φ: M → P(M)를 고려하여 이를 증명한다. Axiom III에 의해 다음과 같은 집합 M'을 정의한다.

M' = {m: m ∉ φ(m)}.

그러나 M의 어떤 요소 m'도 M' , 즉 φ(m' ) = M'과 일치할 수 없다. 그렇지 않으면 우리는 모순을 구성할 수 있다.

1) m'이 M'이면 정의상 m' ∉(m' ) = M'으로 모순의 첫 번째 부분이다.

2) m'이 M'에 있지 않고 M에 있는 경우, 정의상 m' ∉ M' = φ(m')은 m'이 M'에 있다는 것을 의미하며, 이는 모순의 두 번째 부분이다.

그래서 모순 m'은 존재하지 않는다. 이 증거가 제르멜로가 러셀의 역설을 반박하는 방식과 매우 유사하다는 것을 주목하라.

참고 항목

• S (set 이론)

참조

• Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought, Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Mac Lane, Saunders (1986), Mathematics, form and function, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, MR 0816347.
• 체르 멜로, 에른스트(1908년),"Untersuchungen 1세 Grundlagen 해부 Mengenlehre 죽über", Mathematische Annalen, 65(2):261–281, doi:10.1007/bf01449999, S2CID 120085563.영어 번역:Heijenoort, 장 밴(1967년),"집합론의 기반에 수사", 프레게 괴델까지:소스 책 수학 논리에, 1879-1931, 소스 북스는 과학, 하버드 대학교의 역사에.출판부를 대신하여 서명함. 199–215, 아이 에스비엔 978-0-674-32449-7.