보어 반지름

보어 반지름

기호	a0Bohr 또는 r
이름을 따서 명명됨	닐스 보어
근사치(의미 3자리까지)
SI 단위	5.29×10m−11
자연 단위	3.27×1024 ℓP

보어 반지름 (a₀)은 물리적 상수로, 지상 상태의 수소 원자에서 핵 및 전자 사이의 가장 가능성이 높은 거리와 거의 같다. 그것은 원자의 보어 모델에서의 역할 때문에 닐스 보어의 이름을 따서 명명되었다. 값은 5.29177210903(80)×10m이다⁻¹¹.^[1][2]

정의와 가치

보어 반경은 다음과 같이 정의된다^[3].

어디에

• ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 자유 공간의 허용률이며,
• ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) Plank 상수 감소,
• ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$은(는) 전자의 질량이다.
• ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$이(가) 기본 충전이고
• ${\displaystyle c}$ $[\displaystyle c}$은(는) 진공에서 빛의 속도,
• ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) 미세조정 상수다.

보어 반지름(SI 단위)의 CODATA 값은 5.29177210903(80)×10m이다⁻¹¹.^[1]

역사

1913년 닐스 보어(Niels Bohr)가 내놓은 원자구조 보어(Bohr) 모델에서 전자는 정전기 끌어당김 아래에서 중심핵을 공전한다. 원래 파생은 감소된 플랑크 상수의 정수 배수로 전자가 궤도 각도 운동량을 가지며, 이는 방출 스펙트럼의 이산 에너지 수준 관측과 성공적으로 일치하며, 이들 수준 각각에 대해 고정 반경을 예측하는 것으로 가정했다. 가장 단순한 원자에서는 수소, 하나의 전자가 핵 주위를 공전하며, 가장 낮은 에너지를 가진 그 가장 작은 궤도는 보어 반경과 거의 같은 궤도 반경을 가지고 있다. (정확히 질량효과의 감소로 인한 보어 반경은 아니다. 0.05% 정도 차이가 난다.)

원자의 보어 모델은 1926년에 발표된 슈뢰딩거 방정식에 따르는 전자 확률 구름으로 대체되었다. 이것은 미세한 구조와 초미세 구조를 만들기 위해 스핀과 양자 진공 효과에 의해 더욱 복잡하다. 그럼에도 불구하고 보어 반지름 공식은 기본 상수와의 단순한 관계 때문에 원자물리학 계산에서 중심적인 위치를 유지하고 있다(이 때문에 위에서 언급한 바와 같이 감소된 질량보다는 진정한 전자 질량을 사용하여 정의된다). 이와 같이 원자 단위로 길이의 단위가 되었다.

슈뢰딩거의 수소원자에 대한 양자기계론에서 보어 반경은 전자 위치의 방사형 좌표에서 가장 가능성이 높은 값을 나타내며, 따라서 핵에서 가장 가능성이 높은 전자의 거리를 나타낸다.^[4]

관련단위

전자의 Bohr 반경은 3개의 관련 단위 길이 중 하나이며, 나머지 2개는 전자 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ e ${\${\$mathrm{e}}}$의 콤프턴 ${\displaystyle {파장}_{}}$이다$.$ 보어 반경은 전자 질량 m ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 플랑크의 $상수{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \hbar},$ 전자 $전하{\displaystyle }$ e$${\$displaystyle e}$에서 생성된다$.$ 콤프턴 파장은 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\${$${\$displaystyle \hbar$}, 그리고$$ 라이트 $c$의 속도$${\$displaystyle c}$에서 만들어진다$.$ 고전적 전자 반지름은 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle m_{\mathrm {e$ $c{\displaystyle }${\$displaystyle$c}, $e{\displaystyle }${\$displaystyle e}$로 구성된다$.$ 이 세 가지 길이 중 어느 하나라도 미세구조 상수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을 사용하여 다른 면으로 작성할 수 있다$.$

${\displaystyle r_{\mathrm{e}}}=\frac {\fractda _{\mathrm {e}}}}}{2\pi }}}\mathrm ^{2}a_{0}.}$

보어 반경은 고전적인 전자 반지름보다 약 19,000배 크다(즉, 원자의 공통 척도는 앵스트롬인 반면 입자의 척도는 펨토미터인 것이다). 전자의 콤프턴 파장은 보어 반지름보다 약 20배 작으며, 고전적인 전자 반경은 전자의 콤프턴 파장보다 약 1000배 작다.

수소 원자 및 유사 시스템

수소 원자의 질량 감소 효과를 포함한 보어 반지름은 다음과 같다.

${\displaystyle \ a_{0}^{*}\ = {\frac {m_{\text{e}}{\mu }}}{\mu }a_{0}}}$

여기서 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle m\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{m_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{e_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}{e}_{}}}$ + m ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}${\$displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}}{m_{$e}+$m_${p$}}}{p$}}}{p}}}}}}{p}$}}}}$은 전자-프로톤 시스템의 감소된 질량이다(${\displaystyle m_{}}$ p ${\$$}).$ 감소된 질량의 사용은 우리가 궤도를 선회하는 신체의 질량에 비해 궤도를 선회하는 신체의 질량이 무시할 수 있다는 근사치 밖에 있을 때 고전적인 2체질 문제의 일반화다. Since the reduced mass of the electron–proton system is a little bit smaller than the electron mass, the "reduced" Bohr radius is slightly larger than the Bohr radius (${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$ meters).

이 결과는 시스템의 감소된 질량을 사용하고 가능한 담당 변화를 고려함으로써 양전자(양전자 궤도를 도는 전자)와 무오늄(반무온 궤도를 도는 전자)과 같은 다른 시스템으로 일반화될 수 있다. 전형적으로 보어 모델 관계(라디우스, 에너지 등)는 단순히 전자 질량을 시스템의 감소된 질량으로 교체하는 것만으로(적절한 경우 충전량을 조절하는 것뿐만 아니라) 이러한 이국적인 시스템(최저 순서까지)에 대해 쉽게 수정할 수 있다. 예를 들어 포지트로늄 시스템의 감소된 질량이 전자 질량의 절반(${\displaystyle {\mu e{}^{}}_{}}$-${\displaystyle {{}^{}}_{}}$, ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$+${\displaystyle {{}^{}}_{}}$= ${\displaystyle m\mathrm{}}$ e /${\displaystyle {}_{}}$2$${\$displaystyle \mu _{\text{e}^{-},{\text{e$}^+}}{\text{{e$}^}}}}=m_{\text{e/2}})$이기 때문에 포지트로늄의 반경은 ${\displaystyle {대략\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$이다$.$$$

수소 같은 원자는 ${\displaystyle {주로}_{}}$ r $Z{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$로 스케일되는 보어 반경을 가지며$,$ 핵에 있는 양성자의 수는$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$이다. 한편, 감소된 질량(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$)은 핵 질량을 증가시키는 한계에서$$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$만큼만 더 잘 근사하게 된다. 이 결과는 방정식에 요약되어 있다.

${\displaystyle r_{Z,\mu }\}\{\frac {m_{e}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}}.}$

대략적인 관계의 표는 다음과 같다.

시스템	반지름
수소	${\displaystyle 1.00054\,a_{0}}$
포시트로늄	${\displaystyle 2a_{0}}$
무오늄	${\displaystyle 1.0048\,a_{0}}$
그+	${\displaystyle a_{0}/2}$
리2+	${\displaystyle a_{0}/3}$

참고 항목

• 보어 마그네톤
• 뤼드베르크 에너지

참조

외부 링크

• 물리학의 길이 척도: 보어 반지름