체르누스급

수학에서 특히 대수 위상, 미분 기하학, 대수 기하학에서 체르누스 계급은 복잡한 벡터 번들과 관련된 특성계급이다. 그 후 그들은 물리학의 응용분야를 찾아냈다, 칼라비-야우 다양체, 끈 이론, 체르-시몬스 이론, 매듭 이론, 그로모프-위튼 불변성, 위상 양자장 이론, 체르누스 정리^{[citation needed]} 등

체르 수업은 시잉-센 체르(1946년)에 의해 도입되었다.

기하학적 접근법

기본적인 아이디어와 동기부여부

체른 수업은 특색 있는 수업이다. 그것들은 부드러운 다지관의 벡터 다발과 관련된 위상학적 불변물이다. 표면적으로 서로 다른 두 벡터 번들이 같은 것인지에 대한 질문은 대답하기 꽤 어려울 수 있다. 체르누스 계급은 간단한 테스트를 제공한다: 만약 체르누스 계급이 한 쌍의 벡터 번들에 동의하지 않는다면, 벡터 번들은 다르다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다.

위상, 미분 기하학 및 대수 기하학에서 벡터 번들이 얼마나 많은 선형 독립 단면을 가지고 있는지 계산하는 것이 종종 중요하다. 체르누스 계급은 리만-로치 정리, 아티야-싱어 지수 정리 등을 통해 이에 대한 정보를 제공한다.

체르누스 계급은 또한 실제로 계산하는 것이 가능하다. 미분 기하학(및 일부 유형의 대수 기하학)에서 체르누스 계수는 곡률 형태의 계수에서 다항식으로 표현할 수 있다.

건설

주제에 접근하는 방법에는 여러 가지가 있는데, 각각의 방법은 체르누스의 약간 다른 맛에 초점을 맞추고 있다.

체르누스 계급에 대한 원래 접근방식은 대수적 토폴로지를 통한 것이었다: 체르누스 계급은 분류 공간에 벡터 번들과 관련된 매핑을 제공하는 호모토피 이론을 통해 생겨났다(이 경우 무한한 그래스만족). 다지관 M 위에 있는 모든 복잡한 벡터 번들 V에 대해, 번들 V가 분류 공간 위에 있는 범용 번들의 풀백(pullback, f)과 같도록 M에서 분류 공간까지 지도 f가 존재하며, 따라서 V의 체르노 클래스는 범용 번들의 체르노 클래스의 풀백(pullback)으로 정의될 수 있다. 결국 이러한 보편적인 체르누스 계급은 슈베르트 사이클의 관점에서 명시적으로 기록될 수 있다.

풀백(pullback)이 동일한 묶음 V인 M에서 분류 공간에 이르는 두 개의 지도 f에 대해 지도는 동일시적이어야 함을 보여줄 수 있다. 따라서, 어떤 범용 체르누스 계급의 f 또는 g가 M의 코호몰로지 계급으로 후퇴하는 것은 같은 계급이어야 한다. 이것은 V의 체르누스 계급이 잘 정의되어 있음을 보여준다.

체른의 접근법은 주로 이 기사에서 설명한 곡률적 접근을 통해 미분 기하학을 사용했다. 그는 이전의 정의가 사실상 그의 것과 동등하다는 것을 보여주었다. 그 결과 이론은 체르-윌 이론으로 알려져 있다.

또한 알렉산더 그로텐디크의 접근법은 자명하게 라인 번들 케이스를 정의하기만 하면 된다는 것을 보여준다.

체르누스 계급은 대수 기하학에서 자연스럽게 생겨난다. 대수 기하학에서 일반화된 체르누스 클래스는 비정규적 다양성에 대한 벡터 번들(또는 더 정밀하게, 국소적으로 자유형)에 대해 정의될 수 있다. 알헤브로-지오메트리 체르누스 계급은 기초 분야가 특별한 속성을 갖도록 요구하지 않는다. 특히 벡터 번들이 반드시 복잡할 필요는 없다.

특정한 패러다임과 무관하게 체르누스 계급의 직관적인 의미는 벡터 번들의 한 부분의 '필요 제로'에 관한 것이다. 예를 들어 털 많은 공을 평평하게 빗질할 수 없다는 정리(요정 볼 정리)가 그것이다. 그것이 엄밀히 말하면 실제 벡터 번들에 대한 질문(공 위의 "헤어"는 실제로 실제 라인의 복제품이다)이긴 하지만, 털이 복잡한 일반화(아래 복잡한 털볼 정리 예시 참조), 또는 다른 많은 분야에 걸쳐 1차원 투영적인 공간에 대한 일반화가 있다.

자세한 내용은 Chen-Simons 이론을 참조하십시오.

체르누스 계급의 선다발.

(X는 CW 콤플렉스의 호모토피 타입의 위상학적 공간이 되도록 한다.)

중요한 특별한 경우는 V가 선다발일 때 발생한다. 그렇다면 유일하게 비교가 안 되는 체르누스 계급은 제1기 체르누스 계급인데, 이것은 X의 제2기 동족학 집단의 한 요소다. 체르누스 최고 계급인 만큼 보따리의 오일러 계급과 맞먹는다.

첫번째 체르누스 계급은 토폴로지적으로 말하면 복잡한 선다발을 분류하는 완전한 불변성인 것으로 밝혀졌다. 즉, X를 넘는 선다발들의 이소모르피즘 클래스와 ${\displaystyle {H2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle X\mathbb{}}$; Z$){\displaystyle H^{2}(X;\mathb {Z})$의 요소 사이에 편차가 있으며$,$ 이 요소들은 선다발의 첫 번째 체르누스 클래스와 연관된다. 더욱이 이러한 편향은 집단 동형상(즉, 이형상)이다.

${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$

복잡한 선다발의 텐서 제품은 두 번째 공동동호학 그룹의 추가에 해당한다.^[1][2]

대수 기하학에서 제1차 체르누스 등급에 의한 복잡한 선다발(이형성 등급)의 분류는 (이형성 등급의) 분자 등가 등급에 의한 (이형성 등급의) 홀로모르프 선다발 분류에 대한 조잡한 근사치다.

1보다 큰 차원의 복잡한 벡터 번들에 대해, 체르누스 계급은 완전한 불변제가 아니다.

시공

체르-윌 이론을 통해

매끄러운 다지관 M 위에 복잡한 등급 n의 복잡한 은둔자 벡터 번들 V가 주어지면, V의 각 체르누스 등급(체르누스 양식이라고도 함) ${\displaystyle c_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty c_{k}(V)}$의 대표자는 V의 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty \Oomega }}$의 특성 다항식 계수로 주어진다.

${\displaystyle \det \left({\frac {it\Oomega}}{2\pi }}}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}}}}}}$

결정 인수는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의$$ 링 위에 있으며, 이 행렬은 M에 있는 복잡한 미분형들의 정류 대수 계수와 함께 t의 다항식이다. V의 곡률 형태 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$은(는) 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Oomega +{\frac {1}{2}}[\omega,\omega ]}$

Ω 연결 형식과 d 외부 파생 모델 또는 Ω이 V의 게이지 그룹에 대한 게이지 형식인 동일한 식을 통해. 스칼라 t는 여기서 결정인자로부터 합을 생성하기 위한 불확정적인 용도로만 사용되며, 나는 n × n ID 행렬을 나타낸다.

주어진 표현이 체르누스 계급을 대표하는 표현이라고 하는 것은 여기서 '계급'은 정확한 미분형을 추가하는 것을 의미한다는 것을 나타낸다. 즉, 체르누스 계급은 드 람 코호몰로지라는 의미에서 코호몰로지 계급이다. 체르누스 양식의 코호몰로지 클래스는 V에서의 연결 선택에 좌우되지 않는다는 것을 알 수 있다.

If follows from the matrix identity ${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$ that ${\displaystyle \mathrm {det} (X)=\mathrm {exp} (\mathrm {tr} (\mathrm {ln} (X)))}$. Now applying the Maclaurin series for ${\disp$$laystyle \ln($X$+$$I$)}, 체른 형식에 대해 다음과 같은 표현을 얻는다.

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\왼쪽[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$

오일러 클래스를 통해

오일러 클래스의 관점에서 체른 클래스를 정의할 수 있다. 이것은 밀노르와 스타셰프가 쓴 책 속의 접근법이며, 벡터 번들의 지향적 역할을 강조한다.

기본적인 관찰은 복잡한 벡터 번들이 표준적인 방향과 함께 온다는 것인데, 궁극적으로 ${\displaystyle {\mathrm{GL}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathb {C}$)이 연결되어$$ 있기 때문이다. 따라서 단순히 번들의 상위 체르누스 계급을 자신의 오일러 계급을 정의하고(기초 실 벡터 번들의 오일러 계급을) 귀납적인 방식으로 하위 체르누스 계급을 취급한다.

정확한 구조는 다음과 같다. 1등급 이하 보따리를 얻기 위해 기저귀를 갈겠다는 생각이다. $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$을(를) 파라콤팩트 공간 B에 걸쳐 복잡한 벡터 번들로 만들자$$. B가 0 섹션으로 E에 내장되어 있다고 생각하면서, $B{\displaystyle {}^{}=}$ = ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus$ B$}$을(를) 두고 새로운$$ 벡터 번들을 정의한다.

$B'}$

따라서 각 섬유는 F에서 비제로 벡터 v로 확장된 선에 의해 E의 섬유 F의 몫이다(B (의 점은 E의 섬유 F와 F의 비제로 벡터로 지정된다).^[3] 그 $다음{\displaystyle {}^{}}$ E${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle E'}$이(가) E보다 한 단계 낮은 순위를 갖는다$$. 섬유 묶음 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{{}^{}}}$ ${\displaystyle {\prime }_{}}$ : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ B ${\displaystyle \pi _{B'}\colon B'\to B}$에 대한 기신 시퀀스로부터 $:$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H}^{k}(B;\mathb {Z}){\pi _{B'}^{*}}}}{{\}\operatorname {H}^{k}(B';\mathb {Z})\cdots ,}}}}}$

${\displaystyle {}_{{}^{}}^{}}$$′{\$는 k < - ${\displaystyle k<2n-1}$의 이형성인 것을$$ 알 수 있다

${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{case}{\pi _{B'}^{*}^{1}c_{k}(E')&k<n\n\k=n&k}n\case}}}}}}$

그런 다음 체르누스 계급의 공리가 이 정의에 만족하는지 확인하는 데는 약간의 작업이 필요하다.

참고 항목: 톰 이형성.

예

리만 구의 복잡한 접선다발

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}을$($를) Riemann 구체: 1차원 복합 투영 공간으로 한다$$. z가 리만 구에 대한 홀로모픽 로컬 좌표라고 가정하자. Let $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$1}:{1$}은(는) 복잡한 숫자인 각 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$에서 ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ z ${\displaystyle a\partial /\partial$ z$}$ 형식을 갖는 복잡한 접선 벡터의 번들이 된다$$. 우리는 털복숭이 공의 정리의 복잡한 버전을 증명한다. V에는 0이 아닌 모든 곳에 섹션이 없다.

이를 위해 우리는 다음과 같은 사실이 필요하다: 사소한 보따리의 첫 번째 체르누스 계급은 0이다, 즉,

${\displaystyle c_{1}(\mathb {CP} ^1}\times \mathb {C} )=0.}$

이것은 사소한 보따리가 항상 평평한 연결을 인정한다는 사실에서 기인한다. 그래서, 우리는 그것을 보여줄 것이다.

${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$

Kahler 메트릭 고려

${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar{z}}}{(1+ z ^{2}}^{2}}}}.}$

곡률 2-폼이 다음과 같이 주어진다는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \Oomega ={\frac {2dz\wedge d{z}}{{z}}}{{1+z ^{2}}}:{2}}.}$

게다가, 제1차 체르누스 계급의 정의에 의해

${\displaystyle c_{1}=\왼쪽[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Oba \right].}$

우리는 이 코호몰로지 수업이 0이 아니라는 것을 보여줘야 한다. Riemann 구체에 대한 그것의 핵심을 계산하기에 충분하다.

${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\pi d{\bar}}}{{2}}}{{2}}=2}}:}$

극좌표로 전환한 후 스톡스의 정리로는 정확한 형태는 0으로 통합되기 때문에 코호몰로지 클래스는 0이 아니다.

이는 T ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^1}이$($가) 사소한 벡터 번들이 아님을$$ 증명한다.

복잡한 투영 공간

정확한 조각/번들 순서가 있다.^[4]

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{\mathb {CP} ^{n}_{\mathcal {O}_{\mathb {CP}^{n1}^{n1}(1)^{\oplus (n+1)\t\mathb {CP} ^{n}\n}\n} to 0}$

where ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$ is the structure sheaf (i.e., the trivial line bundle), ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$ is Serre's twisting sheaf (i.e., the hyperplane bundle) and the last nonzero term is the tangent sheaf/bundle.

위의 순서를 얻는 방법에는 두 가지가 있다.

$총{\displaystyle }$ 체른 등급 c${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$+ $⋯$ $displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }($예: Whitney sum 공식),

${\displaystyle c(\mathb {P} ^{n}}{n}}{}}}}\mathrm {def}}{}}}{{n}}}}=c({\mathcal {O}_{\mathb {C} \mathb {P}}^{n}(1)^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$

where a is the canonical generator of the cohomology group ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$; i.e., the negative of the first Chern class of the tautological line bundle ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ (note: $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}_{}}$E${\displaystyle }$) ${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$ $E{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ E$^{*}$이 E의 이중인 경우$$) 특히, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k\geq$ 0$}$에 대해$,$

${\displaystyle c_{k}(\mathb {C} \mathb {P}^{n}={\binom {n+1}{k}a^{k}.}$

체른 다항식

체르노 다항식은 체르노 수업과 관련 개념을 체계적으로 다룰 수 있는 편리한 방법이다. 정의에 따라 복합 벡터 번들 E의 경우 E의 체르노 다항식 c는_t 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$

이것은 새로운 불변제가 아니다: 형식 변수 t는 단순히_k c(E)의 정도를 추적한다.^[6] 특히 $c{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle c_{t}(E)}$의 총 체르누스 등급 E: ${\displaystyle \mathrm{c}:}$ ( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \cdots }$+ c (${\displaystyle E}$ )$displaysty c(E)=1+c_{1}+\cdcdots +{n}(E)$에 의해 완전히 결정되고$$ 반대로 된다.

체르누스 계급의 공리 중 하나인 휘트니 합 공식(아래 참조)은 c가_t 다음과 같은 의미에서 첨가물이라고 말한다.

${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$

이제 $E{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \cdots }$ L ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) (복잡한) 라인 번들의 직접적인 합계라면$$ 다음과 같은 합계 공식에서 따르게 된다.

${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots(1+a_{n}(E)t)}$

여기서 ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1 (${\displaystyle {}_{}{L}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$은(는) 첫 번째 체른 클래스다. E의 체른 ${\displaystyle \mathrm{뿌리}}$라고 불리는 뿌리 a${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle E_{}}$) ${\displaystyle a_{i}(E)}}$는 다항식의 계수를 결정한다$.$

${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$

여기서 σ은_k 기본 대칭 다항식이다. 즉, a를_i 형식 변수로 생각한다면 c_k "are" σ_k. 대칭 다항식에 관한 기본적인 사실은 t_i's에 있는 모든 대칭 다항식은 t의_i 기초 대칭 다항식의 다항식이라는 것이다. 원리를 분할하거나 링 이론에 의해 체르누스 $다항식{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$t ${\displaystyle (E}$ ) ${\displaystyle c_{t}(E)}$는 코호몰로지 링을 확장한 후 선형 인자로 인수한다$$. E는 앞의 논의에서 선다발의 직접적인 합이 될 필요는 없다. 결론은

"복잡한 벡터 번들 E에서 대칭 다항식 f는 σ에서_k 다항식으로 f를 쓴 다음 c(E_k)로 대체하여_k 평가할 수 있다."

예: 우리는_k 다항식들을 가지고 있다.

${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\cdma _{1},\ldots ,t_{n}),\ldots _{k}(t_{1},\ldots,t_{n})}}}}}}}$

$s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} 등$$(cf). 뉴턴의 정체성). 합계

${\displaystyle \operatorname {ch}(E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(C_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E)/k!}$

E의 체른 문자라고 불리며, 처음 몇 가지 용어는 다음과 같다. (E를 글쓰기에서 삭제함).

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$

예: E의 Todd 등급은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}}$

비고: 체르누스 계급은 본질적으로 기본적인 대칭적 다항식이라는 관찰은 체르누스 계급의 "define"에 사용될 수 있다. G를_n n차원 복합 벡터 공간의 무한 그라스만인으로 삼아라. X위 n등급의 복잡한 벡터다발 E를 감안할 때 연속적인 지도가 존재한다는 의미에서 분류공간이다.

${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$

호모토피까지 독특한 보렐의_E 정리에서는 G의_n 코호몰로지 링이 정확히 초기의 대칭 다항식의 다항식인_k 대칭 다항식의 링이라고 말하고 있으므로 f의 풀백은 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathb {Z}[\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathb {Z})] .}$

그런 다음 다음과 같이 처리한다.

${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$

비고: 어떤 특성계급이든 체른계급에서 다항식이며, 그 이유는 다음과 같다. ${\displaystyle {\mathrm{Vect}}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\$을(를) CW 복합 X에 대해 X 이상의 복잡한 벡터 번들과 지도에 풀백의 이소모르피즘 클래스 집합을 할당하는 반대 functor가 되도록$$ 한다. By definition, a characteristic class is a natural transformation from ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$ to the cohomology functor ${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$ Characteristic classes form a ring because of the ring structure of cohom올로지 반지 요네다의 보조정리원은 이 특성계급 링이 정확히_n G:의 코호몰로지 링이라고 말한다.

${\displaystyle \operatorname {Nat}([-,G_{n}),H^{*}(-,\mathb {Z} )=H^{*}(G_{n},\mathb {Z} )=\mathb {Z} [\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n}].}$

계산공식

E를 순위 r과 c ${\displaystyle t_{}}$(${\displaystyle E}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 0 r c ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle c_{t}(E)=\sum$_{$i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i$}}}}}}}}}}}}의 #북 다항목이 되게 하라.

• $E$ ${\displaystyle E}$, $c{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$( E${\displaystyle }$) ${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i$}(E$)\}\}$^[7]의 $듀얼{\displaystyle {}^{}}$ 번들 E$display$ {\displaystystystyle $E^{*}.$
• L이^[8][9] 선다발이면

${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}^{r-i}t^{i}}}}}}}}$

${\displaystyle {그리고}_{}}$ so c (${\displaystyle {}_{}E}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$, i${\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$은(는) 다음과$$ 같다.

${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}{j}}}}}{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots,\sum _{j=0}^{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}}}}}$

• $체르노$ 뿌리의 $경우$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle$ $\alpha _{1},\dots,\alpha$ _${r$$\},$^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{정렬}}}$

특히 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}_{}}$E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E$)이다$.$$}$

• 예를 들어,^[11] $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$(${\displaystyle }$E ) ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$의 경우$,$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r=2$ $c{\displaystyle (\mathrm{Sym}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$+ 4 ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1+2c_{1$}$}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2}}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r=3$ $c{\displaystyle (\mathrm{Sym}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle 2}$ c + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ . ${\displaystyle c(\operatorname {Sym}$$}^{2}+5c_{2}+2c_{1$$}^{3}+11c_{1}c_{1}c_{2}+7c_{3}.$$}$

(cf. Segre class#예 2.)

공식의 적용

We can use these abstract properties to compute the rest of the chern classes of line bundles on ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. Recall that ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$ showing ${\displa$$ystyle c_{1}({\mathcal{O}(1)=1\in$ H$^{2}(\mathb {CP}^{1};\mathb {Z}$ $)\}.$ 그런 다음 텐서 파워를 사용하여 어떤 정수에 대해서도$$ c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle O\mathcal{}}$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= n {\$displaystyle$c_${1$}({\mathcal${O}(n)=$n})의 체르노 등급과 연관시킬 수 있다.

특성.

위상학적 공간 X 위에 복잡한 벡터 번들 E가 있는 경우, E의 체르누스 계급은 X의 코호몰로지 원소의 연속이다. 보통 c_k(E)로 표기되는 E의 k-th Chener class는 의 한 요소다.

${\displaystyle H^{2k}(X;\mathb {Z}),}$

정수 계수를 갖는 X의 동역학 또한 체르누스의 총계급도 정의할 수 있다.

${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+{2}(E)+\cdots .}$

이 값들은 실제 계수를 가진 코호몰로지보다는 통합적인 코호몰로지 그룹에 속하기 때문에 이들 체르누스 계급은 리만 예에 있는 계급보다 약간 더 정제되어 있다.^{[clarification needed]}

고전적 자명 정의

체르누스 계급은 다음의 네 가지 공리를 만족시킨다.

Axiom 1. $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 모든 E에 대해$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c_{0}(E)=1$}

악시오 2. 자연성: ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle f:$$Y\to X}$은(는) 연속이고 f*${\displaystyle E_{}}$는 E의 벡터 번들 풀백이고, 그 다음 ${\displaystyle {}^{}}$($f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle c_{}}$( $){\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*c_{k}(E$

Axiom 3. Whitney sum 공식: $F{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\to X}$이(가) 또 다른 복잡한 벡터 번들일 경우, 직접 $합계{\displaystyle }$ E ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$의 체르누스 클래스는 다음에서 주어진다$$.

$(\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$

그것은

${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$

Axiom 4. 정규화: The total Chern class of the tautological line bundle over ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ is 1−H, where H is Poincaré dual to the hyperplane ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$.

그로텐디크 자명 접근법

또는 알렉산더 그로텐디크(1958)는 다음과 같이 약간 더 작은 공리 집합으로 이들을 대체했다.

• 자연성: (위의 것과 동일)
• 추가성: ${\displaystyle 0\mathrm{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ E → ${\displaystyle {}^{}}$→ →${\displaystyle {}^{}}$0${\displaystyle$ \0$\to E'\to E'\$to E'\to 0}이$($가$$) 벡터 번들의 정확한 순서라면, c${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$ )${\displaystyle }$= c = c (${\displaystyle E}$ $displaystysty$c$(E)=c(E$')\$smile$ C($E$
• 정규화: E가 선다발이라면 $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{E}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ e${\displaystyle }$( ${\displaystyle {E\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathb {R} }}}},$ 여기서$$ $(E_{\mathb {R}}})$는 기본 리얼 벡터 번들의 오일러 클래스다.

그는 레레이를 사용하는 것을 보여준다.임의 유한 계급 복합 벡터 번들의 체르누스 계급 총계는 자동적으로 정의된 라인 번들의 첫 번째 체르누스 계급의 관점에서 정의될 수 있다는 히르슈 정리.

즉, n complex vector bundle E → B 등급의$$ 프로젝트화 $P{\displaystyle \mathbb{}}$($){\displaystyle \mathb$ {$P}$ ($E)}$을(를) B의 섬유다발로 소개하며, 그 섬유는 어느 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$에서나 Fiber B_b${\displaysty b\in$ B$}$의 투영 공간이다$$. 이 번들 $P{\displaystyle \mathbb{}(E}$) ${\displaystyle \mathb {P}(E)}$의 총 공간에는 aut {\displaystyle $\tau }$을 나타내는 tutological complex line bundle이 장착되어$$ 있으며, 이 선은 $\tau {\displaystyle }${\$displaystyle$ \tau }$$및 첫 번째 체르 등급이다.

${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$

복합 투영 공간의 동일학 관점에서 광섬유의 동질학에 걸쳐 있는 하이퍼플레인의 (Poincaré-dual) 클래스를 각 섬유 $P{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle E_{}}$ b )${\displaystyle \mathb {P}(E_{b})$로 제한한다.

수업들

${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots,a^{n-1}\in H^{*}(\mathb {P}(E))}$

따라서 섬유질의 코호몰로지 기반으로 제한되는 주변 코호몰로지 클래스의 가족을 형성한다. 더 레레이-Hirsch 정리에서는 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle P\mathbb{}}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle H^{*}(\mathb {P}$ ($E))}$의 모든 클래스를 계수로서 1, a, a², a, ..., a의ⁿ⁻¹ 선형 결합으로서 고유하게 작성할 수 있다고$$ 명시하고 있다.

특히, $c{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle E}$)로 표기된 E의 체르노 클래스를 ${\displaystyle {다음}^{}}$과 같은 관계와 함께 클래스 -${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $c_{1}(E),\ldots c_{$$n}(E)$의 의미로$$ 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$

그런 다음, 이 대체 정의가 자신이 선호할 수 있는 다른 정의와 일치하는지 확인하거나 이전의 자명적 특성화를 사용할 수 있다.

최고 체르누스 계급

사실, 이러한 속성들은 체르누스 계급의 독특한 특징을 가지고 있다. 이들은 무엇보다도 다음과 같은 의미를 내포하고 있다.

• n이 V의 복합 순위인 경우, 모든 k > n에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle c_{k}(V)=0}.$ 그래서 체르누스 수업은 종료된다.
• V($c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$($){\displaystyle c_{n}(V$의 상위 체르누스 클래스는 항상 기본 리얼 벡터 번들의 오일러 클래스와 동일하다.

대수 기하학에서

자명적 설명

코호몰로지 링인 차우 링의 알헤브로게오메트리 아날로그 값을 취하는 체르누스 계급의 또 다른 구조가 있다. 준프로젝트적 다양성에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{대수적}}$ 벡터 $번들{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle E\to$ X$}$을(를) 부여받으면 ${\displaystyle c_{}}$(${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A^{}}$ ( $){\displaystyle c_{i}(E)\$in $A^{i$}($X)$과 같은$$ 일련의 클래스들이 존재한다는 독특한 체르 클래스 이론이 있음을 알 수 있다.

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. For an invertible sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ (so that ${\displaystyle D}$ is a Cartier divisor), ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. ${\displaystyle {}^{}}$ $번들{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle }$→ E ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ E → ${\displaystyle {}^{}{″}^{}}$ → ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ 0$\to$ E$'\to E'\to$E'\$to$ E$'\$to $0}$의 정확한 순서를 지정하면 휘트니 합 공식은 $c{\displaystyle }$(${\displaystyle E}$) =${\displaystyle c}$ ( ${\displaystyle {}^{})}$ ) ${\displaystyle c}$($E$ )$${\$displaystysty c(E$')c)$c(E')$를 갖는다.
4. ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= > ($){\displaystyle$ i$>{\text}}(E$$)=0}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 0$${\$displaystyle$ $c_{i}(E$)=0$}$
5. 지도 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle c}$( E${\displaystyle }$) ${\displaystyle E\mapsto c(E)}$은 링 형태론 $c{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle c:$$K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

정상순서

투사 공간의 특성 클래스를 계산하는 것은 많은 특성 클래스 계산의 기초를 형성한다. 부드러운 투사성 하위 $변수{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ { ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}${ P$${\$displaystyle$ X$\subset \mathb {P}$^{$n}}}}$에 대해 짧은 정확한 시퀀스가 있기$$ 때문이다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}_{X}\to {\mathcal {T}_{\mathb {P}^{n}}} _{X}_{X/\mathb {P}^{n}}\to 0}$

퀸틱 3배

예를 들어, P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 비정규 ${\displaystyle \mathrm{5중주}}$를 고려해 보십시오$.$ 그러면 정상 번들은 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( 5${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}(5)$가 제공되며, 정확한$$ 시퀀스가 짧다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}_{X}\to {\mathcal {T}_{\mathb {P}^4} _{X}\to 0}$

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ A$^{\bullet }(X)}}$에서 하이퍼플레인 클래스를 나타내도록$$ 한다$.$ 그러면 Whitney sum 공식은 다음과 같은 것을 제공한다.

${\displaystyle {\begin}c({\mathcal {T}_{X}c({\mathcal {O}}}}(5)&=(1+h)^{5}\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aigned}}}}$

초저면 차우 링은 계산하기 어렵기 때문에 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $4{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 일관성 있는 셰이브 시퀀스로 간주할 것이다$.$ 이것은 우리에게 다음과 같은 것을 준다.

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$

Gauss-Bonnet 정리를 사용하여 클래스 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ $){\displaystyle c_{3}({\mathcal{T}_{X})$을 통합하여$$ 오일러 특성을 계산할 수 있다. 전통적으로 이것은 오일러 계급이라고 불린다. 이것은

${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}_{X}=\int _{[X]-40h^{3}=-200}$

$h{\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 등급은 5점(베주트의 정리)으로 나타낼 수 있기$$ 때문이다. 오일러 특성은 오일러 특성의 정의와 렙체츠 하이퍼플레인 정리를 사용하여$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 코호몰로지용 베티 숫자를 계산하는 데 사용할 수 있다.

학위 d 과급기

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$\\subset \mathb {P} ^3}}}$이(가) $도{\displaystyle }$ d$${\$displaystyle d}$ 매끄러운 과외면이라면 정확한 순서가 짧다.

${\daystyle 0\to {\mathcal {T}_{X}\to {\mathcal {T}_{\mathb {P}^{3}}_{X}\to 0}$

관계를 주는 것

${\displaystyle c({\mathcal {T}_{X}}={\frac {c({\mathcal {T}_{\mathb {P}^{3} _{X})}{c({\mathcal {O}_{X})(d))}}}$

그러면 우리는 이것을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}c({\mathcal {T}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2)}}[H]^{2}\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aigned}}}$

총 체르반 수업을 하는 거야 ${\displaystyle \mathrm{특히}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $4{\displaystyle \mathrm{}}$- d ${\displaystyle 4-d}$이(가) 짝수라면 스핀 4 manifold이기 때문에 도 2 $[\displaystytle 2k}$의 매끄러운 초면 하나하나가 스핀 다지관이다.

근위 개념

체르누스의 등장인물

체르누스 계급은 공간의 위상론적 K 이론에서 이성적 공동체의 완성까지 반지의 동형성을 형성하는데 사용될 수 있다. 선다발 L의 경우 체른 문자 ch는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ch}(L)=\exp(c_{1}(L)):\sum _{m=0}^{\m=0}^{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

More generally, if ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ is a direct sum of line bundles, with first Chern classes ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ the Chern character is defined additively

${\displaystyle \operatorname {ch}(V)=e^{x_{1}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\inflat }{\frac {1}{m!}}}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[12]

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$

분할 원리를 호출하여 정당화된 이 마지막 식을 임의 벡터 번들 V에 대한 정의 ch(V)로 받아들인다.

기지가 다지관(즉, 체르-윌 이론)일 때 체르누스 계급을 규정하는 데 연관성이 사용된다면, 체르누스 문자의 명시적 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle {\hbox{ch}(V)=\왼쪽[{\hbox{tr}\left(\exp \exp \left)({\frac {i\오메가}}{2\pi }\오른쪽)\오른쪽]}}$

여기서 Ω은 연결의 곡면이다.

체르누스 문자는 텐서 제품의 체르누스 등급의 연산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 구체적으로 다음과 같은 정체성을 준수한다.

${\displaystyle {\hbox{ch}(V\oplus W)={\hbox{ch}(V)+{\hbox{ch}(W)}$

${\displaystyle{\hbox{ch}(V\otimes W)={\hbox{ch}(V){\hbox{ch}(W)={\hbox{ch}.}$

위에서 말한 바와 같이 체르누스 계급에 대한 그로텐디크 부가 공리를 이용하여 이러한 정체성의 첫 번째는 ch가 K-이론 K(X)로부터 아벨리아 집단의 동음이의어라는 것을 X의 이성적 동음이의어로 기술하기 위해 일반화할 수 있다. 두 번째 정체성은 이 동형성 역시 K(X)의 제품을 존중한다는 사실을 성립시키고, 따라서 ch는 반지의 동형성이다.

체르누스 문자는 히르제브루흐-리만-로흐 정리에 사용된다.

체른 수

차원 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n$의 방향 다지관에 대해 작업할 경우 총 도 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}($즉, 제품에서 Chener 클래스의 지수의 $합$은 n ${\displaystyn$의 모든 제품이 방향 호몰로지 클래스(또는 "다지관 위에 통합")와 쌍을 이룰 수 있다. 벡터 번들의 체르노 번호인 정수를 주십시요. 예를 들어 다지관의 치수 6이 있는 경우, c $1{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{1}^{3},}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle c_{1}c_{2$ ${\displaystyle {그리고\mathrm{}}_{}}$ c$$3 {\$displaystyle c_{$$3}$에 의해 선형적으로 독립된 세 개의 체르네 숫자가 있다$.$ 일반적으로 다지관이 $2n{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyption$ styption styption styption styledata$.$ 독립된 체르누스 번호는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 파티션 수입니다$.$

복합(또는 거의 복잡한) 다지관의 접선다발의 체르노 번호는 다지관의 체르노우드로 불리며, 중요한 불변물이다.

일반화된 코호몰로지 이론

체르누스 계급의 이론이 일반화된 코호몰로지 이론으로 대체되는 일반화된 코호몰로지 이론이 있다. 그러한 일반화가 가능한 이론을 복잡한 방향성이라고 한다. 체르누스 계급의 형식적 특성은 그대로 유지되는데, 한 가지 결정적인 차이점이 있다. 즉, 선다발 생산물의 첫 번째 체르누스 계급의 인자의 첫 번째 체르누스 계급은 (일반적인) 추가가 아니라 오히려 형식적인 집단 법칙이다.

대수 기하학

대수 기하학에서 벡터 번들의 체르 계급에 대한 비슷한 이론이 있다. 체르누스 계급이 어떤 집단에 속하느냐에 따라 몇 가지 변화가 있다.

• 복잡한 품종의 경우 체르누스 계급은 위와 같이 일반적인 코호몰로지에서의 가치를 취할 수 있다.
• 일반 분야에 걸친 다양성의 경우, 체르누스 계급은 에탈레 코호몰로지 또는 l-adic 코호몰로지 같은 코호몰로지 이론의 가치를 가질 수 있다.
• 일반 분야에 걸친 품종 V의 경우 체르누스 등급은 차우 그룹 CH(V)의 동형성 값을 취할 수 있다. 예를 들어, 품종 V에 걸친 선다발의 첫 번째 체르누스 등급은 CH(V)에서 CH(V)까지의 동형성이 1만큼 감소한다. 이는 차우 그룹이 일종의 호몰로지 집단과 유사하다는 사실과 일치하며, 코호몰로지 집단의 요소들은 캡 제품을 사용하는 호몰로지 집단의 동형성으로 생각할 수 있다.

구조물이 있는 다지관

체르누스 계급의 이론은 거의 복잡한 다지관에 대한 거미줄 불변성을 야기한다.

만약 M이 거의 복잡한 다지관이라면, 그것의 접선다발은 복잡한 벡터다발이다. 따라서 M의 체르누스 계급은 그것의 접선 묶음의 체르누스 계급으로 정의된다. 또한 M이 콤팩트하고 차원 2d인 경우, 체르누스 등급의 총도 2d의 각 단수들은 M의 기본 등급과 짝을 지어 정수를 부여할 수 있다. 만약 M′가 동일한 차원의 거의 복잡한 또 다른 다변량이라면, M′의 체르누스 번호가 M의 그것과 일치하는 경우에만 M과 교합된다.

그 이론은 또한 호환 가능한 거의 복잡한 구조의 중개로 실제의 공통 벡터 번들로 확장된다. 특히 공감각 다지관에는 체르누스 계급이 잘 규정되어 있다.

산술 체계와 디오판틴 방정식

(아라켈로프 기하학 참조)

참고 항목

• 폰트랴긴급
• 스티펠-휘트니급
• 오일러급
• 세그리급
• 슈베르트 미적분학
• 퀀텀 홀 효과
• 지역화된 체르누스급

메모들

참조

• Chern, Shiing-Shen (1946), "Characteristic classes of Hermitian Manifolds", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1, 47 (1): 85–121, doi:10.2307/1969037, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969037
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie des classes de Chern", Bulletin de la Société Mathématique de France, 86: 137–154, doi:10.24033/bsmf.1501, ISSN 0037-9484, MR 0116023
• Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7 (체르누스 수업에 대한 매우 짧고 소개 리뷰 제공).
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

외부 링크

• Vector Bundles & K-Theory – Allen Hatcher의 다운로드 가능한 책 진행 중. 특성 클래스에 대한 장을 포함한다.
• 디터 코츠치크, 체른 대수 품종 수