특성 이론

수학에서, 더 구체적으로 그룹 이론에서, 그룹 표현의 특성은 각 그룹 요소에 해당하는 매트릭스의 추적을 연관시키는 그룹의 함수다. 등장인물은 표현에 관한 필수적인 정보를 보다 축약된 형태로 전달한다. 게오르크 프로베니우스는 처음에 등장인물에 전적으로 기초하여 어떠한 명시적 행렬 자체의 표현 실현 없이 유한 집단의 표현 이론을 개발했다. 이것은 유한집단의 복잡한 표현은 그 성격에 의해 결정되기 때문에 가능하다. 긍정적 특성, 이른바 '모듈적 표현'이라는 분야를 둘러싼 표현력이 있는 상황은 더욱 섬세하지만, 리처드 브라워는 이 경우에도 강력한 캐릭터 이론을 발전시켰다. 유한집단의 구조에 관한 많은 깊은 이론들은 모듈화 표현들의 문자를 사용한다.

적용들

수정할 수 없는 표현들의 문자는 집단의 많은 중요한 속성을 나타내며 따라서 그 구조를 연구하는 데 사용될 수 있다. 성격 이론은 유한한 단순 집단의 분류에 필수적인 도구다. Feit의 증거의 절반에 가깝다.톰슨 정리에는 인물값과 함께 복잡한 계산이 수반된다. 더 쉽지만 그래도 본질적인 성격 이론을 이용한 결과로는 번사이드의 정리(번사이드의 정리에 대한 순전히 집단 이론적 증명서가 그 이후 발견되었지만 그 증거는 번사이드의 원래 증명 이후 반세기가 넘게 나왔다)와 유한한 단순 집단은 일반화할 수 없다는 리처드 브라워와 미치오 스즈키 등의 정리 등이 있다.quaternion group을 Sylow 2-subgroup으로 한다.

정의들

$V$ 를 필드 $F$ 위에 유한차원 벡터공간으로 하고 $ρ$ : $G$ → $GL(V)$ 을 $V$ 에 있는 그룹 $G$ 의 표현으로 한다. $ρ$ 의 문자는 $χ ρ$ : G → $F$ 가 부여한 함수다.

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr}(\rho (g))

$TR$ 이 추적하는 곳이지

문자 $χ$ 은_ρ $ρ$ 이 ir이 ir을 red할 수 없는 표현이라면 ir은 ir을 unreducable 또는 simple이라고 부른다. 문자 $χ$ 의 정도는 $ρ$ 의 치수인데, 특성 0에서는 χ의 값 $χ$ (1 $)$ 과 같다 $.$ 정도 1의 문자를 선형이라고 한다. $G$ 가 유한하고 $F$ 가 특성 0을 갖는 경우, 문자 $χ$ 의_ρ 커널은 정상 부분군이다.

\displaystyle \cher \chi \{\rho }=\왼쪽\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho (1)\right\rbrace ,}

정확히 표현 $ρ$ 의 낟알이다. 그러나 등장인물은 일반적으로 집단 동형주의가 아니다.

특성.

캐릭터는 클래스 함수, 즉 그들은 각각 주어진 결합 클래스에서 일정한 값을 취한다. 보다 정확히 말하면, 주어진 그룹 $G$ 의 불가해한 문자 집합을 필드 $K$ 로 설정하면 모든 클래스 $함수$ G → $K$ 의 K-벡터 공간의 기초가 된다.
이형 표현은 동일한 문자를 가지고 있다. 특성 $0$ 의 대수적으로 닫힌 영역에 걸쳐 반실행 표현은 동일한 특성을 가진 경우에만 이형성이다.
대표성이 하위 대표성의 직접적인 합계인 경우, 해당 문자는 해당 하위 대표들의 문자의 합이다.
유한군 $G$ 의 문자를 부분군 $H$ 로 제한하면 그 결과도 $H$ 의 특성이 된다.
모든 문자 값 $χ (g)$ 은 단결의 $n$ m-th 루트의 합으로, $여기$ 서 n은 문자 $χ$ 으로 표현되는 정도(즉, 관련 벡터 공간의 치수)이고 $m$ 은 $g$ 의 순서다. 특히 $F$ = $C일$ 때 그러한 모든 문자 값은 대수 정수다.
$만약$ F = $C$ 와 $χ$ 이 rereducable이라면,

[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi(x)}{\chi(1)}

모든

x

의 G에 대한 대수 정수다.

$만약$ F가 대수적으로 닫히고 $char (F)$ 가 $G$ 의 순서를 나누지 않는다면 $G$ 의 수정 불가능한 문자 수는 $G$ 의 결합 등급 수와 같다. 더욱이 이 경우, 해독할 수 없는 문자의 정도는 $G$ 의 순서의 구분자( $F$ = $C$ 인 경우 $[G$ : $Z (G)]$ 까지 나눈다.

산술 속성

ρ과 σ을 $G$ 의 표상이 되게 하라. 그러면 다음과 같은 정체성이 유지된다.

\chi _{\rho \oplus \ma }=\chi _{\rho }+\chi _{\chma }}}}

\chi _{\rho \ot \chi _{\rho }=\chi _{\rho \cdot \chi _{\cdma }}}}}}}

\chi _{\rho ^{*}={\\overline {\chi _{\rho }}}

\chi _{\scriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}:\rho }(g)={\tfrac {1}{1}2}}\!\left[\chi _{\rho }(g)\right]^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}

\chi_{\scriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}\}}(g)={\tfrac {1}{1}2}}\\!\left[\chi _{\rho }(g)\right]^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}

여기서 $ρ \oplus σ$ 은 직접합, $ρ \otimes σ$ 은 텐서제품, $ρ$ 은^∗ $ρ$ 의 결합 전이를 나타내며, $Alt$ 는² ρ의 교대형 제품 $Altρ 2 = ρ$ ρ $ρ$ $and 2$ , Sym은 대칭 제곱으로 결정된다.

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

= = (

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

∧

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

)

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

)

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

2

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

{\

displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\plus {\textrum}{2

}^{2

}\rho

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho

문자표

유한집단의 불가해한 복합문자는 그룹 $G$ 에 대한 많은 유용한 정보를 콤팩트한 형태로 인코딩하는 문자표를 형성한다. 각 행은 수정할 수 없는 표현으로 표시되며 행의 항목은 $G$ 의 각 결합 등급에 있는 표현 문자로 표시된다. 그 기둥들은 $G$ 의 결합 등급에 의해 라벨로 표시된다. $g\in G$ 번째 행은 representation $g\in G$ $g\\in G$ 에 대해 $\rho (g)=1$ $\rho (g)=1$ ( $\rho (g)=1$ ) $\rho (g)=1$ = 1 $\rho (g)=1$ 에 의한 1차원 벡터 공간에 대한 $G$ 의 사소한 작용으로 라벨을 붙이는 것이 관례다 $g\in G$ 따라서 첫 번째 행의 각 항목은 1이다. 마찬가지로, 첫 번째 칸에 정체성을 붙이는 것이 관례다. 따라서 첫 번째 열에는 각 수정 불가능한 문자의 정도가 수록되어 있다.

여기 의 문자표가 있다.

C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\angle ,

세 개의 원소와 발전기를 가진 순환 그룹 u:

	$(1)$	$(u)$	$(u 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

여기서 $Ω$ 은 단결의 원초적인 제3의 근원이 된다.

문자표는 언제나 정사각형이다. 왜냐하면 수정 불가능한 표현들의 수는 결합 계층의 수와 같기 때문이다.^[1]

직교 관계

유한군 $G$ 의 복합 값 클래스 함수의 공간은 자연적인 내적 산출물을 가지고 있다.

\left\langle \alpha ,\beta \rigle :={\frac {1}{{G}\sum _{g\in G}\alpha(g){\overline {\beta(g)}}

여기서 $β (g)$ 는 $β (g$ )의 복합 결합물이다 $.$ 이 내부 제품과 관련하여, 수정 불가능한 문자는 클래스 기능의 공간에 대해 정형화된 기준을 형성하며, 이는 문자 테이블의 행에 대해 정형성 관계를 산출한다.

\left\langle \chi _{i}\chi _{j}\right\angle ={\case}0&{\mbox{{}i\neq j,\1&{\mbox{{{}i=j인 경우.\end{case}}

$g,$ $h$ in $G$ 의 경우, 문자표 열에 동일한 내부 제품을 적용하면 다음과 같은 결과가 나온다.

\sum _{\chi _{i}\i}(g){\cHI _{i}}}}}={\begin{case}}\왼쪽 C_{G}(g)\right,&{\mbox{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{mbox}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{case}

여기서 합계가 $G$ 의 모든 수정 불가능한 문자 $χ$ 과_i 기호 $C G (g)$ 는 $g$ 의 중앙집중기 순서를 나타낸다. $g$ 와 $h$ 가 문자표의 같은 열에 있으면 결합되기 때문에 문자표의 열이 직교임을 의미한다.

직교관계는 다음을 포함한 많은 계산을 도울 수 있다.

알 수 없는 문자를 해독할 수 없는 문자의 선형 조합으로 분해.
복구할 수 없는 일부 문자만 알려진 경우 전체 문자 표 구성.
그룹의 결합계급 대표자 중심자의 순서 찾기.
그룹 순서 찾기.

문자 테이블 속성

$그룹$ G의 특정 속성을 문자표에서 추론할 수 있다.

$G$ 의 순서는 첫 번째 열의 항목(수정할 수 없는 문자의 정도)의 제곱합에 의해 주어진다. (유한 그룹의 표현 이론#슈어의 보조정리 적용 참조) 보다 일반적으로, 어떤 열에 있는 항목의 절대값의 제곱합은 해당 결합 등급의 요소의 중심자 순서를 제공한다.
$G$ 의 모든 정상 부분군(따라서 $G$ 가 단순한지 여부)은 문자표에서 인식할 수 있다. 문자 $χ$ 의 낟알은 $G$ 에 있는 $원소$ g의 집합으로 $, g (g$ ) = $((1$ )은 $G$ 의 정상 부분군이다. $G$ 의 각 정상 부분군은 $G$ 의 일부 낟알의 교차점이다.
$G$ 의 정류자 부분군은 $G$ 의 선형 문자의 커널의 교차점이다.
$G$ 가 유한하면 문자표가 사각형이고 결합 등급만큼 행이 많으므로 각 $결합$ 등급이 단일톤이면 G가 아벨리안(abelian)이고 G의 문자표가 G $|G|\!\times \!|G|$ $|G|\!\times \!|G|$ $displaystyle$ G $\!\times$ \! G $}$ 이면 $|G|\!\times \!|G|$ $G$ 가 Abelian이다.
모듈형 표현 이론의 리차드 브라워의 일부 결과를 이용하여 유한집단의 각 결합계급의 원소 순서에 대한 주요한 구분자를 문자표(그레이엄 히그먼의 관찰)에서 추론할 수 있다는 것을 그 뒤에 따른다.

문자표는 일반적으로 이형성까지의 집단을 결정하지 않는다. 예를 들어, 쿼터니온 그룹 $Q$ 와 $8개$ 원소의 이형성 그룹 $D$ 는₄ 동일한 문자표를 가지고 있다. 브라워는 캐릭터 테이블이 그것의 결합 계급의 요소들의 힘이 어떻게 분배되는가에 대한 지식과 함께, 이소모르피즘에 이르는 유한 집단을 결정하느냐고 물었다. 1964년 E. C. 데이드에 의해 부정적으로 답변되었다.

$G$ 의 선형 표현 자체는 1차원 벡터 공간의 텐서 생성물이 다시 1차원이기 때문에 텐서 생성물 아래의 집단이다. 즉, $\rho _{1}:G\to V_{1}$ $\rho _{1}:G\to V_{1}$ : $\rho _{1}:G\to V_{1}$ → V $\rho _{1}:G\to V_{1}$ ${\$ $G\to V_{1$ } 및 $\rho _{1}:G\to V_{1}$ $\rho _{2}:G\to V_{2}$ $\rho _{2}:G\to V_{2}$ : $\rho _{2}:G\to V_{2}$ → $\rho _{2}:G\to V_{2}$ 2 ${\$ $G\to V_{2}}$ are linear representations, then $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ defines a new linear representation. 이렇게 되면 연산 하의 문자 그룹이라 불리는 선형 문자 그룹 $[χ1$ ] ] $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ ( $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ )이 생긴다 $.$ $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ ] ] ] ] ] ] ] $2$ 2 ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] 이 그룹은 디리클레 문자 및 푸리에 분석과 연결되어 있다.

유도 캐릭터와 프로베니우스 상호주의

이 절에서 논하는 문자는 복합적인 가치로 가정한다. $H$ 를 유한집단 $G$ 의 하위집단으로 하자. $G$ 의 문자 $χ$ 을 주어, $H H$ . 페르디난드 게오르크 프로베니우스는 $H$ . 페르디난드 게오르크 프로베니우스의 성격으로 현재 프로베니우스 상호주의라고 알려진 것을 이용하여 $θ$ 에서 $G$ 의 성격을 구성하는 방법을 보여주었다. $G$ 의 불분명한 문자는 $G$ 의 복합적인 가치 클래스 함수의 공간에 대해 정형화된 기초를 형성하기 때문에, $G$ 의 고유한 클래스 함수 $θ$ 이^G 있고 그 속성은 G의 고유한 클래스 함수 θ이 있다.

\langle \langle \theta ^{G},\chi \langle \langle _{G}=\langle \theta,\chi _{H}\angle _{H}}}}}}}

$G$ 의 각 불가해한 문자 $χ$ 에 대하여 (최좌측 내측 제품은 $G$ 의 클래스 기능을 위한 것이고, 우측 내측 제품은 $H$ 의 클래스 기능을 위한 것이다.) 부분군 $H$ 에 $대한$ G의 문자의 제한은 $다시$ H의 문자이므로, 이 정의는 $θ$ 은^G $G$ 의 해독 불가능한 문자의 비음수 정수 조합이므로, 실제로 $G$ 의 문자임을 분명히 한다. $θ$ 에서 유도된 $G$ 의 성격으로 알려져 있다. 프로베니우스 상호주의 정의 공식은 일반적인 복합 가치 클래스 함수로 확장될 수 있다.

$H$ 의 행렬표현 $ρ$ 을 받은 프로베니우스는 후에 $ρ$ 에서 유도된 표현으로 알려진 $G$ 의 행렬표현을 구성하고, $ρ$ 과^G 유사하게 쓰여지는 명시적인 방법을 제시하였다. 이로 인해 유도 문자 $θ$ 에^G 대한 대체 묘사로 이어졌다. 이 유도된 특성은 $H$ 의 어떤 요소에도 결합되지 $않는$ G의 모든 요소에서 사라진다. 유도된 특성은 $G$ 의 클래스 함수이기 때문에, $이제$ 서야 H의 요소에 대한 그것의 가치를 설명할 필요가 있다. 만약 누군가가 $G$ 를 $H$ 의 오른쪽 코세트의 분리 결합으로 쓴다면, 다음과 같이 말한다.

G=Ht_{1}\cup \dots \cup Ht_{n}}

$H$ 의 원소 $h$ 에 따라 다음과 같은 결과를 얻는다.

\theta \{G}(h)=\sum _{i\\={i}^{-1}\in H}\teta \left(t_{i_{i}ht}).

$θ$ 은 $H$ 의 클래스 함수이기 때문에, 이 값은 코제트 대표의 특정한 선택에 좌우되지 않는다.

유도된 문자에 대한 이러한 대체적인 설명은 $때때로$ G에 $H$ 가 내장된 것에 대한 비교적 적은 정보로부터 명시적인 계산을 허용하며, 종종 특정 문자표의 계산에 유용하다. $θ$ 이 $H$ 의 사소한 문자일 때, 유도된 문자를 $G$ 의 순열 문자( $H$ 의 코세트에 있음)라고 한다.

인성유도술과 후기 정련술의 일반적 기법은 프로베니우스 자신뿐만 아니라 에밀 아르틴, 리처드 브라워, 월터 페이트, 미치오 같은 수학자들의 손에서 유한집단 이론과 수학의 다른 곳에서 수많은 응용을 발견했다.

매키 분해

맥키 분해는 리 그룹이라는 맥락에서 조지 맥키에 의해 정의되고 탐구되었지만 유한 집단의 성격 이론과 표현 이론에서 강력한 도구다. 그것의 기본 형태는 유한 그룹 $G$ 의 부분군 $H$ 에서 유도된 문자(또는 모듈)가 $G$ 의 제한에서 G의 (아마도 다른) 부분군 $K$ 로 되돌아가는 방식으로 작용하고 $G$ 를( $H,$ $K)-$ 더블 코세트로 분해하는 방법을 사용한다.

$G=\bigcup _{t\in T}HtK$ G = $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ t $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ t $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ H $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ K $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ {\ $displaystyle$ G $=\bigcup _{t\in$ T} $HTK}$ 이 $G=\bigcup _{t\in T}HtK$ (가) 분리 결합이고, $θ$ 이 $H$ 의 복잡한 클래스 함수라면, Mackey의 공식은 다음과 같이 말한다.

\left(\theta ^{G}\오른쪽)_{K}=\sum_{t\in T}\left(\teta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K}

여기서 $θ$ 은^t $h$ 의 모든 $h$ 에 대해 $θ t (tht -1)$ = $θ (h)$ 로 정의되는 $tHT$ 의⁻¹ 클래스 함수다. 유도 모듈을 하위그룹으로 제한하는 것과 유사한 공식이 있는데, 이 공식은 어떤 링에 대한 표현을 위해 유지되며, 다양한 대수학적 및 위상학적 맥락에서 응용된다.

Mackey 분해는 Probenius 상호주의와 결합하여 각각의 $하위집단$ $H$ 와 K에서 유도된 $θ$ 과 $ψ$ 의 두 가지 등급 함수인 내생물에 대해 잘 알려져 있고 유용한 공식을 산출하는데, 그 효용은 $H$ 와 $K$ 의 결합체가 서로 어떻게 교차하는가에 달려 있다는 사실에만 있다. 공식(그 유래 포함)은 다음과 같다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle&=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&, =\sum \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\& _{Tt\in}\left\langle,=\sum _{Tt\in}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{)}Ht\cap K},\psi _{t^{)}H.t\cap K}\right\rangele ,\end{aigned}}

(여기서 $T$ 는 이전과 같이 ( $H,$ $K)-$ 이중 코제트 대표자 전집합이다.) 이 공식은 $θ$ 과 $ψ$ 이 선형 문자일 때 자주 사용되는데, 이 경우, $θ$ 과^t ψ의 선형 문자 θ과 $ψ$ 이 $tHt -1$ ∩ $K$ 와 동일한 제한을 갖는지에 따라 우측 합에 나타나는 모든 내측 제품이 1 $또는$ $0$ 이다. 만약 $θ$ 과 $ψ$ 이 둘 다 사소한 문자라면, 내적인 제품은 $T$ 로 단순화된다.

"뒤틀린" 치수

어떤 사람은 표현 문자를 벡터 공간의 "틀린" 차원으로 해석할 수 있다.^[2] 문자를 그룹 $χ (g$ ) 요소의 함수로 취급하면, $χ($ 1) = $Tr(ρ)($ 1) = $Tr(I V)$ = $딤(V$ )이기 때문에 ID에서의 값은 공간의 차원이다 $.$ 따라서 문자의 다른 값을 "틀린" 치수로 볼 수 있다.^{[clarification needed]}

문자나 표현에 관한 문장에서 차원에 관한 문장의 아날로그나 일반화를 찾을 수 있다. 이것의 정교한 예는 괴물집단의 무한한 차원적 표현 차원이며, 차원을 캐릭터로 대체하면 몬스터집단의 각 요소에 대한 맥케이-톰슨 시리즈가 나온다.^[2]

리 그룹과 리 알헤브라의 등장인물

$G$ ${\displaystyle G$ $}$ 이 $G$ (가 $)$ Lie 그룹이고 $\rho$ ${\$ $displaystyle$ $\rho}$ 의 $\rho$ 유한 치수 표현인 경우, $G$ $\rho$ ${\displaystyle \$ $chi _{\$ $rho }}$ 의 $\chi _{\rho }$ 문자 $\chi _{\rho }$ 은 다음과 같이 정확하게 정의된다 $\rho$ .

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

(

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

)

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

=

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

(

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

( g )

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

)

{\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr}(\rho (g

한편, ${\mathfrak {g}}$ ${\$ {\ $mathfak{g$ $}}$ 이 ${\mathfrak {g}}$ (가) 리 대수이고 $\rho$ ${\$ $\rho$ $}$ 의 $\rho$ 유한차원 표현이라면, ${\$ 을(가)로 $\chi _{\rho }$ 정의할 수 있다 ${\mathfrak {g}}$

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

(

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

)

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

=

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

(

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

(

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

)

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

)

{\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr}(e^{\rho (X

캐릭터가 $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ ( X $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ ) $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ = $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ ( X ) = $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ ( X $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ ) $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ {\ $displaystyle \chi$ _ ${\rho }(\operatorname {Ad} _{g})(X)$ 를 만족시킬 것이다. $=\chi _{\rho }(X)}$ for all $g$ in the associated Lie group $G$ and all $X\in {\mathfrak {g}}$ . If we have a Lie group representation and an associated Lie algebra representation, the character $\chi _{\rho }$ of the Lie algebra representation은 공식에 의한 그룹표현의 $\mathrm {X} _{\rho }$ X $\mathrm {X} _{\rho }$ {\ $displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$ 과(와) 관련이 있다.

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

(

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

)

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

=

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

(

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

)

{\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X

${\mathfrak {g}}$ g ${\$ 이 ${\mathfrak {g}}$ (가) Cartan subalgebra ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 과(와) 함께 복잡한 semisimplement Lie 대수라고 가정합시다 ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\$ ${\$ g {\ $displaystyle$ ${\mathfak{g}}}$ 의 $\chi _{\rho }$ $\rho$ ${\mathfrak {h}}$ ${\$ displaystyle $\rho }$ 문자 값은 h ${\$ 에 대한 값에 의해 결정된다 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 에 대한 문자의 제한은 다음과 같이 중량 공간 측면에서 쉽게 계산할 수 있다 ${\mathfrak {h}}$ .

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

(

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

)

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

=

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

m

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

e

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

( H ) , H

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

h

{\

{

h},

{h},

c

},},},

여기서 합계는 $\rho$ ${\$ $displaystyle \rho}$ 의 $\lambda$ 모든 가중치 ${\displaystyle$ $m_{\displayda }$ 을(를) 초과하며, $m_{\lambda }$ 서 $\rho$ m $\lambda$ {\ $displaystyle \lambda$ }의 곱이다 $m_{\lambda }$ $\lambda$ ^[3]

(의 ${\mathfrak {h}}$ h ${\$ 에 대한 제한) 문자는 Weyl 문자 공식으로 보다 명확하게 계산할 수 있다.

참고 항목

§ 이론물리학 및 화학에서의 불가해한 표현
연결 체계, 집단 문자 이론의 조합 일반화.
A가 소개한 클리포드 이론 . 1937년 H. Clifford는 유한집단 $G$ 의 복잡한 불가해한 문자를 정상 서브그룹 $N$ 으로 제한하는 것에 관한 정보를 산출한다.
프로베니우스 공식
Real element, 그룹 요소 g g(g)가 모든 문자에 대한 real number인 경우 χ

참조

^ 세레, 제2.5조
^ ^a ^b (Gannon 2006)
^ 홀 2015 제안서 10.12

제2강좌 Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.온라인.
Gannon, Terry (2006). Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics. ISBN 978-0-521-83531-2.
Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups (Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press. ed.). Dover. ISBN 978-0-486-68014-9.
James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00392-6.
Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 42. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380.

외부 링크

PlanetMath의 캐릭터.

[1] 세레, 제2.5조

[Gannon-2] (Gannon 2006)

[3] 홀 2015 제안서 10.12

[1]

[2]

[3]

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기타	주제용어의 면면적용 SUDOC(프랑스 1

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